xu ly so tin hieu SO LUONG DUY KHANH

Đồ thị hình 4.8acho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy xn đi n0 mẫu, sẽ thấy n0 mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ, còn n0 mẫu ở bên ngoài được đẩy vào mép















































N N

N N

k j

k

e

N k

N k

X N X













2 ) 1 ( 1

0

sin

sin )

( 1

] ) ( [ )

(

2

2

[4.2-25]

Các biểu thức [4.2-24] và [4.2-25] là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(e j ) từ N mẫu của

N DFT x n

k

X( )  ( ) Khi cho N   , sẽ nhận được hàm tần số X (e j ) chính xác của dãy x(n).

4.3 phép dịch vòng, tích chập vòng

và các tính chất của DFT

4.3.1 Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT

4.3.1 a Phép dịch vòng

Chương một đã định nghĩa y(n) = x(n - n0) là phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi n0 mẫu, và gọi vắn tắt là phép dịch

Đồ thị hình 4.8acho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy x(n) đi n0 mẫu, sẽ thấy n0 mẫu

bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ, còn n0 mẫu ở bên ngoài được đẩy vào mép trái cửa sổ

x(n)5 x p (n)

a Đối với dãy x(n) 5 b Đối với dãy tuần hoàn x p (n)

Hình4.8: Quan sát sự dịch trễ tuyến tính các dãy x(n)5 và x p (n).

Đồ thị hình 4.8bcho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy tuần hoàn x p (n) đi n0 mẫu, sẽ

thấy như là n0 mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ lại được đẩy trở vào mép trái cửa sổ.

Vì DFT được xây dựng trên cơ sở coi dãy không tuần hoàn x(n) N là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ

N, vì thế phép dịch tuyến tính dãy x(n) N sẽ phải tương tự như phép dịch dãy tuần hoàn x p (n) Từ đó, đối với DFT, có khái niệm phép dịch vòng

Định nghĩa phép dịch vòng : Dãy hữu hạn y(n) N = x(n - n0) Nlà dịch vòng n0 mẫu của dãy x(n) N , khi n0 mẫu bị đẩy ra khỏi đoạn [0 , (N - 1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia.

Các dãyy(n) Nvàx(n) Nxác định trong đoạn [0 , (N - 1)] Khi n0 > 0 là dịch trễ (dịch vòng phải) Khi n0 < 0 là dịch sớm (dịch vòng trái)

Chú ý : Để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ dài N của dãy dịch

vòng ở phía sau tên dãy

Như vậy, về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n - n0)N chính là sự quan sát trên cửa sổ cố định rect N (n) phép

dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n) N khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N

Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n)N sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận được đúng dãy x(n) N, do đó :

N

N x n n

Vì dãy hữu hạn x(n) N chỉ xác định trong đoạn [0 , (N -1 )], nên khi dịch vòng, mẫu x(N ) N chính là mẫu x(0)N :

N

Các mẫu của dãy dịch vòng y(n)N x(n n0)Nđược tìm theo nguyên tắc :

N N

y(0)  (0 0)  (N  0)

N N

y(1)  (1 0)  (N 1 0)

N N

N

n

y( 0  1)  ( 0  1 0)  (  0  1 0)  (  1)

N N

N N

n

y( 0)  ( 0  0)  (N  0  0)  (N)  (0)

3 2

- 1

- 3

- 4

2

- 3 - 2

2

1

3

6 5 0

n

n

n

n

3 4

1 1

3

4

3

4 3 2

3 4

1 2 3

4

1 2 3

4

1 3

4

1 2

N N

n

y( 0 1)  ( 0 1 0)  (1)

N

y(N 1)  (N  1 0)

Ví dụ, đối với trường hợp y(n)5x(n 2)5 thì n0 = 2 và N = 5, nhận được :

5 5

5

)

5 5

5

)

5 5

5 5

)

5 5

)

5 5

)

Dãy biến đảo x(n)N của phép dich vòng là dãy x(0 n)N , do đó có biểu thức :

N

n

Ví dụ4.4 : Hãy xác định dãy y(n)5 x(n)5 của dãy x(n)5 2n rect5(n)

Giải : Có : y( 0 )5 x(N  0 )5 x( 0 )5  20  1

16 2

4 1

5

1 )5 ( )5 ( )5 4

y

8 2 3

2 5

2 )5 ( )5 ( )5 3

y

4 2 2

3 5

3 )5 ( )5 ( )5 2

y

2 2 1 4

5

4 )5 ( )5 ( )5 1

y

Như vậy, dãy biến đảo y(n) N = x(-n) N có mẫu y(0) N = x(0) N , còn các mẫu từ y(1)N đến y(N - 1) N là đảo của các mẫu

từ x(1)N đến x(N - 1) N , tức là có : y(1)N = x(N - 1) N ; y(2) N = x( N - 2) N ; ; y( N - 1) N = x(1) N

Ví dụ 4.5 : Cho dãy x(n)(1 0 , 25n).rect5(n) Hãy biểu diễn dưới dạng mảng và đồ thị dãy x (n)5, và các dãy dịch vòng x(n  2)5, x(n1)5.

Giải : Theo nguyên tắc dịch vòng đã nêu trên, có biểu diễn dạng mảng và đồ thị của các dãy x (n)5, và x(n 2)5,

5

)

(n1

x như trên hình 4.9

5 )

(n

x













0 , 25 , 0 , 5 , 0 , 75 , 0

,

1

5

)

(n

x

x(n 2)5















5 , 0 , 75 , 0 , 1 , 0 , 25 , 0

5

)

2

(n

x

x(n1)5















1 , 0 , 25 , 0 , 5 , 0 , 75 , 0

5

)

1

(n

x

Hình4.9: Biểu diễn dạng mảng và đồ thị dịch vòng dãy x (n)5

4.3.1b Tích chập vòng

Trên cơ sở phép dịch vòng, có định nghĩa tích chập vòng của hai dãy có độ dài hữu hạn

Định nghĩa tích chập vòng : Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn x1(n)Lvà x2(n)M là dãy hữu hạn y(n)N được tính theo biểu thức :











1 0

2

) (

N

N N

N

m

m n x m x n

Với N max[L,M] Các dãy x1(m)N và x2(n)N là x1(m)Lvà x2(n)M được thêm vào các mẫu có giá trị bằng 0 để có độ dài N. Dãy x2(n m)N là dịch vòng trễ m mẫu của x2(n)N

Tích chập vòng [4.3-4] được ký hiệu như sau :

M L

n

Chú ý : Để phân biệt tích chập vòng với tích chập tuyến tính (vẫn được gọi vắn tắt là tích chập), người ta ký hiệu chỉ số độ dài của dãy tích chập vòng ở phía sau tên dãy

Tích chập vòng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối Để tính trực tiếp tích chập vòng, cũng phải tính từng giá trị của y(n)N như khi tính tích chập Theo biểu thức tích chập vòng [4.3-4] có :

0 , 2 5 1

- 1

2

4

1

3 2

0 , 5

4

1 0

4

0

1

0

0 , 5 1

3

3

- 1

1

n

n

n

0 , 2 5

0 , 2 5

0 7 5

0 7 5

0 7 5

0 , 5









1 0

2

1( ) ( ) )

(0

N

N N

N

m

m x m x y











1 0

2

)

N

N N

N

m

m x

m x y















1 0

2

)

N

N N

N

m

m N

y

Trong đó, x2(m)Nlà dãy đảo của x2(m)N, còn x2(1 m)Nlà dãy dịch vòng trễ 1 mẫu của x2(m)N, ,

và x2(N 1 m)N là dịch vòng trễ (N - 1) mẫu của x2(m)N

Ví dụ 4.6 : Hãy tính tích chập vòng y(n)5 rect3(n)*(n)

Giải : Để thuận tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.1 :

Bảng 4.1

5

3(n)

5 )

(m

5 )

( m

5 ) (1 m

5 ) (2 m

5 ) (3 m

5 ) (4 m

Dựa vào bảng trên, tính được :

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0

4 0

5 2 5 1

)



m

m x m x y

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1

1

4 0

5 2

5 1

)



m

m x

m x y

1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2

2

4 0

5 2

5 1

)



m

m x

m x y

0 3

4)5 ( )5

y

Biểu thức [4.3-6] là một ví dụcho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với dãy xung đơn vị (n) cũng bằng chính

dãy đó

Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ vi xử lý hoặc máy tính, bài toán tính tích chập vòng trên chỉ là một chương trình con khá đơn giản

Chương một đã chứng minh, tích chập tuyến tính của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M là dãy hữu hạn có độ dài

)

N Dưới đây sẽ xét quan hệ giữa tích chập tuyến tính và tích chập vòng của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M qua một ví dụ cụ thể

Ví dụ 4.7 : Cho hai dãy x1(n) 2n rect2(n)

 và x2(n) rect3(n) Hãy tính tích chập y(n)x1(n)* x2(n)

và tích chập vòng y(n)4 x1(n)* x2(n)

Giải : Để ý rằng ở đây, x1(n) có độ dài L2 , x2(n) có độ dài M 3 , còn độ dài tính tích chập vòng là

1 1

3

2

nhau Để tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.2 :

Bảng 4.2

)

(

1 m

)

(

2 m

)

(

)

(1

)

(2

)

(3

Dựa vào bảng trên, tính được tích chập tuyến tính :

1 0 0 0 2 1 1 0

1 0

2

1( ) ( ) )



m

m x m x y

3 0 0 1 2 1 1 1

1

1 0

2

)



m

m x

m x y

3 1 0 1 2 1 1 2

2

1 0

2

)



m

m x

m x y

2 1 0 1 2 0 1 3

3

1 0

2

)



m

m x

m x y

0

)

(n 

Tính tích chập vòng :

1 1 0 1 0 0 2 1 1 0

3 0

4 2 4 1

)



m

m x m x y

3 1 0 0 0 1 2 1 1 1

1

3 0

4 2

4 1

)



m

m x

m x y

3 0 0 1 0 1 2 1 1 2

2

3 0

4 2

4 1

)



m

m x

m x y

2 1 0 1 0 1 2 0 1 3

3

3 0

4 2

4 1

)



m

m x

m x y

Như vậy, tích chập vòng và tích chập tuyến tính của hai dãy đã cho là bằng nhau Ví dụ trên là một minh chứng cho định lý sau :

Định lý : Trong đoạn[0 , (N  1)], tích chập vòng y(n)N x1(n)L* x2(n)M với N (L M  1)

đúng bằng tích chập tuyến tính y(n) x1(n)N * x2(n)M.

Định lý trên được sử dụng để tính tích chập tuyến tính thông qua tích chập vòng

4.3.2 Các tính chất của DFT

4.3.2a Tính chất tuần hoàn :Dãy ảnh X (k) N của DFT là dãy tuần hoàn với chu kỳ N Với a là hằng số nguyên có :

Chứng minh : Vì hàm mũ có tính tuần hoàn : e j(ka N)  1n e jk 1n

 Nên theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

N N

N

N

N N

N k X

n

n jk n

n a k

e n x

(

1 0

1 0

)



















Ví dụ4.8 : Hãy vẽ đồ thị của dãy X(k)DFT[rect3(n)3]

Giải : Theo [4.2-16] với N = 3, có X(k)3DFT[rect3(n)3 ] 3.(k)3 Sử dụng tính chất tuần hoàn của DFT, vẽ được đồ thị X(k)như hình 4.10

X(k)

Hình4.10: Đồ thị dãy X(k)3DFT[rect3(n)3 ] 3.(k)3

4.3.2b Tính chất tuyến tính :DFT của tổ hợp tuyến tính các dãy hữu hạn x i(n)Nbằng tổ hợp tuyến tính các DFT

thành phần.

Nếu : X i(k)N DFT[x i(n)N]

i i i

i

A n

y

)













Nếu các dãy x i(n)N có độ dài Ni khác nhau thì phải tính DFT với độ dài

N max[ Ni ], bằng cách thêm các mẫu 0 vào các dãy có độ dài ngắn hơn N

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

4

.

- 3

3

.

n

 

























1 0

1 ) ( )

( )

n i

n jk i

i i

i

A DFT k

N N

N N

k

i

i n

n jk i

i

i i

i

A

)

(

1 0

1























 

Ví dụ 4.9 : Cho các dãy x1(n) rect2(n) và x2(n)(n)

Hãy tìm : Y(k)2 DFT[rect2(n)2 (n)2]

Giải : Theo tính chất tuyến tính có : Y(k)2 DFT[rect2(n)]2 DFT[(n)2]

Sử dụng [4.2-18] và [4.2-16] với N = 2 , nhận được :

) ( )

( )

(k 2 2 k 2 2 2 k

4.3.2 c DFT của dãy dịch vòng :Khi dịch vòng dãy x(n) N đi n0 mẫu thì dãy biên độ tần số X(k) N không thay đổi, chỉ

có dãy pha tần số (k) bị dịch đi một lượng k1n0 tương ứng

Nếu : DFT[x(n)N] X(k)N  X N(k) e j (k)

x





Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

























1 0

0 1

0

0

(

N

N N

N N

n

n jk n jk n jk n

n

e n n x n

n x

1 0

) ( 0

n

n n jk n

e n

n x

N

N

















Ví dụ 4.10 : Hãy tìm Y(k)N DFT[rect N(n n0)]

Giải : Sử dụng biểu thức [4.2-18] và tính chất dịch vòng có :

0

) ( )]

( [ )

(k N DFT rect N n n0 N k N e jk n







4.3.2d Dịch vòng tần số :Khi nhân dãy x(n) N với hàm mũ ejk0  1n, với k0 là hằng số, thì DFT của nó bị dịch vòng k0

mẫu tương ứng

Nếu : DFT[x(n)N] X(k)N  X N(k) e j (k)

Thì : DFT  x ( n )Nejk01n X(k  k0)N [4.3-10]

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

















1 0

) ( 1

0

0 1 1

1 0 1

) (

N

N N

N N

n

n k k j n

n jk n jk n

e n x

Hay : DFT  x ( n )Nejk01n X(k  k0)N

Ví dụ 4.11 : Hãy tìm Y(k)N DFT[rect N(n)e j 3 n 1 ]

Giải : Sử dụng biểu thức [4.2-18] và tính chất dịch vòng tần số có :

N N

k

Y( ) DFT[rect (n)e j3 1n] ( 3)





Dịch vòng trong miền tần số k cũng giống như dịch vòng trong miền thời gian n Tương tự như các biểu thức [4.3-1], [4.3-2], và [4.3-3] có :

N

N X k N

k

N

N

N

k

Nếu x(n) Nlà dãy thực thì theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

N N

N N

N

k

X

n

n jk n

n k

e n

)

0

1 0

)













Do đó nếu x(n) Nlà dãy thực thì : X( k)N X* (k)N



4.3.2 e DFT của tích chập vòng hai dãy :DFTcủa tích chập vòng hai dãy bằng tích các DFT của hai dãy thành phần.

Nếu : DFT[x1(n)N] X1(k)N và DFT[x2(n)N] X2(k)N

Thì : DFTy(n)N x1(n)N *x2(n)N X1(k)N.X2(k)N [4.3-15]

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :















1 0

1 0

2

) (

N N

N N

N

n jk

e m n x m x n

y

n

e m n x m x n

y DFT

N N

N N

) (

1 0

1 0

2













   

















1 0

) ( 2

1 0

) (

N

N N

N N

n

m n jk m

m

e m x n

y

Hay : DFTy(n)N x1(n)N *x2(n)N X1(k)N.X2(k)N

Tính chất trên được sử dụng để tính tích chập vòng thông qua DFT Các bước tính y(n)N x1(n)L *x2(n)M

như sau :

- Tìm các DFT thuận : DFT[x1(n)N] X1(k)N và DFT[x2(n)N] X2(k)N

- Từ đó có : Y(k)N X1(k)N.X2(k)N

- Tìm DFT ngược : y(n)N IDFT[X1(k)N.X2(k)N]

Ví dụ 4.12 : Hãy tính tích chập vòng y(n)3 rect3(n)*(n)

Giải : Sử dụng các biểu thức [4.2-18] và [4.2-16] với N = 3 được :

3 3

3

1(k) [ ( )] 3 (k)

) ( ]

) ( [ )

3 3

3 3

2 3 1

)

) ( ]

) ( [ ]

) ( ) ( [ )

Đúng với kết quả tính trực tiếp tích chập vòng này ở ví dụ 4.5

4.3.2f DFT của tích hai dãy :DFT của tích hai dãy bằng tích chập vòng các DFT của hai dãy thành phần chia cho

N.

Nếu : DFT[x1(n)N] X1(k)N và DFT[x2(n)N] X2(k)N











1 0

2 1

2

) (

N

N N

N N

N

l

l l

n x n x n y

N

n x n x n y DFT ( )  1( ) 2( )  1 1( ) * 2( ) [4.3-17]

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :









1 0

2

1( ) ( ) 1 )

(

N

N N

N

n

n jk

e n x n x n

y

Khi thay x1(n) bằng biểu thức DFT ngược [4.2-4] của nó :









1 0 1

N

N N

l

n jl

e l n

N

























 1 0

2 1

0

1 )

(

N

N N

N N

n

n jk l

n

e l n

y

N



















1 0

1 0

) ( 2

1 )

(

N N

N

n l k j

e n x l

n y

N



N

N N

N k

X X

n y

1 0

2





4.3.2 g Quan hệ Parseval : Năng lượng của tín hiệu số có thể được tính qua phổ rời rạc DFT theo công thức Parseval :

















1 0

2 1

0

2

) ( 1

) (

N

N N

N

n n

N

Chứng minh : Dùng [4.3-16] vớix1(n)N x2(n)N x(n)N nhận được [4.3-18]

4.3.2h DFT của dãy đảo dấu :DFT của dãy thực x(n) N và dãy thực đảo dấu x(-n) N là cặp dãy liên hợp phức.

Nếu : DFT[x(n)N] X(k)N  X N(k) e j (k)

Thì : DFTx( n)N X( k)N X*(k) X N(k).e j (k)









Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

N

N N

N

n

n k j n

n

e n x n

x

1 0

) ( ) ( 1

0

1



















Vì x(n) N là dãy thực nên theo [4.3-14] thì X( k)N X* (k)N



Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có dãy biên độ tần số giống nhau, còn dãy pha tần

số ngược dấu

4.3.2 i Tính đối xứng của DFT : Nếu x(n) N là dãy phức và :

N

n x DFT[ ( ) ]  ( )

Thì : DFTx(n)*N X*( k)N X*(N k)N







Các dãy X (N  k)N và X(N  k)Nlà liên hợp phức, và X(N  k)Nlà dãy đối xứng vòng của X(k)N.

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :















1 0

*

*

* 1

0

*

) (

N

N N

N N

n

n jk n

n

e n x n

x