xu ly so tin hieu SO LUONG DUY KHANH

Chương bốn: ứng dụng Biến đổi F ourier rời rạc DFT phân tích tín hiệu số và hệ xử lýsố Phép biến đổi Fourier được nghiên cứu ở chương ba cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số c

Chương bốn: ứng dụng Biến đổi F ourier rời rạc (DFT) phân tích tín hiệu số và hệ xử lý

số

Phép biến đổi Fourier được nghiên cứu ở chương ba cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số có độ dài vô hạn, theo hàm tần số với  liên tục Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có độ dài hữu hạn, theo hàm tần số với  rời rạc Do đó người ta xây dựng phép biến đổi Fourier cho các dãy có độ dài hữu hạn, với biến tần số góc  rời rạc, và gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc, nó được viết tắt theo tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform) Chương bốn trình bầy phương pháp

xây dựng DFT , cách tính DFT , và các tính chất, các ứng dụng của DFT

4.1 biến đổi F ourier rời rạc của dãy tuần hoàn

Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi Fourier của hàm liên tục tuần hoàn

x p (t).











k

t jk k

x () C  0

[4.1-1]

T

T

t jk p k

T









2

2

0

) (

0

[4.1-2]

Nếu hàm liên tục tuần hoàn x p (t) có phổ hữu hạn f < f max , thì có thể rời rạc hóa x p (t) với chu kỳ T sao cho N.T =

giá trị rời rạc t = n T và tạo thành dãy rời rạc tuần hoàn x p (n T ), do đó có thể viết lại [4.1-1] dưới dạng :













k

nT jk k

x ( T) C  0

Vì T T0 N2 0N nên :

























k

n jk k k

n jk k

e n







0 0

) ( Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1 , thì x p (n T ) = x p (n) và chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (t) là T o = N, nên

có :













k

n jk k

 2

)









k

n jk p

N

[4.1-4]

ở đây, X p (k) là biên độ của các dao động điều hòa ứng với tần số góc k k1, nó là dãy phức Còn 1 là tần số góc rời rạc cơ bản ứng với chu kỳ N của dãy tuần hoàn x p (t) :

N



e  1 đều tuần hoàn với chu kỳ N nên có thể viết lại [4.1-4] cho một chu kỳ N :







1 0

1

) ( 1

) (

N

k

n jk p

N



[4.1-7]

ngược

tổng theo n = 0  ( N - 1 ) :

 

















1 0

1 0

1 0

1 1

) (

N N N

n k

n jm n jk p n

n jm

N





















1 0

) ( 1

0

1 0

1

) ( )

(

N N

N

k

n m k j n

p n

n jm

x

N k



[4.1-8]

Theo tính chất của hàm trực chuẩn có :

145



















m Khi

m Khi e

k

k N

N

n

n m k j

0

1

1 0

) ( 1

nên từ [4.1-8]nhận được :











1 0

1

) ( )

(

N

n

n jk p

p k x n e

[4.1-9]

đó X p (k) là dãy phức của biến tần số góc rời rạc k k1 , với 1được xác định theo [4.1-6]

) ( )

( ( ) )

( )

p k j p

p k X k e A k e

Mô đun X p(k) là dãy biên độ tần số rời rạc

Argumen (k) là dãy pha tần số rời rạc

A p (k) là dãy độ lớn, còn (k) là dãy pha

Ví dụ 4.1 : Xác định X p (k) của dãy tuần hoàn x p (n) = n với chu kỳ N = 4.

Giải : Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.1-9] có :





















3 0

3 0

1 0

2 4

) ( )

(

n

n jk

n

n jk

n

n jk p

N

k

3 0

0

6 6 3 2 1 0

n

n j

























3 0

2 2

(

n

j j

j n

j

78 , 0

3 2 2 3 2

1)





































3 0

3 2

.

3 2

0

(

n

j j

j n

j



j













2) (





















3 0

3

(

n

j j

j n

j

78 , 0

3 2 2 3 2

3)

Trên hình 4.1 là đồ thị của dãy x p (n) = n có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các dãy biên độ tần số X p (k) , pha tần số

)

(k

X p (k)

(k)

Hình4.1: Đồ thị các dãy x p (n),  X p (k), (k)ở ví dụ4.1

146

3 2

- 1

3 2 1

3 2 1 3

2 1 3 2 1

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

8

2

- 6

6

2

6 2

6 2

6

8

- 0 , 7 8

0 , 7 8

3 , 1 4

- 0 , 7 8

0 , 7 8

3 , 1 4

- 0 , 7 8

0 , 7 8

3 , 1 4

- 0 , 7 8

0 , 7 8

3 , 1 4

n

x ( n )

n

n