Casio giải nhanh lượng giác

Một số kiến thức cơ bản và các kết luận cần nắm được: Thực ra việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc sẽ cho kết quả không như ý ta nếu phương trình lượng giác đó có nghiệm “không đẹp ch

GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO

Tài liệu này được soạn để tặng các bạn học sinh lớp 12A2 (khóa 2010 – 2013), trường THPT Thái Lão Mong rằng với tài liệu này các bạn sẽ có một số kỹ năng để làm tốt bài thi trong kỳ thi đại học của chúng ta sắp tới!

I Sơ lược về một số chức năng cơ bản của máy tính CASIO 570ES và CASIO 570MS:

Trong phần này xin được khất các chức năng của máy tính CASIO 570MS vì các máy này có tính năng khá tương tự nhau Thế nhưng khi khi sử dụng chức năng thứ hai thì một số loại máy CASIO 570MS không chính hãng sẽ gây ra rắc rối: nhiều lúc không thể thao tác được Vì vậy bản thân tôi khuyến khích các bạn sử dụng máy tính CASIO 570ES hoặc Plus để thao tác được thật nhanh và tiện dụng

1 Chức năng 1: Tính giá trị của một biểu thức với nhiều giá trị khác nhau của biến:

Ví dụ, khi ta đang vẽ đồ thị của một hàm số, ta cần được biết được ngoài các điểm đặc biệt của đồ thị như các điểm cực trị, điểm uốn,… thì ta cần tìm thêm một số điểm khác không đặc biệt để vẽ đồ thị cho chính xác Khi đó để tính nhanh ta sẽ dùng chức năng

CALC của máy tính bỏ túi

Chức năng này khá đơn giản với các bước thực hiện như sau:

Bước 1: Nhập biểu thức cần tính giá trị

Thường thì biểu thức chỉ có một biến là X, ví dụ như:

Px x  x  x

Nhưng lưu ý rằng cách này vẫn áp dụng được với các biểu thức hai, ba hay biến (có thể biến là X, Y, A, B, C, …), ví dụ như:

Bước 2: Bấm nút CALC , lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị của biến Ta nhập (các) giá trị của biến và nhấn dấu = để lấy giá trị biểu thức

Bước 3: Sau khi nhận được giá trị của biểu thức, ta lại bấm CALC để tiếp tục nhập thêm các giá trị khác của biến Làm tương tự như Bước 2 ở trên

Áp dụng cụ thể cho một bài toán:

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức 4 2

yx  x  tại các giá trị x = 1 ; x = 3 ; x = –5

Đầu tiên ta nhập biểu thức vào máy tính: X4

+ 2X2 + 2

Bấm nút CALC màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá

trị của biến như hình bên

Ta nhập giá trị 1 vào và bấm =

Màn hình hiện kết quả là 5 như hình bên

Để tiếp tục với các giá trị x = 3 ta chỉ cần bấm tiếp

nút CALC và bấm tiếp 3 =

Màn hình hiện kết quả là 101

Tiếp tục với giá trị x = –5, ta chỉ cần bấm thêm CALC – 5 =

Màn hình hiện kết quả 677

Lưu ý: Ta cũng nên áp dụng cách tính như thế này để tính giá trị biểu thức với một giá trị của biến nếu giá trị của biến là một con số khá dài (ví dụ như: 2207 ; 9.10–9 ; …)

2 Chức năng 2: Dò nghiệm gần đúng của một phương trình một biến X bất kỳ:

Giả sử như có một phương trình ẩn x mà ta chưa biết được nghiệm Đó có thể là

phương trình bậc hai, bậc ba (với phương trình bậc hai và bậc ba thì đã có chức năng giải riêng của máy tính) hay bậc 4, phương trình vô tỷ, và cung có thể là một phương trình

X? D Math

0

X4 + 2X2 + 2 D Math

5

lượng giác Với các phương trình dạng hữ tỉ thì nếu ta nhẩm được một nghiệm thì có thể

dùng sơ đồ Hooc – ne (hoặc chia đa thức) để làm phân tích thành phương trình tích và làm

giảm bậc của phương trình Vì vậy chức năng này sẽ khá hữu dụng với việc tìm nghiệm

những phương trình bậc cao có nghiệm không dễ nhẩm

Chức năng này được thực hiện như sau:

Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào

Phương trình nhập vào máy nhất thiết ẩn phải là ẩn X, nếu nhập phương trình ẩn Y hay ẩn

A, B, C thì máy sẽ báo lỗi)

Ví dụ: Nếu muốn dò nghiệm phương trình 4 2

Thì ta nhập: X4

– 2X2 – 30X – 104 = 0 (dấu = ở trong biểu thức này được nhập bằng các phím bấm ALPHA CALC )

Nếu muốn dò nghiệm của phương trình 1 sin x cosxcos 2xsin 2x

Thì ta nhập: 1 + sin(X) = – cos(X) – cos(2X) – sin(2X)

Nếu muốn dò nghiệm của phương trình 2y4 15y3 30y148 0 (*)

Thì ta nhập: 2X4

– 15X3 – 30X + 148 = 0 (nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của (*), ta chỉ thay đổi ẩn)

Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE , lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi tạo

của ẩn X Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút =

Thực ra việc nhập giá trị khởi tạo cho X này khá quan trọng Vì thường thì máy tính sẽ dò

nghiệm trong một khoảng lân cận nào đó của X Vì vậy, đối với phương trình hữu tỉ thông

thường thì việc này khá quan trọng Nếu giá trị khởi tạo không phù hợp thì nhiều lúc máy

sẽ báo không dò được nghiệm (mặc dù vẫn có nghiệm)

Còn đối với phương trình lượng giác thì do tính chất tuần hoàn của hàm lượng giác nên có

rất nhiều giá trị nghiệm đủ “phân bố” nhiều trục số Vì vậy nên việc tạo giá trị khởi đầu

thực ra không cần quan trọng lắm Thế nhưng để tiện cho việc nhìn nghiệm lượng giác thì

ta nên tạo giá trị khởi đầu nằm trong đoạn [0 ; 180] (đối với chế độ là độ D ) hoặc  0;

(nếu dùng chế độ rađian R )

Đến đây ta chỉ còn việc chờ kết quả dò nghiệm

+) Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba

dòng như sau:

– Dòng 1: Phương trình ta đã nhập

– Dòng 2: X = <Nghiệm>

Đây chính là nghiệm của phương trình (giá trị này có thể là nghiệm gần đúng hoặc nghiệm

đúng)

– Dòng 3: L – R = <Sai lệch hai vế>

Khi tìm ra được nghiệm, nếu màn hình hiện L – R = 0 (L là Left, tức là vế trái của phương

trình, R là vế phải của phương trình) thì nghiệm tìm được là nghiệm chính xác của phương

trình Còn nếu L – R khác 0 thì tức là vế trái vẫn chưa bằng vế phải, thế nên đó là nghiệm

gần đúng của phương trình

+) Nếu việc dò nghiệm quá lâu, máy có thể hiện lên màn hình hỏi có nên dò nghiệm tiếp

hay không Lúc này màn hình có ba dòng:

<Phương trình đã nhập> D Math

X = <Nghiệm>

L – R = <Sai lệch hai vế>

– Dòng 1: Continue: [ = ]

Nếu muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím =

– Dòng 2: Giá trị hiện tại của X

– Dòng 3: L – R = <Sai lệch hai vế>

Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm ta bấm phím AC

+) Nếu máy không thể dò được nghiệm Lúc này

màn hình sẽ hiện Can’t Solve

Điều này có hai nguyên nhân Thứ nhất là phương

trình đã nhập luôn vô nghiệm Thứ hai có thể là do

giá trị khởi tạo không được phù hợp Vì vậy ta có thể tiếp tục công việc dò nghiệm bằng

cách một trong hai nút điều chỉnh ◄ hoặc ► để trở lại bước nhập phương trình và cho

một giá trị khởi tạo phù hợp hơn

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2x4 19x3 47x2 1800

Đầu tiên ta nhập phương trình vào máy: 2X4

+ 19X3 + 47X2 – 180 = 0

Bấm SHIFT SOLVE , sau đó nhập giá trị khởi tạo

là 1 chẳng hạn và bấm nút = , màn hình hiện kết

quả X = 1,5 với độ sai lệch là 0

Vậy phương trình có nghiệm là 3

2

x Dùng sơ đồ Hooc–ne chia đa thức ta phân tích được phương trình trên thành:

3 3

2

x

 



Bây giờ ta đi giải phương trình bậc ba trên Bấm máy tính ta được nghiệm X = –6 nên ta

x x  x   x (dễ thấy x2 5x100)

Lưu ý: Khi nhập phương trình dạng f x 0 ta có thể không nhập phần “= 0” của

phương trình mà chỉ cần nhập f x Và tôi cũng khuyên các bạn rằng nên bỏ phần “=0”  

của phương trình, không nên nhập phần này

Một phương trình dạng f x g x  (ví dụ x2 3x 1 3x3) thì đầu tiên ta nên chuyển

nó về dạng f x g x 0 để nhập (và không nhập phần “=0”)

Một mẹo để không cần viết nháp giai đoạn chuyển vế f x g x 0, đó là ta nhập kiểu:

 

f x  ( g x ) và bấm SHIFT SOLVE  

Nguyên nhân tại sao lại nên nhập như vậy thì tôi xin trình bày như sau:

– Khi nhập phương trình dạng f x 0 hay f x  g x  thì do chứa dấu = nên nếu ta

nhập sai sót mà lỡ bấm SHIFT SOLVE rồi thì sẽ không sửa được, tức là mất thêm thời

gian nhập lại Thời gian nhập một phương trình (nếu một phương trình phức tạp hoặc một

phương trình lượng giác) không phải là ngắn, còn thời gian sửa một phương trình thì sẽ rất

ít

Can’t Solve D Math [AC] : Cancel

[◄] [►] : Goto

Continue : [ = ] D Math

X = <Giá trị hiện tại>

L – R = <Sai lệch hiện tại>

2X4+19X3+47X2–180=0D Math

X = 1.5

L – R = 0

– Khi ta chỉ nhập phương trình mà khuyết dấu “=” thì ta hoàn toàn có thể sửa được Cụ thể

ta dùng thêm một bước như sau:

Sau khi nhập phương trình, ta bấm nút = để tính giá trị của biểu thức vừa nhập với giá trị biến X là giá trị hiện thời được lưu Lúc này máy tính sẽ lưu lại trong bộ nhớ biểu thức vừa nhập Máy tính sẽ hiện kết quả tính được (ta không cần quan tâm kết quả này) mà cứ tiếp tục bấm SHIFT SOLVE như thường

Nếu sau khi bấm SHIFT SOLVE mà ta biết đã nhập sai phương trình thì bấm liên tục nút

AC cho đến khi xuất hiện màn hình trắng (chú ý không bấm ON , nếu bấm ON thì tất

cả bộ nhớ tạm thời về biểu thức đã nhập sẽ “bay” đi hết!) Sau đó bấm nút ◄ là phương trình sẽ hiện lại cho chúng ta

Trên đây là các bước cơ sở để thực hiện các phép dò nghiệm phù hợp cho một phương trình lượng giác – chủ đề chính mà ta sẽ đề cập đến ở đây

II Áp dụng vào việc giải phương trình lượng giác:

1 Một số kiến thức cơ bản và các kết luận cần nắm được:

Thực ra việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc sẽ cho kết quả không như ý ta nếu phương trình lượng giác đó có nghiệm “không đẹp chút nào” Vì vậy các bạn đừng nên quá dựa dẫm quá vào chiếc máy tính đang cầm trên tay mà hãy trang bị một kiến thức thật vững chắc!

Đề thi đại học các năm gần đây đã thiên về việc phân tích nhân tử chung để giải phương trình lượng giác Và “lợi dụng” việc có nghiệm đẹp của các phương trình thi đại học nên ta sẽ sử dụng cách bấm máy tính và đoán nhân tử chung để giải phương trình lượng giác

Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số tính chất của

phương trình lượng giác cơ bản

– Phương trình sin x = 1 có nghiệm là

2

2

x  k 

  (biểu diễn trên đường tròn lượng

giác chỉ là một điểm B)

– Phương trình sin x = –1 có nghiệm là

2

2

x   k 

(biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ là một điểm B’)

– Phương trình sin x = 0 có nghiệm là xk

(biểu diễn trên đường tròn lượng giác bằng hai

điểm A và A’)

– Phương trình cos x = 1 có nghiệm là xk2(biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ là một điểm A)

– Phương trình cos x = –1 có nghiệm là x  k2 (biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ là một điểm A’)

– Phương trình cos x = 0 có nghiệm là

2

x  k

(biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm B và B’)

– Phương trình cos x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm đối nhau (biểu diễn trên đường

tròn lượng giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua trục ngang)

– Phương trình sin x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm bù nhau (biểu diễn trên đường

tròn lượng giác bằng hai điểm đối xứng với nhau qua trục dọc)

– Phương trình tan x = m có hai họ nghiệm hơn kém nhau một lượng là  (biểu diễn trên đường tròn lượng giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua gốc O

Từ những nhận xét tưởng chừng như đơn giản trên mà chúng ta sẽ rút ra một số kinh nghiệm giải phương trình lượng giác như sau:

– Nếu một phương trình lượng giác có hai điểm biểu diễn là điểm A và A’ thì có thể nó có

một nhân tử chung là (sin x – 0) hay chính là sin x

– Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là A (mà không có A’) thì có thể nó có một

nhân tử chung là (cos x – 1)

– Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là A’ (mà không có A) thì có thể nó có một

nhân tử chung là (cos x + 1)

– Nếu một phương trình lượng giác có một điểm biểu diễn là điểm B và B’ thì có thể nó có

một nhân tử chung là (cos x – 0) hay chính là cos x

– Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là B (mà không có B’) thì có thể nó có một

nhân tử chung là (sin x – 1)

– Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là B (mà không có B’) thì có thể nó có một

nhân tử chung là (sin x + 1)

– Nếu một phương trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục dọc thì nó có

thể có một nhân tử chung là (sin x – m) (với m giá trị lượng giác sin ứng với hai điểm đó)

– Nếu một phương trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục ngang thì nó có

thể có một nhân tử chung là (cos x – m) (với m giá trị lượng giác cos ứng với hai điểm đó)

– Nếu một phương trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua gốc O thì nó có thể

có một nhân tử chung là (tan x – m) (với m giá trị lượng giác tan ứng với hai điểm đó)

Thành thạo việc tư duy bằng đường tròn lượng giác như thế này sẽ giúp việc giải phương trình lượng giác đơn giản hơn mà không cần vẽ đường tròn lượng giác!

2 Các cách để giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính bỏ túi:

Hai cách làm sau đây thực ra là giống nhau, vì vậy ai muốn sử dụng cách nào cũng được Với những bạn mới sử dụng thì tôi vẫn khuyên các bạn dùng cách thứ nhất, và máy

tính nên để ở chế độ là độ D (bởi vì việc nhập các giá trị rađian lâu hơn một tí)

Cách 1: Giải bằng chức năng CALC bằng cách thông dụng

Bước 1: Nếu phương trình có hai vế thì chuyển hết về một vế để được phương trình

  0

f x 

Sau đó nhập f x vào trong máy  

Bước 2: Lần lượt thử các giá trị lượng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng CALC Giá trị nào làm giá trị f x 0 thì đó chính là nghiệm của phương trình

(Các giá trị đặc biệt là

+) 0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ;120 ;135 ; 150 ; 180 cùng các giá trị đối của nó (nếu máy ở chế độ

độ D )

+) 0 ; ; ; ; ; 5 ; 3 ; 5 ;

        cùng các giá trị đối của nó (nếu máy ở chế độ

rađian R ))

Bước 3: Giá trị nào là nghiệm của phương trình thì đánh dấu ngay trên đường tròn lượng giác

Bước 4: Từ các kết luận rút ra ở mục II.1 ta nhận định nhân tử chung (có thể nhận định được nhiều cách phân tích)

Bước 5: Thử phân tích phương trình thành nhân tử chung Nếu phân tích được thì việc giải phương trình đã thành công Nếu việc phân tích quá khó khăn thì ta lại chuyển hướng phân tích nhân tử chung khác

Sử dụng Cách 1 này khá lâu

Cách 2: Dùng chức năng CALC tối ưu hơn

Bước 1: Giống Bước 1 của cách 1

Bước 2: Lần lượt thử các giá trị lượng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng CALC Giá trị nào làm giá trị f x 0 thì đó chính là nghiệm của phương trình và ta dừng lại ở đó Giả sử nghiệm vừa tìm được là α

Bước 3: Thử các giá trị sau:

+) Giá trị ĐỐI với α, tức là (– α) Nếu (– α) cũng thỏa mãn (làm giá trị biểu thức bằng 0)

thì ta nghĩ ngay đến nhân tử chung là (cos x – cos α) (α xác định nên cos α là một hằng số)

+) Giá trị BÙ với α, tức là (1800 – α) Nếu (1800 – α) cũng thỏa mãn thì ta nghĩ đến nhân

tử là (sin x – sin α)

+) Giá trị NGƯỢC PHA với α, tức là (α + 900

) Nếu (α + 900) cũng thỏa mãn thì nghĩ đến

nhân tử chung là (tan x – tan α) hay chính là (sin x – tan α cos x) (tùy trường hợp mà ta sử

dụng nhân tử chung nào cho hợp lý)

Riêng đối với trường hợp α có biểu diễn là một trong các điểm A, B, A’, B’ thì việc làm này có thể “thừa” Cụ thể là nếu trong ba giá trị ĐỐI, BÙ và NGƯỢC PHA trên đều không thỏa mãn phương trình thì tùy giá trị của α mà ta sẽ nghĩ đến các nhân tử chung khác nhau (ví dụ như α là điểm A thì nhân tử chung

Nếu α có biểu diễn là khác tất cả các điểm A, B, A’, B’ mà các giá trị ĐỐI, BÙ và NGƯỢC PHA trên đều không thỏa mãn thì ta phải quay về Bước 1 để thử các giá trị khác Bước 4: Thử phân tích thành nhân tử chung

Cách 2 này phù hợp với những người đã quen sử dụng máy, thao tác và kĩ thuật nhanh

Cách 3: Sử dụng chức năng SOLVE (thường sử dụng ở chế độ độ D )

Bước 1: Nhập phương trình vào máy

Bước 2: Nhập giá trị khởi tạo trong [ 0 ; 360 ] và dò nghiệm

Sở dĩ ta không dùng chế độ rađian vì nghiệm khi hiển thị ra rất lẻ, nó không ở các dạng

2



hay

3



, … mà lại ở dạng số thập phân 1,570796327 hay 1,047917551, … nên chúng ta khó nhận biết được nghiệm

Bước 3: Đến đây làm tiếp các bước tương tự như Bước 3, rồi Bước 4 của Cách 2

Cách 3 áp dụng đối với những bài toán có nghiệm không là những giá trị lượng giác đặc biệt mà chúng lại khó nhẩm (chẳng hạn như ; ; ;

12 8 6

  

) Sau đây là các ví dụ cụ thể giúp các bạn có thể luyện tập được các bấm máy:

Ví dụ 3: (Đề thi Đại học Khối B năm 2005)

Giải phương trình lượng giác: 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

Cách 1: Thử các giá trị đặc biệt ta thấy các giá trị thỏa mãn là 120 , 0 135 , 0 450, 1200 Thấy rằng 120 và –120 là hai giá trị đối nhau, còn 135 và –45 là các giá trị ngược pha nhau Vậy nên ta nghĩ đến hai nhân tử chung có thể có của phương trình là:

(cosxcos1200) hoặc (tanxtan1350) Hay chính là (cos 1

2

x ) hoặc (sinxcosx) (phương trình này chỉ chứa sin và cos nên ta

ưu tiên lấy dạng (sinxcosx) hơn là lấy dạng (tanx1))

Thử phân tích theo nhân tử (cos 1

2

x ) Ta sẽ ưu tiên nhóm sin2x trước (luôn là vậy đối với phương trình dạng này) Số hạng mà khi nhóm với sin2x mà xuất hiện nhân tử chung

như trên chính là sin x

(Thực ra ngoài nháp ta làm như sau:

Như vậy “phần thiếu” là sinx)

Với hướng đó ta phân tích phương trình như sau:

sin 2xsinx  1 cos2xcosx0

1

2

2

Đến đây thì việc giải trở nên rất đơn giản Và nhận thấy rằng hai nhân tử chung mà ta dự đoán đều đúng!

Một câu hỏi nho nhỏ đặt ra: Ta phải dùng công thức nhân đôi đối với số hạng cos2x như

thế nào trong ba công thức: cos 2x2cos2 x  1 1 2sin2 xcos2xsin2 x cho hợp lý? Xin được trả lời như sau: Các bạn phải xác định nhân tử chung chứa hàm gì?

– Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm cos (ví dụ như bài này nhân tử chung là (cos 1

2

x ))

thì ta quy cos2x 2

2cos x 1

  (tức là quy cos2x về cosx)

– Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sin thì ta quy cos2x 2

1 2sin x

  (tức là quy cos2x về sinx)

– Nếu nhân tử chung chứa CẢ HAI hàm sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta quy

cos 2xcos xsin x

Cách 2: Thử các giá trị đặc biệt từ 00 trở đi, ta dừng lại tại giá trị α = 1200 Bấm thấy ngay giá trị –1200

cũng thỏa mãn nên ta đoán nhân tử chung là (cos 1

2

x  ) Tiếp tục cách giải như trên

Cách 3: Nhập phương trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế

độ là độ) thì sau khoảng gần 20s máy tính cho kết quả –450

Thực hiện lấy các giá trị góc ĐỐI (450

), BÙ (2250) thì đến giá trị NGƯỢC PHA mới thấy thỏa mãn Như vậy đoán

tanxtan( 45 ) ) hay chính là (sinxcosx)

Vẫn ưu tiên nhóm sin2x trước Làm nháp:

sin 2x2sin cosx x2 sinxcosx cosx2cos x2 sinxcosx cosx cos 2x1

Vì vậy nên để hợp lý ta sẽ nhóm sin2x với (cos2x + 1)

Nếu phân tích theo cách:

sin 2x2sin cosx x2 sinxcosx sinx2sin x

Thì ta lại thêm bớt trong phương trình một lượng là 2

2sin x để nhóm cho đủ:

sin 2x2sin x  cos 2x 1 2sin xsinxcosx 0

2 sinx cosx sinx 2cos x 2sin x sinx cosx 0

Đến đây thì không khó để phân tích thành nhân tử chung (sinxcosx)

Ví dụ 4: (Đề thi chọn lớp 12 năm 2012 – 2013 THPT Thái Lão)

Giải phương trình: 2sin 2 3cos 2 11sin 2cos 4 0

x

Với dạng phương trình này thì cách giải lại còn được rút ngắn hơn nữa!

Thấy rằng thật không đẹp chút nào khi cho cái mẫu đó vào Vì nếu bình thường thì ta chỉ cần giải phương trình tử = 0 là được rồi Suy luận như thế cho thấy rằng việc cho cái mẫu như vậy chỉ là để loại nghiệm mà thôi Vì vậy nên trong các giá trị thỏa mãn để mẫu = 0 sẽ

có ít nhất một giá trị là nghiệm của phương trình tử = 0

6

x  k 

Phương trình đã cho tương đương: 2sin 2x3cos 2x11sinx2cosx 4 0 (*)

Dùng máy tính thử ta thấy ngay 2

6

  thỏa mãn phương trình trên Áp dụng cách 2

ta thử thấy giá trị bù với nó là 5

6

x 

thỏa mãn phương trình trên Như vậy ta dự đoán

phương trình sẽ có một nhân tử chung là (sin 1

2

x  )

2

Như vậy ta sẽ nhóm 2sin2x với (–2cosx) Trình bày lời giải như sau:

(*) 2sin 2x2cosx3cos2x11sinx 4 0

   2 

2cosx 2sinx 1 2sinx 1 3sinx 7 0

2sinx 1 2cos x 3sinx 7 0

1

sin

2

x

  (dễ thấy phương trình 2cosx3sinx 7 0 vô nghiệm)

5

Kết hợp với điều kiện ta tìm được phương trình có một họ nghiệm là 5 2

6

Qua việc giải hai phương trình trên ta rút ra một chú ý sau:

Khi giải phương trình dạng: asin 2xbcos 2xcsinxdcosx e 0 hoặc biến dạng

của nó (thay sin2x bằng sinx.cosx ; hoặc thay cos2x bằng sin x hay 2 cos x ) thì việc đầu 2 tiên ta nên làm đó là nhóm asin2x với csinx hoặc nhóm với dcosx Bởi vì việc nhóm như

thế này rất dễ làm xuất hiện nhân tử chung!

Ví dụ 5: (Đề thi Đại học Khối D năm 2012)

Giải phương trình: sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x (**)

Phương trình này không khó với những ai đã rành công thức lượng giác Thế nhưng ta hãy thử ứng dụng cách giải này vào giải phương trình này xem sao

Thử nghiệm từ 0 trở đi Ta thấy ngay giá trị 450 thỏa mãn

Tiếp tục thử các giá trị đối, bù và ngược pha với 450 thì tất cả các giá trị này đều thỏa mãn Ghép cặp (450

và –1350), (–450 và 1350) (các cặp ngược pha nhau) thì ta nhận thấy phương

trình này có thể có hai nhân tử là (sinx – cosx) và (sinx + cosx)

Ta chọn nhân tử chúng là (sinx – cosx)

Thấy rằng phương trình đã cho thì (– sinx + cosx) và 2 cos 2x đều đã chứa (sinx – cosx) Như vậy (sin3x + cos3x) cũng sẽ phải chứa (sinx – cosx) Thực hiện phép hạ bậc thấy ngay

nhân tử chung đó

sin3xcos3x3sinx4sin x4cos x3cosx4 cos xsin x 3 sinxcosx

4 cosx sinx cos x sin cosx x sin x 3 sinx cosx

sinx cosx 1 4sin cosx x

Vậy phương trình đã cho biến đổi tương đương như sau:

(**) sinxcosx 1 4sin cosx x  sinxcosx 2 cos 2x

sinx cosx 2 4sin cosx x 2 cos 2x

2 cosx sinx sinx cosx 2 cos 2x

 2 2   

2 cos x sin x sinx cos 2 cos 2x

2cos 2 sinx x cosx 2 cos 2x