Có thể thấy rất rõ điều đó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền thời gian là tích thường trong miền tần số và ngược lại.. Biểu thức DFT[nN] rec
Trang 1Hay : N
N
N N
N
n
n k j n
n
e n x n
x
0
* ) ( 1
0
*
4.3.2k Tính đối ngẫu của DFT : DFT có tính đối ngẫu, nghĩa là các tính chất và các dãy trong miền thời gian rời rạc n
và miền tần số rời rạc k của DFT là hoán vị cho nhau.
Có thể thấy rất rõ điều đó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền thời gian là tích thường trong miền tần số và ngược lại Biểu thức DFT[(n)N] rect N(k) và biểu thức
N N
DFT[rect (n) ] ( ) cũng là thể hiện tính đối ngẫu của DFT đối với các dãy trong miền thời gian và miền tần số
4.4 tính trực tiếp DFT và IDFT
DFT được sử dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biệt là để phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý ảnh, và tổng hợp mạch lọc số
4.4.1 Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT
4.4.1 a Số lượng phép toán của DFT
Nếu x(n) N là dãy số thực, có thể tính trực tiếp DFT theo [4.2-3] :
N N
N
N
k
n
n
e n
) (
1 0
Hay : X(k)N DFTx(n)N A(k)N e j (k) X(k)N .e j (k) [4.4-1]
Trong đó :
N
1 0
sin
) (
cos ) ( )
N N
N
n
k N
k N k
n jx n
n
1 0
cos
) ( )
N N
n
N k
n
1 0
sin
) ( )
N N
n
N k
n
Dãy mô đun : X(k)N X R2 (k)N X I2 (k)N
N
N
k X
k X k
R
I
arctg
) (
) ( )
(
Như vậy, để tìm X (k) N , cần phải tính các dãy phần thực và phần ảo, để từ đó tính được mô đun và argumen của X (k) N
, hoặc độ lớn A(k) N và pha (k) Tại mỗi mẫu của X (k) N cần phải tính N lần cos(k1n) và sin(k1n) , 2N phép nhân số thực, 2( N
- 1 ) phép cộng số thực, 2 phép bình phương, 1 phép khai căn, 1 phép chia, và 1 phép tính artg Để nhận được N mẫu của X (k) N
phải thực hiện gấp N lần số phép toán trên Tức là, để tính trực tiếp DFT độ dài N cần :
- 2N2 phép tính hàm số lượng giác
- 2 N2 phép nhân số thực
- 2 N ( N - 1) phép cộng số thực
- Ngoài ra còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, và N phép tính artg.
Trong trường hợp x(n) N là dãy phức : x(n)N x1(n)N jx2(n)N, thì số lượng các phép toán trên phải tăng gấp đôi Như vậy, số lượng các phép toán để tính DFT là rất lớn, nên khi N lớn thì tính DFT bằng máy tính cũng tốn rất nhiều thời gian
4.4.1b Số lượng các phép toán khi tính trực tiếp IDFT
Tính trực tiếp IDFT thực hiện theo biểu thức [4.2-4] :
1 0
1
) ( )
( )
N
N N
N
n
n jk
e IDFT
n
N k
1 0
sin
) (
cos ) ( )
N N
N
n
k N k
X k N k
X N
n j
n n
So sánh các biểu thức [4.4-3] và [4.4-8] thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT chỉ khác nhau dấu của phần ảo và hệ số chia N Do đó, số lượng các phép tính và thuật toán để tính DFT và IDFT về cơ bản là giống nhau Sau đây sẽ xét một số trường hợp thực tế thường gặp
Trang 24.4.2 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, đối xứng, N lẻ
4.4.2 a Tính DFT
Dãy x(n) Nthực, đối xứng có :
N
n
Do N lẻ, nên trục đối xứng ở mẫu
n = ( N - 1)/2 Ví dụ, dãy đối xứng x(n)5
trên hình 4.11 có N = 5 , nên trục đối xứng
ở mẫu n = 2
Theo biểu thức DFT[4.2-3] có :
Hình4.11: Dãy x(n)5 đối xứng.
1 0
1
) ( ]
) ( [ )
(
N
N N
N
n
n jk
e n x n
x DFT
k
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
1 2 1
1 2 1
0
1 2
1 1
) ( )
(
2
N
N N
N
N N
n
n jk jk
n
n
e n
k
Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = ( N - 1 - n) => n = ( N - 1 - m),
khi 1
2
1
N
2 1
N
m , khi n (N 1) thì m 0 :
0
1 2 1
) 1 ( 1
1 2
1
1
)
N
N N
N
N
N
m
m jk
n
n
e n
Đổi lại biến m về n và đảo cận của tổng trên, nhận được X (k) N có dạng :
1 1 1
2 1
1 2
1
0
) ( )
n
n
e n x
N
N
N N
N k
1 2 1
0
) 1 (
1 )
N
N N
n
n jk
e n
Vì dãy x(n) Nđối xứng có x(n) x(N 1 n) nên nhận được :
1
0
) 1 (
1 1
2 1
)
(
2 1
N
N N
N
N
n
n jk
n jk jk
e e
n x e
k
n jk
n jk
N N
N
e
1
N
n jk n jk
2
1
1 )
1
1
Do đó [4.4-9] được đưa về dạng :
1
0
1
1 2
1
) (
2
1
2 2
N
N N
N
jk
n
jk
e n n
x e
k X
2
1
2
1
, khi n 0 thì
2
1
N
2
1
N
n thì m 1, đồng thời thay
N
2
cos
2 2
N
N N N N
jk m
e m m x x
N k N N k X
Đổi biến m trở về n và đảo cận của dấu tổng, nhận được :
k
n
N
N
N
N
N x x n n k e
N
N
N
k
X 2 .
1
.
cos
2
.2
2
[4.4-10]
21 1
cos )
2
1 2 2
1
N
N N
N
n
k N
N N
n x x
N
N
Theo [4.4-12], X (k) N có pha (k) tuyến tính Theo [4.4-11], số phép toán để tính A(k) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa
Hơn nữa, A(k) N là dãy đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1) , nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(0) N và A(1) N đến A[( N
-1)/2]N rồi lấy đối xứng Vậy khi x(n) Nlà dãy thực đối xứng, N lẻ thì số phép toán tính DFT giảm còn khoảng 1/4
Trang 3Ví dụ 4.13 : Tính DFT của dãy x(n)5thực, đối xứng, với N lẻ ở hình 4.11
Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n)5ở hình 4.11 , lập bảng 4.3 :
Bảng 4.3 : Các giá trị của dãy x(n)5 đối xứng.
2
1 5 2
(
N
, theo [4.4-12] có : k k
5
4
)
2
1
5 5
) (
5
2 2
2
n
k
n x x
A
5
4 0
2 5
2 1
2
( )
k
A
5
4 5 , 0 5
2
)
5
4 5 , 0 0 5
2 1
A
9 , 0 8 , 0 5 , 0 3 , 0 1 5
4 5 , 0 5
2 1
A
35 , 0 3 , 0 5 , 0 8 , 0 1 2 5
4 5 , 0 2 5
2 1
A
35 , 0 3 , 0 5 , 0 8 , 0 1 3 5
4 5 , 0 3 5
2 1
A
9 , 0 8 , 0 5 , 0 3 , 0 1 4 5
4 5 , 0 4 5
2 1
A
Do tính đối xứng của A(k)5 trong khoảng 1 k ( N - 1), nên có thể suy ra ngay : A(3)5 A(2)5 0 , 35 ;
9 , 0 1
A
Theo các giá trị đã tính được của A(k)5 , lập bảng 4.4
Bảng 4.4 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.13
(k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10
Theo bảng 4.4 , xây dựng được đồ thị của A(k)5 và (k) trên hình 4.12
A(k)5 (k)
Hình4.12: Đồ thịDFT của dãy x(n) 5 thực, đối xứng,N lẻ
4.4.2b Tính IDFT khi x(n) Nlà dãy thực, đối xứng,Nlẻ
Mục 4.4.2a ở trên cho thấy, khi X (k) N có N lẻ, (k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 k ( N
- 1) , thì x(n) N là dãy thực đối xứng Theo biểu thức IDFT[4.2-4] có :
1 0
) ( 1
0
1
) ( 1 ) (
N
N N
N N
k
n jk k j k
n
e n
N k
X N
jk k
N N
N N
e e
e e
e
1
0
) 1 2 (
) ( 1 ) (
N
N N
N
k
n k j
jk e e A n
N
Khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
4
- 1
k
0 , 9
2 , 5
0 , 9
0 , 3 5
5
- 1 0
- 5 , 0
k
- 7 , 5
- 2 , 5
2
0
Trang 4
2
1
1
) 1 2 (
) ( )
( )
N
N N
N N
k
n k j
jk e e A A
n
N N
1
1 2 1
) 1 2 (
) (
N
N N
k
n k j
jk e e
N
[4.4-13]
Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = ( N - k) k = ( N - m) Khi
1 2
1
2
1
N
m , còn khi k = ( N - 1) thì m = 1 , do đó có :
1
2 1
) 1 2 ( ) )
1
1 2 1
) 1 2
) (
1
) ( 1
N
N N N
N N
N
N N
m
n m j m j
k
n k j
e
N
k N
Trong đó, vì N lẻ và (2n + 1) lẻ nên :
) 1 2 ( )
1 2 ( )
1 2 ( )
1 2 ( )
(
m j jm
n m j n j jm j n
m j m
N N
N N
e
Đổi biến m trở về k và đổi cận của dấu tổng, nhận được :
2 1
1
) 1 2 ( 1
1 2 1
) 1 2 (
) ( 1
) ( 1
N
N N
N
N
N N
k
n k j jk k
n k j
e
N
k N
Do đó biểu thức [4.4-13] của x(n) N có dạng :
2 1
1
) 1 2 ( 2
1
1
) 1 2 (
) ( 1
) ( 1 )
(
)
N
N N
N
N N
N N
k
n k j jk k
n k j
e A A
n
N
k N
N
2 1
1
) 1 2 ( 2
1
1
) 1 2 (
) (
) ( 1 )
.(
) ( 1 ) (
)
N
N N
N
N N
N N
k
n k j k k
n k j
A
A
n
N
k N
N
Vì A(k) Nđối xứng trong khoảng
1 k ( N - 1) , nên A(k) N = A( N - k) N :
2 1
1
) 1 2 ( )
1 2 (
) ( ) ( )
( )
N
N N
N N
N
k
n k j n
k j
A n
N N
2 1
1
) ( cos ) ( ) ( )
( )
N
N N
N
k
A n
x
N
k k
N N
Theo [4.4-14], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n) Nlà dãy đối xứng, nên để nhận
được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x[( N - 1)/2]N rồi lấy đối xứng Vậy khi X (k) N có N lẻ, pha (k) tuyến tính và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4
Bảng 4.5 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.14
(k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10
Giải : Theo [4.4-14]và số liệu ở bảng 4.5 tính được :
2 1
5
5
)
5
1 5
2 5
0
k
A n
)
5
2 2
4 , 0 1 2 5 1
4 , 0 5 ,
n
25 , 0 31 , 0 14 , 0 81 , 0 36 , 0 5 , 0 5
2 35 , 0 4 , 0 5 9
, 0 4 , 0 5 , 0
5 , 0 81 , 0 14 , 0 31 , 0 36 , 0 5 , 0 5
6 14 , 0 5
3 36 , 0 5
,
0
x
1 1 14 , 0 1 36 , 0 5 , 0 5
10 14
, 0 5
5 36 , 0 5
,
0
Trang 55 , 0 81 , 0 14 , 0 31 , 0 36 , 0 5 , 0 5
14 14
, 0 5
7 36 , 0
5
,
0
x
25 , 0 31 , 0 14 , 0 81 , 0 36 , 0 5 , 0 5
18 14
, 0 5
9 36 , 0 5
,
0
x
Theo các số liệu trên, lập được bảng 4.6 :
Bảng 4.6 : Các giá trị x(n)5 của ví dụ 4.14
Ví dụ 4.14 là bài toán ngược của ví dụ 4.13, so sánh các bảng 4.6 và 4.3 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất Đồ thị của
x(n)5 trên hình 4.11
4.4.3 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, đối xứng, N ch nẵn
4.4.3a Tính DFT
Vì N chẵn, nên trục đối xứng ở
giữa hai mẫu [(N /2) - 1] và (N /2)
Ví dụ, dãy đối xứng x(n)6 trên
hình 4.13 có N = 6 , nên trục đối ở giữa
hai mẫu n = 2 và n = 3
Theo biểu thức DFT[4.2-3] có :
x(n)6
Hình4.13: Dãy x(n)6đối xứng.
1 0
1
) ( ]
) ( [ )
(
N
N N
N
n
n jk
e n x n
x DFT
k
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
1
2
1 2 0
1
) ( )
(
N
N
N N
n
n jk n
n
jk x n e e
n x
k
Đổi biến tổng thứ hai và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được :
2
1
) 1 ( ) ( cos )
2
N
N N
N N
n
k j
e n
n
N
N k
X
[4.4-15]
2 1
) ( cos )
2
N
N
N n
k N
N
n x
N
N
Theo [4.4-17], X (k) N có pha (k) tuyến tính Theo [4.4-16], số phép toán để tính mỗi điểm của A(k) N giảm còn một nửa
Hơn nữa, vì A(k) N phản đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(0) N đến A( N /2)N rồi lấy
phản đối xứng Vậy khi x(n) Nlà dãy thực đối xứng, N chẵn thì số phép toán của DFT giảm còn khoảng 1/4
Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n)6ở hình 4.13 , lập bảng 4.7 :
Bảng 4.7 : Các giá trị của dãy x(n)6 đối xứng.
Với N = 6 thì 3
2
6
N
, theo [4.4-17] có : k k
6
5
)
Theo [4.4-16] có :
3
1
6
) (
6
1 2 3
.
n
k
A
6
5 0
2 6
3 1
2 6
2
)
k
A
6
5 5 , 0 6
3 6
)
Tính A(k)6 và (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.8 :
Bảng 4.8 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.15
5
n
1 1
0 , 5
0 , 2 5
0 , 2 5 0 , 5
Trang 6k 0 1 2 3 4 5
(k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1
Theo bảng 4.8 , xây dựng được đồ thị của A(k)6 và (k) trên hình 4.14
A(k)6
(k)
Hình4.14: Đồ thịDFTcủa dãy x(n)6 thực, đối xứng,Nchẵn
4.4.3b Tính IDFT khi x(n) Nlà dãy thực, đối xứng,Nchẵn
Mục 4.4.3a ở trên cho thấy, khi X (k) N có N chẵn, (k) tuyến tính theo [4.4-16] và A(k) Nphản đối xứng trong khoảng 1
k (N - 1), thì x(n) N là dãy thực đối xứng Thực hiện tương tự như ở mục 4.4.2b , nhận được :
1 2 1
) ( cos ) ( ) ( )
( )
N
N N
N
k
A n
x
N
k k
N N
Theo [4.4-18], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n) Nlà dãy đối xứng, nên để nhận
được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x( N /2)N rồi lấy đối xứng Do đó trong trường hợp này, số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4
Bảng 4.9 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.16
(k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1
Giải : Theo [4.4-18]và số liệu ở bảng 4.9 tính được :
2 1
6
6
)
6
1 6
2 6
0
k
A n
)
6
2 25 , 0 6
2 1 2 6 3 , 1 6
2 6 5 , 3
n
)
6
2 08 , 0 1 2 6 43 , 0 58 , 0
n
Theo biểu thức trên, tính x(n)6 và lập được bảng 4.10 :
Bảng 4.10 : Các giá trị x(n)6 của ví dụ 4.16
Ví dụ 4.16 là bài toán ngược của ví dụ 4.15, so sánh các bảng 4.10 và 4.7 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất Đồ thị của
x(n)6 trên hình 4.13
4.4.4 Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản đối xứng, N lẻ
4.4 4 a Tính DFT
Dãy x(n) N thực, phản đối xứng
có : x(n) x(N 1 n)
Vì N lẻ, nên tâm phản đối xứng ở
mẫu n = ( N - 1)/2 , và tại điểm đó x(n) N=
0
Ví dụ, dãy phản đối xứng x(n)5 ở
x(n)5
3
- 7 , 9
2
- 5 , 2
5
- 2 , 6
- 1 0 , 5
- 1 3 , 1
0 , 5 1
0
n
- 0 , 5
1 2
- 1 5
1
- 1
k
1 , 3
3 , 5
0 , 2 5
3
- 0 , 2 5
- 1 , 3
Trang 7hình 4.15 có độ dài N = 5 , nên tâm phản
đối xứng là mẫu n = 2
Hình4.15 : x(n)5phản đối xứng.
1 0
1
) ( ]
) ( [ )
(
N
N N
N
n
n jk
e n x n
x DFT
k
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
1 2 1
1 2 1
0
1 2
1 1
) ( )
(
2
N
N N
N
N N
n
n jk jk
n
n
e n
k
Do x(n) N= 0 tại tâm phản đối xứng ở mẫu (N - 1)/2 , nên có :
1
1 2 1
1 2 1
0
1
) ( )
(
N
N
N N
N N
n
n jk n
n
e n x
k
Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được :
1 2 1
0
) 1 ( 1
2 1
0
1
) ( )
N
N N
N
N N
n
n jk
n
n
e n
k
Do x(n) Nphản đối xứng có x(n) x(N 1 n), nên từ biểu thức trên có :
1
21 0
) 1 (
1 1
) ( )
(
N
N N
N
n
n jk
n
e n x
k
Biến đổi tiếp nhận được :
k j n
N N N
N
N x n n k e
N
N k
X
2( )1
21
1
sin
2
1
21 1
.
2 2
1 2 sin )
N
N
N
n
k N
N
n x
N
N
2
Theo [4.4-21], X (k) N có pha (k) tuyến tính Theo [4.4-20], số phép toán để tính A(k) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa,
hơn nữa A(0) N = 0 và A(k) N phản đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(1) N đến A[( N
- 1)/2]N rồi lấy phản đối xứng Vậy khi x(n) Nlà dãy thực phản đối xứng, N lẻ thì số phép toán của DFT còn khoảng 1/4
Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n)5 ở hình 4.15 , lập bảng 4.11 :
Bảng 4.11 : Giá trị của dãy phản x(n)5 đối xứng
x(n)5 0,25 0,50 0,00 -0,50 -0,25
2
1 5 2
(
N
, theo [4.4-21] có : k k
5
4 2
)
2
1
5 5
5
2 2
.
) (
n
k
n x
A
5
4 0
2 5
2 1
.
)
k
A
5
4 5 , 0 5
sin )
Tính A(k)5 và (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.12
Bảng 4.12 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.17
A(k)5 0,0 1,25 0,11 -0,11 -1,25
(k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48
Trang 8Theo bảng 4.12 , xây dựng được đồ thị của A(k)5 và (k) trên hình 4.16
A(k)5
(k)
Hình4.16: Đồ thịDFTcủa dãy x(n)5 thực, phản đối xứng, N lẻ
4.4.4b Tính IDFT khi x(n) Nlà dãy thực, phản đối xứng,Nlẻ
Mục 4.4.4a ở trên cho thấy, khi X (k) N có N lẻ, (k) tuyến tính theo [4.4-20] , A(0) N = 0 và A(k) Nphản đối xứng khi 1
k ( N - 1), thì x(n) N là dãy thực phản đối xứng Từ biểu thức IDFT [4.2-4] có :
1 0
) ( 1
0
1
) ( 1
)
(
N
N N
N N
k
n jk k j k
n
e n
N k
X N
2
) (
.
n jk k
N N
N N
e e
e e
e
1
0
) 1 2 ( 2
) ( 1 ) (
N
N N
N
k
n k j k j
e e
A n
N
Vì A(0) N = 0 , nên khai triển biểu thức trên thành hai tổng :
1
1 2 1
) 1 2 ( 2
2 1
1
) 1 2 (
) ( )
N
N
N N
N
N N
N
k
n k j k j k
n k j k j
e e
A e
e A n
N
k N
Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2b , nhận được :
2 1
1
) 1 2 ( 2
1
1
) 1 2 (
) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
N
N N
N
N N
N
k
n k j k k
n k j
j A n
N
k N
Vì A(k) Nphản đối xứng khi 1 k ( N - 1) , nên A(k) N = - A( N - k) N :
2 1
1
) 1 2 ( )
1 2 (
) ( ) ( )
N
N N
N N
k
n k j n
k j
j A n
N
2 1
1
) 1
) ( )
N
N N
k
n x
N
k k
N
Theo [4.4-22], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm còn một nửa, hơn nữa x(n) Nlà dãy phản đối xứng, nên để
nhận được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x[( N - 1)/2]N rồi lấy đối xứng Vậy khi X (k) N có N lẻ, (k) tuyến tính, A(0) N = 0 và
A(k) N đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4
Bảng 4.13 : Các giá trị của A(k)5 và (k)
A(k)5 0,0 1,25 0,12 -0,12 -1,25
(k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48
Giải : Theo [4.4-22] và số liệu ở bảng4.13 tính được :
2 1
5 ) 1 (
)
5
1 5
2
k
n
1 , 5 7
- 0 , 9 4
- 3 , 4 5
- 5 , 9 7
- 8 , 4 8
0
k
0
k
0 , 1 1
1 , 2 5
- 0 , 1 1
- 1 , 2 5
Trang 9
)
5
2 05 , 0 1 2 5 5 , 0
n
Tính x(n)5 theo biểu thức trên, lập được bảng 4.14 :
Bảng 4.14 : Các giá trị của x(n)5
Ví dụ 4.18 là bài toán ngược của ví dụ 4.17, so sánh các bảng 4.14 và 4.11 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất Đồ thị của
x(n)5 trên hình 4.15
4.4.5 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, phản đối xứng, N ch nẵn
4.4.5 a Tính DFT
Vì N chẵn, nên tâm phản đối
xứng ở giữa mẫu [(N /2) - 1] và mẫu (N /
2)
Ví dụ, dãy phản đối xứng x(n)6
trên hình 4.17 có độ dài N = 6 , nên tâm
phản đối xứng ở giữa hai mẫu n = 2 và
n = 3
Theo biểu thức DFT[4.2-3] có :
1
0
1
) ( )
(
N
N N
n
n jk
e n x
k
x(n)6
Hình4.17: Dãy x(n)6đối xứng.
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
1
2
1 2
0
1
) ( )
(
N
N
N N
n
n jk n
n jk
e n x e
n x
k
Biến đổi tương tự như ở mục 4.4.2a , nhận được :
2
1
) 1 ( 2 ) ( sin )
2
N
N N
N N
n
k j
e n
n
N
N k
X
[4.4-23]
2 1
) ( sin )
2
N
N
N n
k N
N
n x
N
N
2
Theo [4.4-25], X (k) N có pha (k) tuyến tính Theo [4.4-24], số phép toán để tính mỗi điểm của A(k) N giảm còn một nửa,
hơn nữa vì A(k) N đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(0) N đến A( N /2)N rồi lấy đối
xứng Vậy khi x(n) Nlà dãy thực, phản đối xứng, N chẵn thì số phép toán của DFT giảm còn khoảng 1/4
Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n)6ở hình 4.17 , lập bảng 4.15 :
Bảng 4.15 : Các giá trị của x(n)6 phản đối xứng
x(n)6 0,25 0,50 1,00 -1,00 -0,50 -0,25
Với N = 6 thì 3
2
6
N
, theo [4.4-25] có : k k
6
5 2
)
3
1
6
) (
6
1 2 3
.
n
k
A
6
5 0
2 6
3 1
2 6
2
2 ( ) sin ( ) sin ( ) sin )
k
A
6
5 5 , 0 6
3 6
)
Theo các biểu thức trên, tính được giá trị của A(k)6 và (k) ở bảng 4.16
Bảng 4.16 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.19
n
6
- 0 , 5
1
0 , 5 1
- 1
0 , 2 5
- 0 , 2 5
Trang 10(k) 1,57 -1,05 -3,66 -6,28 -8,90 -11,5
Theo bảng 4.16 , xây dựng được đồ thị của A(k)6 và (k) trên hình 4.18
A(k)6
Hình4.18: Đồ thịDFTcủa dãy x(n)6phản đối xứng, N chẵn
4.4.5b Tính IDFT khi x(n) Nlà dãy thực, phản đối xứng,N chẵn
Mục 4.4.5a ở trên cho thấy, khi X (k) Ncó N chẵn, (k) tuyến tính theo [4.4-24], A(0) N = 0 và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 k ( N - 1), thì x(n) N là dãy thực phản đối xứng Tương tự mục 4.4.4b , nhận được :
1
0
) 1 2 ( 2
) ( 1 ) (
N
N N
N
k
n k j k j
e e
A n
N
Vì A(0) N= 0 , nên khai triển biểu thức trên thành ba thành phần :
1 2
1
) 1 2 (
) ( )
(
2 1
k
n k j k j
N N N
N
N
N N
n
N k
N
1
1 2
) 1 2 ( 2
) (
N
N N
k
n k j k j
e e
A k N
Trong đó, vì N chẵn nên hệ số pha của thành phần thứ hai bằng :
n n
j j
n j j j n
j
N N N
e e
e e
e e
Đổi biến thành phần thứ ba, biến đổi tương tự mục 4.4.2b , nhận được :
1 2
1
) 1 2 ( ) ( ) ( 1
) ( )
2 1
N
N N
N N
k
n k j k n
e j A A
n
N
N N
1 2
1
) 1 2 ( )
( ) (
N
N N
k
n k j
k e j
N
Vì A(k) Nđối xứng khi 1 k ( N - 1) , nên A(k) N = A( N - k) N :
1 2
1
) 1 2 ( )
1 2 (
) ( ) ( )
( )
2 1
N
N N
N N
N
k
n k j n
k j k n
e e
j A A
n
N
N N
1 2 1
) ( sin ) ( ) ( )
( )
2 1
N
N N
N
k
k n
n A
A n
x
N
k k
N
N N
Theo [4.4-26], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm còn một nửa, hơn nữa x(n) Nlà dãy phản đối xứng, nên để
nhận được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x( N /2)N rồi lấy phản đối xứng Vậy khi X (k) N có N chẵn, pha (k) tuyến tính, A(0) N = 0
và A(k) N đối xứng khi 1 k ( N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4
Bảng 4.17 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.20
(k) 1,57 -1,05 -3,66 -6,28 -8,90 -11,5
Giải : Theo [4.4-26] và số liệu ở bảng 4.17 tính được :
2 1
6 6
)
6
1 6
2 3 6
1
k
k
n
n A
A n
3
k
1 , 3
1 , 5
1 , 3
2 , 2 5
2 , 2 5
6
(k)k))
1 , 5 7
- 1 , 0 5
- 3 , 6 6
- 6 , 2 8
- 8 , 9 0
0
k
5
- 1 1 , 5
