10 Phản Xạ Khi Giải PT Lượng Giác

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ h

Trang 1

https://www.facebook.com/tailieupro/



Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thường có 3 hướng đi

(ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ)

Giải các phương trình sau:

1 (D – 2013): sin 3x cos 2x sinx 0 2 (D – 2012): sin 3x cos3x sinx cosx 2 cos 2x

3 (B – 2007): 2sin 22 x sin 7x  1 sin x 4 (D – 2006): cos3x cos 2x cosx  1 0

5 (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cosx  4 0 6 (B – 2002) 2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

Hướng dẫn giải:

1 (D – 2013): sin 3x cos 2x sinx 0

 (sin 3x sinx)  cos 2x 0

 2cos 2 sx inx cos 2x  0 cos 2 (2sinx x  1 ) 0

2 (D – 2012): sin 3x cos3x sinx cosx 2 cos 2x

 (sin 3x sin ) (cos 3x  x cos )x  2 cos 2x

 2cos 2 sinx x 2cos 2 cosx x 2 cos 2x

 2 cos 2x 2(sinxcos ) 1x   0

3 (B – 2007): 2

2sin 2x sin 7x  1 sin x

(sin 7x sinx)  2 sin 2x  1 0 2cos 4 sin 3x xcos 4x0 cos 4 (2sin 3x x  1) 0

4 (D – 2006): cos3x cos 2x cosx  1 0

 (cos 3x cos )x   (1 cos 2 )x  0

2

2sin 2 sinx x 2sin x 0

4sin xcosx 2sin x 0

2sin x(2cosx 1) 0

  

5 (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cosx  4 0

 (cos 3x cosx)  4(1 c  os 2 ) 2cosx  x 0

 2cos 2 cx o sx 8cos2x 2co sx 0

 2cos (cos 2x x 4cosx   1) 0 2cos (2cosx 2x 4cos )x   0 4cos2 x(cosx  2) 0

6 (B – 2002)sin 32 x cos 42 x sin 52 x cos 62 x 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

 cos 6x cos8x cos10x cos12x

 2cos 7 cosx x 2cos11 cosx x cos (cos11x x cos 7 )x  0

10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Trang 2

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

hoặc dạng asinx b cosxc (hoặc mở rộng)

Chú ý:

 Cách khử dấu “–” của các hàm lượng giác:  sinu sin( u) ;  cosu cos(  u)

 tanu tan( u) ;  cotu cot( u)

 Cách đổi tên hàm: sin cos

2

 ; cosu sin 2 u



 ; tanu cot 2 u



 ; cotu tan 2 u



  Giải các phương trình sau:

1 (B – 2013): sin 5x 2cos2 x 1 2 3 sin 6x 2sin 5x  1 2cos 32 x.

3 3 cos 4 4sin2 sin 2 4sin2

4

1 (B – 2013): sin 5x 2cos2 x 1  sin 5x  1 cos 2x 1 cos 2 sin 5 sin 2 s in( 5 )

2







2. 3 sin 6x 2sin 5x  1 2cos 32 x

3 sin 6x 2sin 5x 1 1 cos 6x

3 sin 6x cos 6x 2sin 5x

6



    …

3 cos 4 4sin sin 2 4sin

4

2

 3 cos 4x 4sin2xsin 2x 2(1 sin 2 )  x

 3 cos 4x 2sin 2 (1 2sinx  2x)  2

 3 cos 4x 2sin 2 cos 2x x 2  3 cos 4x sin 4x 2

k

Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”

1 cos 4 (2sin 3x x cos )x  sin (sin 4x x 1)

sin 2 (1 cos 5x  x cos ) sin 3x  x 2sin 3 cos 2x x 3 cos 2x 3

Trang 3

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

1 cos 4 (2sin 3x x cos )x  sin (sin 4x x 1)

sin 3 cos 4 cos 4 cos

2 x x si nx x x si n 4 sinx x

2

2 sin 2 (1x  cos 5x co sx) sin 3  x 2sin 3 cos 2x 2 x 3 c os 2x 3

2

sin 2 (1x 2cos 3 cx os 2x) sin 3 (2cos 2x x 1) 3 c os 2x 3

sin 2x cos 3 sin 4x x sin 3 cos 4x x 3 cos 2x 3

sin 3 cos 4 cos 3 sin 4



CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức 3

sin 3x 3sinx 4sin x ; cos 3x 4cos3x 3cosx vì vậy nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng

minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên.

Phản xạ 2 : Khi xuất hiện 3 thường chuyển về dạng asinx b cosxc hoặc dạng mở rộng

Cách giải chung: sin a u b cosuc

Chia cả hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2a 2 sinu 2b 2 cosu 2c 2



 (đưa về công thức nghiệm) với

2 2

 

 và sin 2b 2

 



Chú ý 1:

 Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2

a b c

 Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos

2

a b  (để số liệu bài toán “đẹp”)

Chú ý 2 : Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau

a u b u a b v

 sin a u b cosua'sinv b 'cosv

Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho a2b2

Trang 4

1 (A,A1 – 2012): 3 sin 2x cos 2x 2cosx 1 2 (B – 2012): 2(cosx 3 sin ) cosx x cosx 3 sinx 1

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos 3.

(1 2sin )(1 sin )

3

s inx  cos sin 2x x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x)

5 (D – 2009): 3 cos 5x 2sin 3 cos 2x x sinx 0 6 (D – 2007):

2

x

7 (B – 2008): sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2 xcos x 8.  6 6 

8 sin x cos x   2 3 3 sin 4x

9 3 sinx cos (4sinx x  1) 0 10 2sin 3x sinx 3 cosx   1 2cos 2x 0

1 (A,A1 – 2012). 3 sin 2x cos 2x 2co sx 1

 2 3 sin cosx x 2cos2x  1 2cos x 1

 2cos ( 3 sinx x cosx  1) 0

3 sin cos 1

x











2 (B – 2012): 2(cosx 3 sin ) cosx x cosx 3 s i nx 1

 2cos2x  1 2 3 sin cosx x cosx 3 sinx

cos 2x 3 sin 2x cosx 3 sinx

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos .

1 sin

2

x x









 

 (*)

Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương:

2

(1 2sin ) cos  x x 3(1 2sin  x sin )x

 cosx sin 2x 3(cos 2x sin )x

 cosx 3 sinx 3 cos 2x sin 2x

1cos 3sin 3cos 2 1sin 2

sinx cos sin 2x x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x)

 sin (1 2sinx  2 x) cos sin 2  x x 3 cos 3x 2 cos 4x

 sin cos 2x x cos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4x

 sin 3x 3 cos 3x 2 cos 4x 1sin 3 3cos 3 cos 4 cos 3 cos 4



5 (D – 2009): 3 cos 5x 2sin 3 cox s 2x s n i x 0

3 cos 5x (sin 5x sin ) sinx x 0

 sin 5x 3 cos 5x  2sinx 1sin 5 3cos 5 sin

3

Trang 5

6 (D – 2007):

2

x

1 sinx 3 cosx 2

7 (B – 2008): sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2 xc os x

sin (cosx 2xsin2x) 3 cos (cosx 2xsin2x)0

sin cos 2x x 3 cos cos 2x x0 cos 2 cos 2 0

sin 3 co

(sin 3 cos ) 0

x



8 sin x cos x   2 3 3 sin 4x 3 2

8 1 sin 2 2 3 3 sin 4

8 1 3(1 cos 4 ) 2 3 3 sin 4

8

x



  cos 4x 3 sin 4x 1

9 3 sinx cos (4sinx x  1) 0  3 sinx cosx 2sin 2x

6

10.2sin 3x sinx 3 cosx   1 2cos 2x 0

2sin 3x sinx 3 cosx sin x cos x 2(cos x sin x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx (sin x 3cos x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx sinx 3 cosx sinx 3 cosx 0

 sinx 3 cosx 2sin 3x sinx 3 cosx 0

sin 3 cos 2sin 3







Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thành tích

(2sin2 x sinx  1 (sinx 1)(2sinx 1); cos3x 3cos2x 4 cosx  2 (cosx 1)(cos2x 2 cosx 2)…)

( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương

trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích)

1 (D – 2010): sin 2x cos 2x 3sinx cosx  1 0 2 9sinx 6cosx 3sin 2x cos 2x 8

3 (2sinx 1)(cosx  1) cos 2x 2cosx 7sinx 5 4 2cos3x 3cos 2x 2sin 2x 4cosx 4sinx 5

8 sin x cos x  3 3 sin 4x 3 3 cos 2x 9sin 2x 11

1 (D – 2010): sin 2x cos 2x 3sinx cosx  1 0

Trang 6

 2 

2sin x 3sinx 2 sin 2x cosx 0

(2sinx1)(sinx2)cos (2sinx x 1) 0 (2sinx 1)(sinx cosx 2)  0

2 9sinx 6cosx 3sin 2x cos 2x 8

2

9sinx 6cosx 6sin cosx x 1 2sin x 8

(6sin cosx x 6cos )x

(2sin x 9sinx 7)  0 (sin 1)(2sin

6cos (sinx x 1) x x 7) 0

sinx 1

  hoặc 2sinx 6cosx 7 (vô nghiệm do 22 62  72) 2

2

   (k  )

3 (2sinx 1)(cosx  1) cos 2x 2cosx 7sinx 5

2

2sin cosx x 2sinx cosx 1 1 2sin x 2cosx 7sinx 5

 (2sin cosx x cos )x  2

(2sin x 9sinx 5)  0

cos (x 2sinx 1) (2sinx1)(sinx5)0 (2sinx 1)(sinx cosx  5) 0

4 2cos3x 3cos 2x 2sin 2x 4cosx 4sinx 5

2cos x 3(2cos x 1) 2sin 2x 4cosx 4sinx 5

(cos x 3cos x 2cosx 4)  (sin 2x 2sin )x  0

2

(cosx 1)(cos x 2cosx 4) 2sin (x cosx 1)

2

(cosx 1)(cos x 2cosx 4 2sin )x 0

   hoặc cos2x 2(sinx cos )x  4 (2)

Giải (1)   x  k2  Giải 2

4

  Ta có:

2

4

Vậy phương trình có nghiệm x   k2  (k  )

8 sin x cos x  3 3 sin 4x 3 3 cos 2x 9sin 2x 11

Ta có: sin6 cos6 (sin2 cos2 )3 3sin2 cos2 (sin2 cos2 ) 1 3sin 22

4

Khi đó phương trình tương đương:

2

3

8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 cos 2 9sin 2 11

( 3 sin 4x 3 cos 2 )x

(2sin 3x 3sin 2x 1)  0

3 cos 2 (2sin 2x x 1) (2sin 2x 1)(sin 2x 1) 0

CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 còn có một cách tiếp cận khác Các em xem tiếp ở các phản xạ sau !

Phản xạ 4: Khi phương trình lượng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ

tới việc chuyển phương trình về dạng tích (hoặc để giản ước nếu nhân tử chung ở dưới mẫu số) Sau đây thầy

giới thiệu tới các bạn bảng các biểu thức chứa nhân tử chung thường gặp:

Trang 7

Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thường Gặp STT Nhân tử

Chung

Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung

2 cos x cot x; sin 2x; tan 2x; 1 cos 2x ; cos 3x…

3 sinx cosx

cos 2x; 1 tan x ; 1 cot x ; 1 tan x 2 ; 1 cot x 2 ; sin3x cos3x;sin

4

x 

  

 ; cos x 4



  

cos x;cot x2 ; 2

sin

x 

  

2

cos

  

2

tan

x 

  

2

cot

x 

  

 ;2cosxsin 2x…

sin x; tan x2 ; sin2

2

x

; tan2 2

x

;cos2 2

x

; cot2 2

x

; 2sinx sin 2x…

1 4sin x ; 3 4cos x 2 ; 2cos 2x 1;cotx 2cosx; cos 3x…

1 4cos x ; 3 4sin x 2 ; 2cos 2x 1; tanx 2sinx; sin 3x …

1 (D – 2004): (2cosx 1)(2sinx cos )x  sin 2x sinx 2 (B – 2004): 5sinx  2 3(1 sin ) tan  x 2 x.

3 (A – 2003): cotx  1 cos 2 2 1

x



5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



 6 (B – 2005): 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0.

x

 8 (D – 2010) : sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0.

9 (A – 2007): (1 sin  2 x) cosx  (1 cos2x)sinx  1 sin 2 x 10 (A,A1 – 2013): 1 tan 2 2 sin

4

11 (B – 2011): sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x 12 (A,A1 – 2014): sinx 4cosx  2 sin 2x

1 (D – 2004): (2 cosx 1)(2sinx c os )x  sin 2x sinx

(2cosx1)(2sinxcos )x sin (x 2 oc sx1)  (2cosx 1)(sinx cos )x  0

2 (B – 2004): 5si nx  2 3 ( 1  si nx) t a n2 x.

Điều kiện: cos 0

2

    (n  )

Khi đó phương trình đương đương:

2

sin 5sin 2 3( 1 sin ).

(1 sin )(1 sin )

x

   (1 sin )(5sinx x  2) 3sin2 x 2sin2 x 3sinx  2 0

3 (A – 2003):cotx 1  2 1

sin

cos

sin 2

2

x

Điều kiện: sin 2x0



Trang 8

sin

cos

x x

x

 cos

cos sin

( cosx si nx)(1 sin cosx x si n x) 0

4 (D – 2003): sin2 tan2 cos2 0.

x



Điều kiện: cos 0

2

x   x  n

(n  )

2 2

1 cos

2

x





1 sin

x





1 cos

1 sin

x





5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

Điều kiện: sinx   0 x n (n  )

2

1

1 cot

sin

x

sin2x(1 sin 2  x 2cos2x  1) 2 2 sin2xcosx

2 cosx(sinx c os )x 2 2 cosx

x





6 (B – 2005): 1 sin  x cosx sin 2x cos 2x 0

1 sin 2 xsinxcosxc so 2xsin2x0

 (sinx cos )x 2  sinx cosx (cosx sin )(cosx x sin )x  0

 ( sinx co sx)(sinx cosx  1 cosx sinx)  0  (sinx cos )(2 cosx x  1) 0 …

7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0.

x



Điều kiện: cos 0

x x







 

Khi đó phương trình tương đương: sin 2x 2cosx ( s inx 1 )  0

 2cos (sinx x  1) (sinx  1) 0  (sinx 1) (2cosx  1) 0

8 (D – 2010) : sin 2x cos 2x 3sin x cos x  1 0.

sin 2

2sin 3sin 2 2sin 1 (sin 2)

x







cos (x 2sinx1) ( 2sinx1)(sinx2)0

(2sinx1)(sinxcosx2)0...

Trang 9

9 (A – 2007): 2 2

(1 sin  x) cosx  (1 cos x)sinx  1 sin 2 x

2

sinx cosx s in cos (x x sinx cosx) ( s inx cosx)

( sinx cosx)(1 sin cosx x sinx co s )x 0

4

10 (A,A1 – 2013): 1 tan 2 sin

4 2

x  x  

Điều kiện: cosx 0

Phương trình tương đương: sin cos 2( sin cos ) ( sin co s )(1 2 cos ) 0

cos

11 (B – 2011): sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x

2sin cosx x sin cosx x cosx 1 2sin x sinx

2sin (1 sin )(1 sin ) cos (1 sin )x x x x x (1 sin )(1 2sin )x x

(1 sin ) 2sin (1 sin ) cosx x x x 1 2sin )x 0

( 1 si nx) 2sin x 1 cosx 0 (1 sin )(cos 2x x cosx) 0

12 (A,A1 – 2014): si nx 4cosx  2 sin 2x si nx s n i 2x 4cosx  2 0

sin (x1 2cos x) 2( 1 2co sx)0(1 2c osx)(sinx 2) 0.

Phản xạ 5: Khi phương trình có mặt cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi:

cos 2x= cos 2x sin 2x (cosx sin )(cosx x sin )x : Nếu có yếu tố sinx cosx

= 2cos 2x 1: Nếu việc tạo ra “ – 1 ” giúp ta khử số tự do

= 2

1 2sin x : Nếu việc tạo ra “ + 1 ” giúp ta khử số tự do

= cos 2x(Giữ nguyên): Nếu có 2cos3x cosx; sinx 2sin3x; sin 2 cosx x sinx; cosx sin sin 2x x

1 (ĐHY – 2000) sin3x cos3x cos 2x 2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x  2cosx 1

3 (D – 2006): cos3x cos 2x  cosx  1 0 4. (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x 2cos 2x  sinx 0

5. 2cos x3  3 sin x cos 2x 4sin x2 cos x 2 6 (A – 2003): cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x

1 (ĐHY – 2000) sin3x cos3x cos 2x

 (sinx cos )x (1 sin cos )  x x  ( co sx s i nx) ( c osx s i nx)

(sinxcosx)(1 sin cos x xsinxcos )x 0 2 sin (1 cos )(1 sin ) 0

4

2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x 2cos x 1

 2 3 sin cosx x 2

2cos x 1 2cos x 1  2cos ( 3 sinx x cosx  1) 0

3 (D – 2006): cos3x cos 2x  cosx 1  0

cos3x1 2sin 2xcosx10 2

2sin 2 sinx x 2sin x 0

Trang 10

 sin 2 cosx x sinx cos 2xcosx 2 c os 2x  0

2

2cos 1 co

sin (x x ) s 2x(cosx 2 ) 0

      cos 2x(sinx cosx 2)  0

2cos x 3 sin cos 2x x 4sin x cosx 2

cos (x 2cos x 1 ) 3 sinxcos 2x 2( 1 2sin x) 0

cosxcos 2x 3 sinxcos 2x 2 cos 2x 0

6 (A – 2003): cos 2 2

1 tan

1

2

x x

 

Điều kiện: sin 2 0

x x





  

 , khi đó phương trình tương đương:

cos 1 (cos sin )(cos sin ) sin2 sin cos

si 1 o

s

i

c

x



 cos

cos sin

( cosx si nx)(1 sin cosx x si n x) 0

Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phương trình

chứa sin2x; cos2 x;1 sin 2x ; cos 2xhãy nghĩ tới các dạng tích của chúng :

+) sin2x  (1 cos )(1 cos )x  x

+) cos2x  (1 sin )(1 sin )x  x ; 1 sin 2  x (sinx cos )x 2

+) cos 2x (cosx sin )(cosx x sin )x

( Xem thêm Phản xạ 3 )

Chú ý: Với sin x2 , cos x2 ngoài cách phân tích như trên ta có thể nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức

2 1 cos 2

sin

2

x

x 

; 2 1 cos 2 cos

2

x

x 

Giải các phương trình sau: 1 2cos3x cos 2x sinx 0 2 sin 2 4 cos2 3 4 2 sin

4

 

3 1 2 sin 2 (1 tan ).sin

4

1 2cos3x cos 2x sinx 0

2cos x 2cos x  1 sinx 0

2 c o s x(1 cos  x) (1 sin )   x  0

 2 (1 sin )(1 sin )  x  x (1  cos ) (1 sin )x   x  0

 (1 sin )  x  2(1 sin )(1 cos ) 1  x  x    0

(1 sin ) 2(sinx x cos ) 2sin cosx x x 1 0

2

(1 sin ) 2(sinx  x cos ) (sinx x cos )x  0

(1 sin )(sinx x cos )(sinx x cosx 2) 0

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,21 MB