Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh B trờn đường chộo AC của hỡnh chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.. Người ta sơn cỏc đỉnh của đa giỏc bằng hai màu xanh và đỏ.. Chứn
Trang 1UBND HUYệN YÊN LạC
PHòNG GD & đt
đề thi giao LƯU hsg LớP 8 CấP HUYệN
năm học 2014-2015 Môn : Toán 8
Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Cõu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức
a) (0,75 điểm) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P
b) (0,75 điểm) Với x>0 thỡ P khụng nhận những giỏ trị nào?
c) (1,0 điểm) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P cú giỏ trị nguyờn
Cõu 2: (2 điểm): Cho biểu thức
Chứng minh rằng:
a) (1,0 điểm) Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ M >1
b) (1,0 điểm) Nếu M=1 thỡ hai trong ba phõn thức đó cho của biểu thức M bằng 1, phõn thức cũn lại bằng -1
Cõu 3(2 điểm):
a) (1,0 điểm) Cho n là tổng của hai số chớnh phương CMR n2 cũng là tổng của hai số chớnh phương
b) (1,0 điểm) Cho đa thức A = ax2 + bx + c Xỏc định hệ số b biết rằng khi chia A cho x-1, chia A cho x+1 đều cú cựng một số dư
Cõu 4(2,5 điểm):
a) (1,0 điểm) Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh B trờn đường chộo AC của hỡnh chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD Tớnh số đo của gúc BMK b) (1,5 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn trực tõm H, trờn đoạn BH lấy điểm M và trờn trờn đoạn CH lấy điểm N sao cho CMR AM = AN
Cõu 5(1 điểm):
a)(0,5điểm) Cho a, b, c >0
Đề CHíNH THứC
Trang 2b) (0,5 điểm) Cho đa giỏc đều gồm 1999 cạnh Người ta sơn cỏc đỉnh của đa giỏc bằng hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cựng một màu tạo thành một tam giỏc cõn
UBND HUYệN YÊN LạC
PHòNG GD & đt
HƯớNG DẫN CHấM đề thi giao LƯU hsg LớP 8
năm học 2014-2015 Môn : Toán 8
Cõu 1: a) ĐKXĐ: x≠
b) Ta cú => = Để x>0 thỡ >0 <=> >0 <=>
Vậy x>0 thỡ P khụng nhận những giỏ trị từ -1 đến 1, P
c) Ta cú
P cú giỏ trị nguyờn <=> x-3 U(6) = {
Từ đú tớnh được x{ ( Chỳ ý loại x= - 3)
Cõu 2a)
Vỡ a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giỏc nờn a, b, c>0 và a+b-c>0 ; a+c-b>0; c+b-a>0
Ta cần chứng minh M =A +B+C> 1 hay (A -1) +(B-1) +(C+1)>0
Ta cú
Suy ra (A -1)+(B-1)+(C+1) =
=
Trang 3=
Từ đó suy ra M-1 >0 đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay M >1
b) M =1 <=> M = 0 <=>
<=>
Ta xét ba trường hợp
C+1=0; Suy ra A=1; B=1;C=-1
0;
C-1=
B-1=0; Suy ra A=-1; B=1;C=1
Trang 4B=-1;C=1
Như vậy trường hợp nào cũng cú hai trong ba phõn thức A, B, C bằng 1, phõn thức cũn lại bằng -1
Cõu 3a) Đặt N = a2 + b2 v[is a, b N
Khi đú N2=a4−2a2b2 +b2+4a2b2 =(a2−b2)2+(2ab)2 là tổng của hai số chớnh phương
b) Giả sử A = ax2 + bx + c = (x-1).P +R (1)
A = ax2 + bx + c = (x+1).Q +R (2)
Cho x=1 thỡ từ (1) ta cú: a+b+c=R
Cho x=-1 thỡ từ (2) ta cú: a-b+c=R
Do đú a+b+c=a-b+c 2b=0 => b=0
Cõu 4a : Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD ; I
và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC Tính số đo của góc AIJ Lời giải
Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung điểm
mà đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết giữa I và J
Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm
J
A
B
Trang 5Hình 2 Hình 1
O P
P
J
J
B
C D
C D
A
(Hỡnh 1) Gọi P là trung điểm của AH => PI là đường trung bỡnh của tam giỏc AHD => PI//AD mà AD AB hì IP AB và P là trực tâm của ABI Từ đó tứ giác BPIJ là h.b.h , BP // IJ mà BP AI nên JI AI
Cõu 4b)
Gọi P,Q lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B và C
Tam giỏc vuụng AMC cú đường cao MP => AM2=AP.AC
Tam giỏc vuụng ANB cú đường cao NQ => AN2=AQ.AB
Xột tam giỏc APB và AQC cú:
Gúc A chung
Gúc APB=AQC=90 độ
=> tam giỏc đồng dạng
=> AP.AC=AQ.AB
=> AM2=AN2
=> AM=AN
Cõu 5a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a,b,c>0, ta cú:
Áp dung BĐT Cauchy Schwarz Ta cú:
P
Q H M
N A
Trang 6Suy ra
Tương tự:
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:
Câu 5b Cho đa giác đều gồm 1999 cạnh Người ta sơn các đỉnh
của đa giác bằng 2 màu xanh và đỏ Chứng minh rằng phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân
Giải
Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh Do đó phải tồn tại 2 đỉnh
kề nhau là P và Q được sơn bởi cùng một màu – màu đỏ (Theo nguyên tắc Dirichle)
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ, nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh đó là A
Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A,
P, Q được tô cùng màu đỏ
Nếu A tô màu xanh Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác
kề với P và Q
Nếu cả 2 đỉnh B và C được tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có
3 đỉnh cùng
tô màu xanh
Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh B và C mà tô màu đỏ thì tam giác BPQ hoặc tam giác CPQ là các tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu đỏ