ỨNG DỤNG của đạo hàm

ung dung cua dao ham ứng dụng của đạo hàm trong vật lý ứng dụng của đạo hàm trong việc giải phương trình ứng dụng của đạo hàm trong việc giải phương trình ứng dụng của đạo hàm trong việc giải phương trình ứng dụng của đạo hàm trong vật lý

1

1A SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (CĐ 01)

HÀM BẬC BA

 Dạng 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Câu 1. Hàm số  y x3 3x nghịch biến trên khoảng nào? 2

A.  ; 2    B. 0;     C. 2; 0     D. 0; 4 

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D .  

Đạo hàm:           





' 3 6 , ' 0 3 6 0

0

x

Bảng biến thiên: 

x         2      0         

' y                  0                  0          

y        4          

        0 

 Chọn đáp án C.    Câu 2. Cho hàm số  y x3 3x2 9x12, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?  A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2   

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2  C.  Hàm số đồng biến trên khoảng 5;   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 5  Hướng dẫn giải Đạo hàm:             2 1 ' 3 6 9 ' 0 3 x y x x y x   Bảng biến thiên:  x         1       3         

' y                 0               0          

y        17          

        -15 

 Chọn đáp án D

www.vmathlish.com www.facebook.com / Van Luc 168 VanLucNN

2

Câu 3. Hàm số  y x3 3x2 3x5 đồng biến trên khoảng nào? 

A ; 1  B. 1;  C.  ;   D. ; 1 và 1; 

Hướng dẫn giải

Ta có y3x2 6x33x12 0,  x  

 Chọn đáp án C

Câu 4. Các khoảng nghịch biến của hàm số:  y 3x4x  là 3

A.     

   

1 1

; ; ;

2 2        B. 

 



 

 

1 1

;

2 2     C. 

 

1

;

2   D. 

 



 

 

1

;

2  

Hướng dẫn giải

Các khoảng nghịch biến của hàm số:  y 3x4x  là 3

Tập xác định: D .  

  2

' 3 12

   1  1

2 2



 



  

 



1 2 ' 0

1 2

x y

x

 Chọn đáp án A

Câu 5 Cho hàm số y x3 3x2 9x5. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A Hàm số đồng biến trên 1; 3

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1,3; D. Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng 3;.  Hướng dẫn giải Tập xác định: D .   ●y'3x2 6x9     

● Cho:             2 1 ' 0 3 6 9 0 3 x y x x x   ● Bảng biến thiên:  x         1       3         

' y                 0                0          

y         10       

       -22 

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1,3;; hàm số nghịch biến trên1; 3.  

    Chọn đáp án C

5

Câu 19. Cho hàm số:     

2 3

 Dạng 3 Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên

khoảng K cho trước

A. m 0  B. m 0  C. Không có  m   D. Mọi m   

y x x nghịch biến trong khoảng nào sau đây: 

A. ; 0  B. 0; 2  C. 2;  D. 0; 

y  đồng biến trên khoảng nào? 

A. ; 0  B. 1;   C. 3; 4  D. ; 1

x y

       1       

x y

x y

13

Câu 51. Cho hàm số  



2 1

x y

x  Khoảng đồng biến của hàm số là: 

A  ; 1    B.  1;     C.   D. 1;1 

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D .  

Đạo hàm: 

 



       



2 2 2

1

1

x

x

Bảng biến thiên: 

x         1      1          

' y                 0                0               

y    0      1

2       

       1

2       0       

Vậy khoảng đồng biến của hàm số là 1; 1.   Chọn đáp án D.    Câu 52. Hàm số  có bảng biến thiên như hình bên là  A.     2 5 2 x y x        B.     2 3 2 x y x       C.     3 2 x y x       D    2 1 2 x y x   Hướng dẫn giải         Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng   2,x  tiệm cận ngang  2 y y'0, x \{2}   Chọn đáp án D Câu 53. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:  A.     2 3 1 x y x   B.     2 3 1 x y x   C.     2 3 1 x y x   D.     3 2 x y x   Hướng dẫn giải x         1         

' y          +              + 

y           

  2      

       2         

 

 Chọn đáp án B

'

y

x

y





2

2







x y

x y

Câu 55 Cho hàm số   



2 72

x y

x y

x y

x y

x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x1.      

B Hàm số không xác định tại điểm x1

m y

x m đồng biến trên 2; khi và chỉ khi 

A. m0    B. m0    C. m2    D. m2 

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D \{ }m  

x m  nghịch biến trên khoảng ; 1 là: 

mx y

4

2(2 )

18

HÀM BẬC HAI, CĂN, LƯỢNG GIÁC, LOGARIT

 Dạng 7 Xét tính đơn điệu của hàm số

y'0lnx1 xe  

e y

m y

x   B. (1) luôn đúng khi    

0; 2

C. (1) luôn đúng khi    

0; 2

x   D. (1) luôn đúng khi     

0; 2

x y

t x t  , xét hàm    

 21

2

Ta có     

2 2

2 , ta có  

54

t   

Xét hàm số :       

 

2 1 1, 0;

24

t

 

f t  

  

       5

4  Dựa vào bảng biến thiên ,ta có :   5

x m y

x y

x y

Hướng dẫn giải

2

1

12

' 3 12 ; ' 0

1

12

Câu 4 Tìm giá trị cực đại của hàm số y x33x23x2

Giá trị cực đại của hàm số y  x3 3x2 3x2 là  3 4 2

Câu 5 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y2x33x22 là

A 0; 2   B 2; 2  C 1; 3   D  1; 7 

Câu 6 Tìm giá trị cực đại yCD của hàm số 1 3 2

3 23

C Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 D Giá trị cực đại của hàm số là 2

Câu 9 Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số yx33x22 là:

 



   

Thử lại ta thấy m 1 thỏa

Câu 18 Hàm sốyx33x2mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi:

Câu 19 Hàm số y  x3mx2 m22m x 1 đạt cực tiểu tại x 1 khi

A m 3 B m 1 C m 2 D

Hướng dẫn giải

'(1) 0

1''(1) 0

y

m y

31

 Dạng 10 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu

thỏa điều kiện cho trước

Câu 24 Tìm m để hàm số 1 3 ( 2) 2 (5 4) 3 1

3

y x  m x  m x m , đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x12x2

A m 0 B m  1 C m 0 D m  1

Hướng dẫn giải

Ta có y’ = 0  x 2 +2(m-2)x+5m+4 = 0 (1)

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt  ' m29m0m0 hay m9 (2)

Để thỏa đk bài toán, ta cần có (x 2 -2)(2-x 1 )>0  2(x 1 +x 2 )-x 1 x 2 -4>0 (3)

12

m m



12

2

m  

33

Câu 32 Cho hàm số y x33mx23m1 (m là tham số) Với giá trị nào của m thì đồ

thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng

Câu 34 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể đồ thị hàm sốC m:y x33mx22m3

có hai điểm cực trị A B, sao cho đường thẳng ABvuông góc với đường thẳngd y:  2x

34

HÀM BẬC BỐN

 Dạng 11 Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Câu 36 Giá trị cực tiểu y CT của hàm số y x42x21

Tìm y'; tìm số nghiệm của phương trình y' = 0

Câu 38 Giá trị cực tiểu của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên

Giá trị cực tiểu là: y(-1) = -1/12

Câu 39 Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số: yx44x22

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại, không có cực tiểu D Không có cực trị

Hướng dẫn giải

Hàm trùng phương có hệ số a b, cùng dấu và a1 nên hàm số có một điểm cực tiểu tại

0

x

35

 Dạng 12 Tìm m để hàm số đạt cực trị thỏa điều

kiện cho trước

Câu 40 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

4

24

Câu 42 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số y2x44x21 Diện tích của tam giác ABC là:

36

Câu 44 Cho hàm số 4 2 2  

yx  mx  m  C Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

A m  1 B m  1 C m  2 D m 1

Câu 45 Cho hàm số yx42mx22m m 4 Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m)

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S=4?

x y x

 



22

x y x





22

x y x

Lập bảng biến thiên suy ra hàm số có cực trị

Câu 51 Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có 2 điểm cực trị

2 1

x y

x y

x x

A Có điểm cực đại là A(1;0) B Có điểm cực tiểu là B(3;0)

C Không có cực trị D Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu Câu 57 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để hàm số

x x

39

B Hàm số đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi f ' x0 0

C Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì f ' x0 0

D Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f ' x0 0

Câu 61 Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên:

+ ∞ ∞

y y' x

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

40

……….……….……….……

……….……….……….…………

Câu 4 Cho hàm số

3 2

Câu 8 Trên khoảng (0; +) thì hàm số y x33x1:

A Có giá trị nhỏ nhất là min y = 3 B Có giá trị lớn nhất là max y = –1

C Có giá trị nhỏ nhất là min y = –1 D Có giá trị lớn nhất là max y = 3

Câu 9 Cho hàm số yx33x22 Chọn phương án đúng trong các phương án sau

y





Câu 16 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 3 11

x x y

x , chọn phương án đúng trong các phương án sau

Mmax f x ; mmin f x , khi đó: M – m

Câu 21 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

m m

m m

m m

  



 



y' = 0 vô nghiệm; So sánh y(-1) và y(1), kết luận

Câu 24 Giá trị lớn nhất của hàm số y  54x trên đoạn [-1 ; 1 ] bằng

hàm số không có đạo hàm tại

+ Gọi x là độ dài một trong hai cạnh của tam giác

+ Suy ra độ dài cạnh còn lại là 16  6 x 10 x

+ Theo công thức Hêrông, diện tích tam giác sẽ là:

S x( ) 8(86)(8x)(8 10 x) 4  x2 10x 16 , 0  x 8

2

4(5 )'( )

+ Lập bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; 8), ( )s x đạt cực đại tại điểm x  5

Vậy diện tích tam giác lớn nhất khi mỗi cạnh còn lại dài 5cm

Câu 38 Tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất, nếu tổng của cạnh góc vuông và cạnh

huyền bằng hằng số a (a > 0), thì cạnh góc vuông của tam giác đó là:

khi x

Câu 39 Một hình chữ nhật có diện tích là 100 thì chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất khi

chiều rộng x và chiều dài y tương ứng là:

A x  25; y  4 B x  10; y  10 C x  20; y  5 D x  50; y  2

Hướng dẫn giải

Ta thấy chu vi hình chữ nhật = (dài + rộng ).2

Chu vi nhỏ nhất khi dài + rộng nhỏ nhất

A: sai vì 25 + 4 = 29

C: 20 + 5 = 25

D: 50 + 2 = 52

B: 10 + 10 = 20 nhỏ nhất

Câu 40 Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể

tích là 4 lít Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau

A Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1 B Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2

C Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4 D Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3

Hướng dẫn giải

Gọi x là cạnh của đáy hộp

h là chiều cao của hộp



Dựa vào BBT, ta có S(x) đạt GTNN khi x= 2

Câu 41 Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể

tích lớn nhất từ một miếng tole hình vuông có cạnh là 1 Thể tích của hộp cần làm là

Giả sử mỗi góc ta cắt đi một hình vuông cạnh x

Khi đó chiều cao của hộp là x dm (0 <x<1

Câu 42 Một người thợ muốn làm một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều

dài đáy gấp đôi chiều rộng và có thể tích 10 m3 Giá tiền vật liệu làm đáy thùng là

10.000đồng/m2, vật liệu làm mặt bên thùng là 5.000đồng/m2 Hãy xác định kích thước thùng (rộng x dài x cao) để chi phí làm thùng là nhỏ nhất

Câu 43 Một nhà máy sản suất máy tính vừa làm ra x sản phẩm máy tính và bán với giá

p=1000-x cho một sản phẩm Biết rằng tổng chi phí để làm ra x sản phẩm là C(x)=3000+20x Vậy nhà máy cần sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi

nhuận tốt nhất

Câu 44 Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x vào

việc quảng cáo, N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức N(x) x230x6, 0x30 (

x tính theo đơn vị triệu đồng) Số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó lần lượt là :

A Biểu thức S không có giá trị lớn nhất B Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất

S   Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất B max

9

10



S

C Biểu thức S không có giá trị lớn nhất D min S 0

Câu 50 Xét x, ylà các số thực thỏa mãn điều kiện x2 y2 1 Đặt  2 

A Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất B min S  6

C Biểu thức S không có giá trị lớn nhất D maxS 2

……….……….……….……

……….……….……….…………

…



 là:

, 42





 có:

A Có tiệm cận đứng là x  2 và không có tiệm cận ngang

B Có tiệm cận ngang y  2 và không có tiệm cận đứng

C Có tiệm cận đứng là y  2 và tiệm cận ngang x 2

D Có tiệm cận đứng là x  2 và tiệm cận ngang y 2

Câu 8 Đường tiệm cận ngang của hàm số 3

2 1

x y x

x y

x y

x y

x

Câu 11 Cho hàm số 3 1

2 1

x y x

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: ym2m

Tiệm cận ngang qua A(–3;2)  m 1 m 2

Câu 13 Cho hàm số  



mx y

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: 

2

m x

Mà tiệm cận đứng đi qua điểm  1 1

1

x y x

  và tiệm cận ngang 2

y m



Khi đó, phương trình đường tiệm cận ngang là d y: m

d tiếp xúc với parabol y x2  5 m 5

Câu 17 Tìm m để đồ thị hàm số

2

42

A m 1 B Với mọi m C m  0 D Không có m

Câu 19 Với điều kiện nào của tham số m cho dưới đây, đồ thị hàm số

2 2

2( ) :

x y mx

 



 không

có tiệm cận ngang?

A Với mọi m B m 0 C m 1 D Không có m

Câu 23 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm sốC m:y 2 x 1





  có hai đường tiệm cận đứng

A Mọi m  B

1.42

m m

m m

x có mấy tiệm cận ngang

x Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng

Câu 29 Đồ thị hàm số 22 9

1

x y x

x x y

x



 là:

58

Câu 32 Cho hàm số 28 3

6

x y

x x





  Khẳng định nào sau đây là đúng

A Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Câu 33 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

34

y x

x y

x y

x y x

59

Câu 36 Cho   C là đồ thị hàm số 1

2

x y x





 sao cho khoảng cách

từ M đến tiệm cận đứng của (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox





 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng

B Đồ thị của hàm số đã cho có một tiệm cận ngang

C Đồ thị của hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x  1 và x 1

D Đồ thị của hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  1 và y 1

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

y

Hướng dẫn giải

Dựa vào TCN – TCĐ và điểm mà đồ thị đi qua ( giao điểm trục hoành, trục tung)

Câu 2 Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = x 3 + x – 2:

Câu 3 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số y   x4 4x2

Dựa vào đồ thị, phương trình x44x2  1 m  0 có 4 nghiệm phân biệt khi

Dựa vào đồ thị có 4 nghiệm phân biệt 0 1 m    4 3 m  1

Câu 4 Đường cong bên là đồ thị của hàm số:

A yx33x2 B

4 2

1 2

y

-2 -1 1 2

-2 -1

1 2

y

-2 -1 1 2

-2 -1

1 2

- Ta thấy hệ số  0a và giao điểm với trục Oy là  0;1

Câu 7 Đồ thị sau đây là của hàm số: y x44x2.Với giá trị nào của m thì phương trình: x44x2m20 có bốn nghiệm phân biệt ? Chọn câu đúng

-1

-2

1 O

Để PT có 4 nghiệm phân biệt thì 0 < m – 2 < 4  2 < m < 6

Câu 8 Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

1

x y

x y x





11

x y x





21

x y

Câu 9 Đồ thị hình bên là của hàm số:

A

3 213

x y

Câu 10 Đường cong nào trong hình bên là đồ thị của một hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A y  x3 3x B y   x3 3

C y   x3 3x D y x33x

Hướng dẫn giải

x y

O 2

-2

1

-2

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Câu 11 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số

được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hàm số đó là