M là điểm bất kì trên đoạn AD.. Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ^ BA và gọi E là giao đi
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
Năm học: 2011-2012 Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
a) A = 13 30 2 9 4 2
b) B = 2 3 2 3
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức: P = x 3 x 2 x 2 : 1 x
x 2 3 x x 5 x 6 x 1
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1
P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình: y - x = xy
4x + 3y = 5xy
Bài 4: (2 điểm)
Giải phương trình: x2 8x 15 3 x 3 2 x 5 6
Bài 5: (6 điểm)
Cho DABC vuông cân tại A, trung tuyến AD M là điểm bất kì trên đoạn AD Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ^ BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng: D EBN vuông cân
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp
Họ tên thí sinh: ……… số báo danh: ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2
§Ò 12 HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (5 điểm) Rút gọn biểu thức:
= 13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1) 2 (0,5 điểm)
b) B = 2 3 2 3
3 điểmNhân cả tử và mẫu với 2 ta có:
B = 2 2 6 2 2 6
B = 2 2 6 2 2 2 6 2
= 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 6
B = (2 2 6)(3 3) (2 2 6)(3 3)
6
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức: P = x 3 x 2 x 2 : 1 x
x 2 3 x x 5 x 6 x 1
Điều kiện: x 0; x 4; x 9 (0,25 điểm)
P = x 3 x 2 x 2 : 1 x
P= ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) x 2 : x 1 x
( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 1
P = x 3 : 1
P = x 1
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0 1 điểm
P < 0 hay x 1
x 2
< 0 Vì x > 0 => P < 0 <=> 1 x 2 0 (0,25 điểm)
Trang 3<=> x 2 <=> 0 x < 4 (0,5 điểm)
Vậy với 0 x < 4 thì P < 0 (0,25 điểm)
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1
P đạt giá trị nhỏ nhất. 1 điểm
P = x 1
x 2
=> 1
P =
1
x
1
P nhỏ nhất <=>
3 1
x lớn nhất (vì
3 1
x >0 (0,5 điểm)
3
1
x lớn nhất <=> x 1 nhỏ nhất (0,5 điểm)
1
Vậy x = 0 thì 1
P đạt giá trị nhỏ nhất khi đó
1
P = - 2 (0,5 điểm)
Bài 3: (3 điểm)
Giải hệ phương trình: y - x = xy
4x + 3y = 5xy
* Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là một nghiệm của hệ PT (0,5 điểm)
* Xét với x 0; y 0
Chia 2 vế của từng phương trình của hệ cho xy ta được:
1 1
1
4 3
5
x y
y x
(0,5 điểm)
Đặt 1=a
x và
1
y = b ta có hệ phương trình
1
3 4 5
a b
Giải hệ tính được a = 9
7 và b =
2
7 Tính đúng mỗi giá trị của a, b cho 0,25 điểm = (0,5 điểm)
=> x = 7
9 và y =
7
2 mỗi giá trị cho 0,25 điểm => (0,5 điểm) Vậy nghiệm của hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) = (0; 0) và (7
9;
7
2) (0,5 điểm) Kết luận thiếu 1 nghiệm trừ 0,25 điểm
Bài 4: (2 điểm) Giải phương trình: x2 8x 15 3 x 3 2 x 5 6 (1)
Điều kiện: x ≥ –3, ta có:
(1) Û (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0 (0,5 điểm)
Û ( x 3 2)( x 5 3) 0 (0,5 điểm)
Trang 4Û x 3 2 x 3 4 x 1
x 5 9 x 4
x 5 3
(0,5 điểm) Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4 (0,5 điểm)
Bài 5: (6 điểm)
Cho DABC vuông cân tại A, trung tuyến AD M là điểm bất kì trên đoạn AD Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ^ BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng: D EBN vuông cân
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp
I
M
H
C D
E B
N
A
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn 2 điểm
Chỉ ra được tứ giác ANMP là hình vuông (0,5 điểm)
=> 4 điểm A, N, M, P cùng nằm trên một đường tròn gọi tâm là O (0,5 điểm)
Chỉ ra được NP là đường kính của đường tròn đi qua 4 điểm trên và góc NHP vuông nên H
Vậy 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn (O) (0,5 điểm)
b) Chứng minh rằng: D EBN vuông cân 2 điểm
Chỉ ra được tam giác BDE = tam giác CDP (g.c.g) (0, 5 điểm)
Chỉ ra được BN = CP (cùng là hiệu hai đoạn thẳng bằng nhau) (0,5 điểm)
Lại có góc NBE = 1 vuông (gt) (0,25 điểm)
Nên tam giác BNE vuông cân tại B (0,25 điểm)
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp 2 điểm
- Chỉ ra được góc NHM = góc NAM = 450 (cùng chắn cung MN) (1) (0,5 điểm)
- Chỉ ra được góc NHB = góc NEB = 450 (2) (0,5 điểm)
=> góc NHB = góc NHM =>HM trùng với HB hay B, M, H thẳng hàng (0,5 điểm)
- Chỉ ra được tứ giác AHDB nội tiếp (0,5 điểm)