Theo lý thuyết hàm phức, XkN là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn klà dãy lẻ và phản đối xứng qua gốc tọa độ.. Khi thay đổi độ dài N của n N , thì tín hiệu n N không có gì thay
Trang 14.2 biến đổi F ourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có độ dài hữu hạn (DFT)
4.2.1 Biến đổi Fourier rời rạc ( DFT )
Xét dãy không tuần hoàn x(n) L có độ dài hữu hạn L Một cách gần đúng, có thể coi dãy x(n) L là một chu kỳ của
dãy tuần hoàn x p (n) với chu kỳ bằng N , khi đó với a là hằng số có :
L
N
a n x n
x(n) L
Hình4.2: Đồ thị của dãy x(n) L có độ dài L = 4.
x p (n)
Hình4.3: Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳN < L.
x p (n)
Hình4.4: Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳN = L.
x p (n)
Hình4.5: Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳN > L.
Đồ thị của dãy x(n) L trên hình 4.2 và dãy x p (n) trên hình 4.3 cho thấy rằng, nếu chu kỳ N của x p (n) nhỏ hơn độ dài
L của x(n) L (N< L ) thì dãy x(n) Lsẽ bị biến dạng do sự trùm thời gian Để không xảy ra hiện tượng trùm thời gian và dãy
x(n) L không bị biến dạng thì dãy tuần hoàn x p (n) phải có chu kỳ thỏa mãn điều kiện :
Hơn nữa, nếu N > L thì dãy tuần hoàn x p (n) phải có các mẫu với giá trị bằng 0 trong đoạn L n ( N - 1 ), như
đồ thị trên hình 4.5
Trong đoạn 0 n ( N - 1 ) biểu thức [4.2-1] có dạng :
L
n x n
x p( ) ( )
Từ đó, có thể trực tiếp suy ra cặp biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có độ dài hữu hạn x(n) L từ cặp
biến đổi Fourier rời rạc [4.1-9] và [4.1-7] của dãy tuần hoàn x p (n) Với N L có :
1 0
1
) ( )
(
N
L N
n
n jk
e n x
k
[4.2-3]
1 0
1
) ( 1 ) (
N
N L
k
n jk
e n
N
[4.2-4]
Trong đó 1 2 N và thừa số ejk 1n được gọi là hệ số pha Trong nhiều tài liệu, hệ số pha ejk 1n được ký hiệu là kn
N
W
Biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.2-3] của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N được viết tắt là DFT và ký hiệu như sau :
- 5 - 3 1 4 6
1
9
- 1
- 6 - 4 - 2 0 2 3 5 7 8
0 , 5
n
0
0 , 5 1
- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 4 - 3 - 2
- 5
- 6
1
0 , 5
1
0 , 5
1
0 , 5
1
0 , 5
n
0
0 , 5 1
- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 4 - 3 - 2
- 5
- 6
0 , 5
1 1
0 , 5
n
3
n
4 6
5
0 , 5 2
0
- 6 - 3 1
0 , 5
- 4
1
0 , 5
Trang 2] ) ( [ )
(k N DFT x n N
Biến đổi Fourier rời rạc ngược [4.2-4] của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N được viết tắt là IDFT và ký hiệu như sau :
] ) ( [ )
(n N IDFT X k N
Trong các biểu thức DFT[4.2-3] và IDFT [4.2-4] , quan hệ giữađộ dài L của dãy x(n) L và độ dài N của dãy X (k) N
phải theo điều kiện [4.2-2], tức là N L Khi tính DFT với N > L , coi như thêm vào dãy x(n) L các mẫu có giá trị bằng 0 ở các thời điểm L n ( N - 1 )
Vì X (k) N là dãy phức nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng :
Dạng phần thực và phần ảo :
N N
k
1 0
1 ) cos(
) ( )
(
N
N N
n
1 0
1 ) sin(
) ( )
(
N
N N
n
Dạng độ lớn và pha : X(k)N A(k)N e j (k)
Dãy độ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và : A(k)N X(k)N
Dạng mô đun và argumen : X(k)N X(k)N e j (k)
N
k
X( ) còn được gọi là dãy biên độ tần số, hay dãy phổ biên độ rời rạc
N
N
k X
k X k
R
I
arctg
) (
) ( )
(
Dãy (k) còn được gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc
Theo lý thuyết hàm phức, X(k)N là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn (k)là dãy lẻ và phản đối xứng qua gốc tọa độ
Ví dụ 4.2 : Hãy tìm DFT[(n)N], vẽ đồ thị tín hiệu (n) Nvà phổ của nó
) ( )
(
1 0
0
0 1
N
n khi
n khi
Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có hàm phổ rời rạc :
)]
( , [
)]
( , [
) ( ]
) ( [
1 0
0
1 0
1 1
0
1
N k
N k
khi
khi e
n n
DFT
N
N N
n
n jk
Đồ thị tín hiệu (n) Nvà phổ rời
rạc của nó là rect N (k) ở hình 4.6 Khi
thay đổi độ dài N của (n) N , thì tín hiệu
(n) N không có gì thay đổi, nhưng số
vạch của phổ rời rạc rect N (k) thay đổi
tương ứng, khi tăng N thì bề rộng phổ
tăng
Ví dụ 4.3 : Tìm DFT[rect L(n)N], với
N L
hàm phổ rời rạc :
(n) N
rect N (k)
Hình4.6 : (n) Nvà phổ của nó
1
1 1
1
1
1 ]
[
1 0
1 0
)
( )
(
jk jk n
n jk n
n jk
e
e e
e n rect n
rect
L L
N L N
L
DFT
) (
) (
)
2
1
1 ] [
N N
N
L N L
N L N
N
L N N
jk jk
jk jk
jk
e e e
e e
e e
e n
rect
1
1 2 0
0
.
3 2
.
1
3 ( N - 1 )
( N - 1 )
1
n
k
Trang 3Hay :
N L N
L
k j
e n
rect
N k
N L k DFT
) 1 (
sin
sin )
[
[4.2-17]
Xét trường hợp đặc biệt N = L : Trong khoảng 0k(N 1)thì sin(k)0, còn sink N0với mọi k.
Tại k = 0 có :
k N
k
k
k
k j
L
cos
) cos(
sin
) sin(
0
) 1 ( 0
Do đó :
) ( )
(
1 0
0
0 ]
[
N k
k N
DFT
khi
khi n
Biểu thức [4.2-18] cho thấy rằng, trong trường hợp N = L , khi thay đổi độ dài N của dãy chữ nhật rect N (n), thì
] )
(
[rect N n N
DFT vẫn chỉ có một vạch tại k = 0, nhưng biên độ của nó luôn bằng N Kết hợp [4.2-17] và [4.2-18] nhận
được :
L N k
N
L N N
k
N L k DFT
Khi
Khi e
n rect
N
N L
N L
k j
) ( sin
sin )
(
) 1 ( ]
[
4.2.2 Quan hệ giữa DFT với FT và ZT
Xét các biểu thức biến đổi thuận DFT , FT , và ZT của dãy x(n) N
1 0
1
) ( )
( )
(
N
N N
N
n
n jk
e n x n
x DFT
k
n
n j n
e
N N N
N
1
0
) ( )
( )
1 0
) (
) ( )
( )
(
N
N N
N
n
n n
z n x n
x FT z
X
1 0 1 1
0
1
0
) ( )
( )
n
n n
n j n
n jk
e z z n x e
n x e
n x
N N N
N N
Tức là giữa DFT , FT , và ZT có quan hệ :
n x FT n
x
Biểu thức [4.2-19] cho thấy, DFT chính là FT của các dãy có độ dài hữu hạn tại các tần số rời rạc
N
k
1 2 , và nó cũng chính là ZT của dãy có độ dài hữu hạn trên vòng tròn đơn vị |z| 1 tại các tần số rời
rạc k1 Có thể viết lại [4.2-19] dưới dạng :
1
) ( )
( ) (
j
e z z
k X
Theo [4.2-20], X (k) Nchính là X (e j ) của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N khi rời rạc hóa biến tần số góc liên tục thành
biến rời rạc k1 Quá trình rời rạc hóa biến tần số liên tục được gọi là lấy mẫu tần số
Nếu x(n) N là tín hiệu số thì dãy X (k) Nlà phổ rời rạc, nó nhận được bằng cách lấy mẫu tần số phổ liên tục X (e j ) Nếu h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số, thì H (k) Nlà đặc tính tần số rời rạc của hệ xử lý số, nó nhận được bằng cách lấy mẫu tần số đặc tính tần số liên tục H (e j )
Như vậy, DFT chính là lấy mẫu tần số, và để việc lấy mẫu tần số không làm biến dạng dãy gốc trong miền thời gian, thì phải không để xảy ra hiện tượng trùm thời gian (xem hình 4.3), do đó điều kiện để có thể khôi phục được hàm tần số liên tục X (e j ) từ hàm tần số rời rạc X (k) Nlà : Dãy gốc phải có độ dài L hữu hạn và độ dài N tính DFT phải
Điều kiện lấy mẫu tần số trên cũng có ý nghĩ vật lý tương tự như định lý lấy mẫu theo thời gian
Tuy nhiên, khi độ dài N tính DFT bằng độ dài của dãy gốc x(n), thì sai khác giữa dãy tần số rời rạc X (k) Nvà hàm tần số liên tục X (e j ) còn rất lớn, khi độ dài N tính DFT càng lớn thì sự sai khác giữa X (k) Nvà X (e j ) càng giảm, và khi N
thì X (k) N X (e j ) Có thể thấy rõ điều đó khi xem lại các biểu thức [4.2-17] , [4.2-18] ở ví dụ 4.3 và biểu thức [3.1-9] : Với L = N thì : X(k)N DFT[rect N(n)N]N.(k)N
N L N
L N
k j
e n
rect
N k
N L k DFT
k X
) 1 (
sin
sin )
( )
Khi biến đổi tiếp biểu thức [3.1-9] ở chương ba, nhận được :
Trang 4
) 1 ( 2
2 1
1
sin
sin )]
( [ )
(
L L
L
k j j
j
e
e n
rect FT
X
Đồ thị các hàm biên độ tần số trên hình 4.7 minh họa cho điều đó
a Đồ thị X (e j ) vớiL = 10 b Đồ thị X (k)10
c Đồ thị X (k)50 d Đồ thị X (k)100
Hình4.7 : X (e j )vớiL = 10 và X (k) NvớiNbằng10 , 50 , 100.
Theo [2.1-1], biến đổi z của dãy có độ dài hữu hạn x(n) Nlà :
1 0
) ( ) (
N
N n
n
z n x z
Do x(n) Nlà dãy hữu hạn nên X (z) luôn tồn tại, và miềnhội tụ của X (z) là toàn bộ mặt phẳng z trừ hai điểm z = 0 và
|z|= phải xét cho từng dãy x(n) Ncụ thể
Để tìm X (z) từ X (k) N , trước hết cần tìm x(n)N IDFT[X(k)N], sau đó lấy biến đổi Z thuận X(z)ZT[x(n)N]
1 0
1
) (
1 ] ) ( [ )
(
N
N N
N
k
n jk
e IDFT
n
N k
1 0
1 0
)
( 1 ]
) ( [ )
N N
n
n k
n
jk z e n
x ZT
N
1 0
1 0
)
(
1 ] ) ( [ )
N N
n n
jk z e n
x ZT
N
1
) 1
( ) (
1 ] ) ( [ ) (
1
1
N N
jk
z e
z e n
x ZT
N
1
0 (1 1)
) ( )
1 ( ] ) ( [ )
(
1
N
N N
N
z n
x ZT
N
X
Biểu thức [4.2-22] là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X (z) từ N mẫu của X(k)N DFTx(n)N Khi cho N , sẽ nhận được hàm X (z) chính xác của dãy x(n).
Vì x(n) Nlà dãy hữu hạn nên X (e j ) luôn tồn tại, và có thể nhận được X (e j ) từ biểu thức của X (z) khi thay z = e j
Do đó từ [4.2-22] có :
1
) 1
( ) ( 1 ] ) ( [ ) (
1
N N
j j
e
e n
x FT
N
[4.2-23]
Sử dụng công thức :
2 2
je e
e e e
x j x
j x j x j
để biến đổi cả đa thức ở tử và mẫu của [4.2-23], nhận được :
Trang 5
) 1 ( 1
1
sin
sin )
(
1 ] ) ( [ )
(
2 2
k j
k j
N N
N
n x FT
e
k
N k
X N
Khi thay 12 Nvào [4.2-24] , nhận được :
