Chuyen đề

-Hiểu rõ hơn các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng, và giới thiệu thêm một số phơng pháp khác.. -Vận dụng đợc các phơng pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa t

Chủ đề tự chọn -Toán 8

loại bám sát

Chủ đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

A.Mục tiêu.

Sau khi học xong chủ đề này, Học sinh có khả năng:

-Biết cách làm tốt hơn bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

-Hiểu rõ hơn các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng, và giới thiệu thêm một số phơng pháp khác

-Vận dụng đợc các phơng pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân

tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức

B Thời lợng: 6 tiết

Thời gian: Tuần 7;10;13.

C.Nội dung:

*)Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các ph ơng pháp thông thờng

I.Các kiến thức cần nhớ:

1 Phơng pháp đặt nhân tử chung:

AB+AC-AD=A(B+C-D)

2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:

1 A2+2AB+B2= (A+B)2

2 A2-2AB+B2= (A-B)2

3 A2-B2=(A+B)(A-B)

4 A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3

5 A3-3A2B+3AB2-B3=(A-B)3

6 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)

7 A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)

3.Phơng pháp nhóm các hạng tử

AC-AD+BC-BD=A(C-D)+B(C-D)=(C-D)(A+B)

II Tiến trình dạy học

?Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử

*Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những

đơn thức và đa thức khác

?Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử?

2x2+5x-3=x(2x+5)-3 (1)

2x2+5x-3=x(2x+5- x3 ) (2)

2x2+5x-3=2(x2+

2

5

x-2

3

) (3) 2x2+5x-3=(2x-1)(x+3) (4)

2x2+5x-3=2(x-21 )(x+3) (5)

*Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức cha biến đổi thành một tích của những đơn thca và đa thức khác Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đợc biến đổi thành tích của một đơn thức và biểu thức không phải là đơn thức

?Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?

*Phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng hằng đẳng thức và phơng pháp nhóm các hạng tử

A Ph ơngpháp đặt nhân tử chung

?Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì.Phơng pháp này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức?

*Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức

Công thức: AB+AC-AD=A(B+C-D)

Bài 1: Hãy xác định nhân tử chung trong các đa thức sau rồi phân tích các đa thức sau

thành nhân tử:

Ví dụ a)6x3-9x2 b)5x(x-1)-3y(x-1) c) 5a(a-1)-(1-a) d) 4x(x-y)+3(y-x)2

Hớng dẫn :

a)=3x2(2x-3)

b)=(x-1)(5x-3y)

-L u ý : Khi các hạng tử của một đa thức có chung một hay nhiều nhân tử, ta có

thể đặt các nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc dựa vào công thức AB+AC-AD=A(B+C-D)

c)=5a(a-1)+(a-1)=(a-1)(5a+1)

-L u ý : Khi thay tích –(1-a) bởi +(a+1), ta đã đổi dấu hai nhân tử của tích :đổi

dấu -1 thành +1, đổi dấu 1-a=a-1 Nhờ đổi dấu mà xuất hiện nhân tử chung a-1

d)=4x(x-y)+3(x-y)2=(x-y)(4x-3x-3y)=(x-y)(7x-3y)

-L u ý : Đừng sai lầm khi biến đổi 4x(x-y)+3(y-x)2=4x(x-y)-3(x-y)2

Biến đổi nh trên là sai vì ta đã đổi dấu ba nhân tử của tích khi thay 3(y-x)(y-x) bởi -3(x-y)(x-y)

*) Tích không thay đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử

Do số mũ chẵn nên (y-x)2=(x-y)2, do đó : 4x(x-y)+3(y-x)2=4x(x-y)+3(x-y)2

Xuất hiện nhân tử chung (x-y)

áp dụng , hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)y3-y4 Kết quả : a) y3(1-y)

b)-8x4y3-12x2y4+20x3y4 b) -4x2 3(2x2+3y-5xy)

c)2a(x+y)+3b(x+y) c)(x+y)(2a+3b)

d)2a(x-1)+b(x-1)-(x-1) d) (x-1)(2a+b-1)

e)3x(x+2)+5(-x-2) e) (x+2)(3x-5)

f)7x(x-y)-(y-x) f) (x-y)(7x+1)

g)3a(a+5)-2(5+a) g) (a+5)(3a-2)

HS khá:a)(x+1)2-3(x+1) Kết quả : a) (x+1)(x-2)

b) 2x(x-2)-(x-2)2 b)(x-2)(x+2)

c)x(x-1)+(1-x)2 c) (x-1)(2x-1)

d)3x(x-1)2-(1-x)3 d)(x-1)2(4x-1)

Bài 2 Tính nhanh:

Bài 3.Tìm x biết:

a)3x(x-2)-3x=0 Kết quả : a)x1=0 ;x2=3

b)4x(x+1)=8(x+1) b)x1=-1;x2=2

c)x3= x5 c) x1=-1;x2=1;x3=0

B Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức

?Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì.

*Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức nào đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức

Bài 4: Hãy xác định các hằng đẳng thức áp dụng để phân tích các đa thức sau thành

nhân tử

Ví dụ: M=(x2+1)2-4x2

Hớng dẫn : M=(x2+1)2-4x2=(x2+1)2-(2x)2 (1)

=(x2+1+2x)(x2+1-2x) (2)

=(x+1)2(x-1)2 (3)

Lu ý:-ở biểu thức (2), áp dụng hằng đẳng thức A2-B2=(A+B)(A-B), đa thức M đợc phân tích thành tích của hai nhân tử

-ở biểu thức (3), áp dụng các hằng đẳng thứcA2 ± 2AB+B2 = (A±B) 2, ta đợc bốn nhân tử

-Phân tích đa thức M thành nhân tử đến dạng (3) tốt hơn vì số lợng các nhân tử nhiều hơn Với dạng đó, đa thức đợc phân tích một cách “triệt để” hơn

áp dụng , hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1/ x2-9 10/ x4+2x2+1

2/ 9x2+30x+25 11/ -x2-2xy-y2

3/ 4x2-1 12/ (x+y)2-2(x+y)+1

4/ 2

9

4

x -16y2 13/ (a2+4)2-16a2

5/ 25a2-0,01 14/ x3+8

6/ 4-(a-b)2 15/ 125x3-1

7/ 4x2-12xy+9y2 16/ x3-3x2+3x-1

8/ a4 +4-4a2 17/ a3+6a2+12a+8

9/ 10a-a2-25 18/ x6-y3

Bài 5:Tính nhẩm

a)252-152 Kết quả: a)400

b)2052-952 b)33000

c)362-142 c)1100

d)9502-8502 d)180000

Bài 6: Tìm x biết :

a)4x2-49=0 Kết quả a)x1,2=

2

7



b)x2+36=12x b)x=6

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n∈Z , biểu thức A= (2n+3)2-9 chia hết cho 4

Hớng dẫn :

A= (2n+3)2-9 =4n2+12n+9-9=4n(n+3)4

Vậy A chia hết cho 4 với mọi n∈Z

C.Ph ơng pháp nhóm hạng tử:

? Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì.

*Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

Ví dụ : a)ax-bx+ab-x2 b)x2-y2+4x+4

a)ax-bx+ab-x2 = (ax-x2)+(-bx+ab) = x(a-x)+b(a-x) =(a-x)(x + b)

b)x2-y2+4x+4 = (x2 +4x+4)-y2 =(x+2)2-y2=(x-y+2)(x+y+2)

-Lu ý :Nhóm các hạngtử một cách thích hơp

+) Làm xuất hiện nhân tử chung (câu a)

+) Làm xuất hiện hằngđẳng thức (câu b)

áp dụng, hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

D Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phơng pháp thông thờng

? Khi phân tích một đa thức thành nhân tử, ta chỉ dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể phối hợp các phơng pháp đó.

*Có thể và nên dùng phối hợp các phơng pháp đã biết

Bài 9 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử và chỉ rõ phơng pháp vận dụng ở từng

b-ớc

Ví dụ: a) 4x-4y+x2-2xy+y2 b ) 4x-4y+x2-2xy+y2

Hớng dẫn: a) 4x-4y+x2-2xy+y2

=(4x-4y)+(x2-2xy+y2) (nhóm các hạng tử)

=4(x-y)+(x-y)2 (đặt nhân tử chung , dùng hằng dẳng thức)

=(x-y)(4+x-y) (đặt nhân tử chung)

b)x4-4x3-8x2+8x

= x(x3-4x2-8x+8) (đặt nhân tử chung)

= x[(x3+8)-(4x2+8x)] (nhóm các hạng tử)

= x[(x+2)(x2-2x+4)-4x(x+2)] (dùng hằng đẳng thức , đặt nhân tử chung)

=x(x+2)(x2-2x+6) (đặt nhân tử chung)

-Lu ý:Khi phân tích đa thức thành nhân tử, phơng pháp đặt nhân tử chung phải đợc nghĩ

đến trớc tiên ỏ ví dụ b, đa thức có nhân tử chung là x, đặt x ra ngoài dấu ngoặc, đa thức trong dấu ngoặc là (x3-4x2-8x+8)

Yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử đã đợc thực hiện Tuy nhiên ta cần xét xem

đa thức (x3-4x2-8x+8) còn có thể phân tích thành nhân tử nữa hay không

Đa thức (x3-4x2-8x+8) không có dạng một hằng đẳng thức nào đã học , ta nghĩ đến

ph-ơng pháp nhóm các hạng tử

Vậy nhóm nh thế nào là hợp lí:

+) Thử nghĩ nhóm hai hạng tử liền kề (x3-4x2-8x+8)=x2(x-4)-8(x+1), bế tắc

+) Nhóm hạng thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ t(x3-4x2-8x+8)=x(x2-8)-4(x2-2), lại bế tắc

+) Nhóm hạng tử đầu và cuối, nhóm hai hạng tử ở giữa (x3-4x2-8x+8)= (x+2)(x2 -2x+4)-4x(x+2)

Xuất hiện nhân tử chung(x+2) Đa thức (x3-4x2-8x+8) đợc phân tích thành nhân tử: (x+2)(x2-2x+6)

*) Nh vậy, khi phối hợp nhiều phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thấy:

-Phơng pháp u tiên số một là đặt nhân tử chung

-Phơng pháp u tiên số hai là dùng hằng đẳng thức

-Cuối cùng là nhóm các hạng tử.Mục đích của việc nhóm các hạng tử nhằm làm cho quá trình phân tích đa thức thành nhân tử đợc tiếp tục bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

áp dụng: Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

1/ 5a2-5b2 2/2x4-32

3/ x4-4x3+4x2 4/ 2ab2-a2b-b3

5/ x4-8x 6/ a5+27a2

7/ a3+a2b-ab2-b3 8/ x3+x2-4x-4

9/ x3-x2-x+1 10/ x4+x3+x2-1

11/x2y2+1-x2-y2 12/ x2-y2-2x-2y

Bài 10: Chứng minh rằng: a)495-49 chia hết cho 100

b)(3n+4)2-16 chia hết cho 3 với mọi n thuộc Z

Hớng dẫn:

a)Ta có 495-49

=49(494-1)

= 49(492-1) (492+1)

= 49(49-1)(49+1)(492+1)

=49(492+1)24.100100

Vậy 495-49 chia hết cho 100

b) Ta có (3n+4)2-16

=9n2+24n+16-16

=3n(3n+8)3 với mọi n thuộc Z

Vậy (3n+4)2-16 chia hết cho 3 với mọi n thuộc Z

Bài 11 Tính nhanh giá trị của biểu thức sau: N=a3-a2b-ab2+b3 với a=5,75; b=4,25

Hớng dẫn: N=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)

N=(5,75-4,25)2(5,75+4,25)=1,52.10=22,5

*)Phân tích đa thức thành nhân tử bằng một số ph ơng pháp khác I.Kiến thức cần nhớ:

1 Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:

Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phơng pháp khác để phân tích

2 Phơng pháp thêm bớt cùng mọt hạng tử

Ta có thể thêm bớt cùng một hạng tử nào đó của đa thức sao cho thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phơng pháp khác để phân tích

3 Phơng pháp đổi biến

4 Phơng pháp đồng nhất hệ số.(phơng pháp hệ số bất định)

Hai đa thức (viết dới dạng thu gọn)là đồng nhất khi và chỉ khi hệ số của các

đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

*)Khi phân tích thành nhân tử, ta phải vận dụng linh hoạt sáng tạo các phơng pháp và phaỉ biết phối hợp chúng một cách hợp lí Kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là duy nhất

II Bài tập:

A Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Bài 12.Ví dụ,dùng nhiều cách khác nhau để phân tích đa thức sau thành nhân tử:

A= x2-4x+3

Cách 1 Tách hạng tử giữa thành hai hạng tử:

A= x2-4x+3 = x2-x-3x+3

=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3)

Cách 2 Tách hạng tử cuối thành hai hạng tử:

A= x2-4x+3= x2-4x+4-1

=(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3)

Cách 3 Tách hạng tử cuối cùng thành hai hạng tử:

A= x2-4x+3= x2-4x-1+4=x2-1-4x+4

=(x+1)(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x+1-4)=(x-1)(x-3)

Cách 4 Tách hạng tử cuối cùng thành hai hạng tử:

A= x2-4x+3= x2-4x-9+12=x2-9-4x+12

=(x+3)(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x+3-4)=(x-3)(x-1)

*)Với đa thức ax2+bx+c đợc biến đỏi thành ax2+b1x+b2x+c sao cho b a b c2

1

= Nh vậy cần

tách hạng tử bx= b1x+b2x sao cho b1.b2=ac

Cách làm nh sau: -Tìm tich ac

-Viết tích ac dới dạng tích của hai số mà tổng bằng b

áp dụng:1/ 4x2-8x+3 2/ x2-10x+9

3/x2-10x+16 4/x2-10x+21

B Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:

Bài 13.Ví dụ , phân tích đa thức sau thành nhân tử: A=x4+4

A=x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)(x2+2-2x)=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

-Lu ý-Khi thêm bớt cùng một hạng tử vào đa thức phải xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung

áp dụng:1/ x4+324 2/64a4+b8

Bài 14: Cho A=n3+3n2+2n với n nguyên dơng

1 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi N nguyên dơng

2 Tìm giá trị nguyên dơng của n(n<10) để số A chia hết cho 15

Hớng dẫn:

1 Ta có : A= n3+3n2+2n =n( n2+3n+2)

= n( n2+n+2n+2)

=n[n(n+1)+2(n+1)]

=n(n+1)(n+2)

⇒A là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

Thật vậy :

Khi lấy n chia cho 3 thì đợc d là o, 1 hoặc 2

*) Nếu số d là 0 thì n chia hết cho 3 Suy ra A chia hết cho 3

*) Nếu số d là 1 thì(n+2) chia hết cho 3 Suy ra A chia hết cho 3

*) Nếu số d là 2 thì (n+1) chia hết cho 3 Suy ra A chia hết cho 3

Do đó A = n3+3n2+2n luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dơng

2.Vì A chia hết cho 3, mà (3,5)=1 Nên A chia hết cho 15 khi và chỉ khi A chia hết cho 5.Hay n(n+1)(n+2) chia hết cho 5 Mà n<10.Suy ra n∈{3 ; 4 ; 5 ; 8 ; 9}

C Phơng pháp đổi biến

D Phơng pháp đồng nhất hệ số.(phơng pháp hệ số bất định)

(Đối tượng HSG)

*Cỏc dạng toỏn ỏp dụng

? Việc phõn tớch đa thức thành nhõn tử cú thể cú ớch cho việc giải một số loại toỏn nào.

*)Việc phõn tớch đa thức thành nhõn tử cú thể cú ớch cho việc giải cỏc bài toỏn

về tỡm nghiệm của đa thức (Tỡm x); Chia đa thức; Rỳt gọn phõn thức

B i 15 à Tỡm x biết:

a/2(x+3)-x(x+3)=0 Kết quả a/x1=2; x2=-3

b/x3+27+(x+3)(x-9)=0 b/ x1=0; x2=-3; x3=2

Bài 16 Thực hiện phộp chia đa thức sau bằng cỏch phõn tớch đa thức bị chia thành

nhõn tử

a/(x5+x3+x2+1):(x3 +1) Kết quả a/x2+1

b/(x2-5x+6):(x-3) b/x-2

Bài 17 Rỳt gọn phõn thức

xy

y

x

y

x

−

−

−

2

3 2

Kết quả a/3−y2x

2 2

3

2

2

y xy

x

y xy

x

+

−

−

+

b/x x−+y y c/

2

1

3

2

2

2

−

+

+

−

x

x

x

x c/

2

1 2

+

−

x x

D Cỏc t i lià ệu tham khảo

-SGK, SBT Toỏn 8-NXB Giỏo dục

- ễn tập Đại số 8-V ũ Hữu Bỡnh-NXB G ỏo dục.

-Để học tốt Toỏn 8-Lờ Hồng Đức-NXB Hà Nội