một số kĩ năng giải PT lượng giác

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về giải phương trình lượng giác đều rơi vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng toán đó

I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích , công thức hạ bậc ,…

Bài 1 Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)

Giải

 

1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0

k2 7x

x

7 2

3





























*Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu

các góc bằng nhau

Bài 2 Giải phương trình : 3 3 2 3 2

cos3xcos x sin 3x sin x

8



Giải

2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x

cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x



*Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công

thức nhân 3

Bài 3 Giải phương trình : 2cos2 2x 3cos4x 4cos x 12

4



Giải

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

 3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 12 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 1 2 

2

k

x

36 3













2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác

Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

2 2

sin x 1 cos x 1 cos x , cos x 1 sin x 1 sin x

cos2x cos x sin x cos x sin x

1 cos 2x sin 2x 2cos x(sin x cos x)

1 sin 2x sin x cos x

1 cos 2x sin 2x 2sin x(sin x cos x)

1 sin 2x sin x cos x

sin x cos x

1 tan x

cos x

2 sin x



4



Bài 4 Giải phương trình : 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x    (4)

Giải

Cách 1 :  4  2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x2     2cos x 1 2sin x cos x 1    0

1 cos x

2 sin 2x 1















phần còn lại dành cho bạn đọc Cách 2 :  4  2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0    

 2sin x cos x sin x cos x sin x       cos x sin x 2 2 cos x sin x   0

cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2    2     0

cos x sin x 2sin x cos x 2cos x cos x sin x    2    0phần còn lại dành cho bạn đọc

Bài 5 Giải phương trình : cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3    (5)

Giải

 5 (6sin x cos x 3cos x) (2sin x 5sin x 2) 02

3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0

(2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng nhất của dạng này

là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm

Ngoài ra , ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan , cot Khi đó , có thể sử dụng một số công thức

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

tan a tan b cota cotb=

tan a cot b tana-cotb=

2 tan a cot a c

sin 2a

ot a tan a 2 cot 2a

1 tan a tan b 1 tan a tan b

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức

Bài 6 Giải phương trình : cot x tan x 2cos 4x

sin 2x

Giải

ĐK :

sin x 0

k

2 sin 2x 0













 

x l 2cos4x 2cos 2x 2cos4x

3

 





 

 Kiểm tra điều kiện ta được x l ,l Z

3



   

Bài 7 Giải phương trình : 3 2    

2

4cos x 2cos x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x

0 2sin x 1



Giải

ĐK : 2sin x 1 02 cos2x 0 x k , k Z

2

7 4cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0

4

2

3











 Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm x m2 , m Z

3



Bài 8 Giải phương trình : 3tan 3x cot 2x 2 tan x 2

sin 4x

Giải

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

ĐK :

x

x 4 sin 4x 0



 





(*)

 

8 2 tan 3x tan x tan 3x cot 2x

sin 4x cos3x cos x cos3x sin 2x sin 4x 4sin 4x sin x 2cos2x cos x 2cos3x 4sin 4x sin x cos3x cos x 2cos3x

4sin 4x sin x cos3x cos x 8sin 2xcos2x sin x 2sin 2x sin x do (*) cos2x



nghiệm này thoả mãn ĐK

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

3

1,cos3x cos2x cos x 1 0

2, 2 2 sin x cos x 1

12 3,(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x

sin 2x 2sin x 5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0

x

6, tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan

2

7, 2 2cos x 3cos x si

4





2

n x 0

2 cos x sin x 1

8,

tan x cot 2x cot x 1

1 9,cos x cos 2xcos3x sin x sin 2x sin 3x

2 10,sin x cos x cos2x tan x tan x

11, tan x tan 2x sin 3x cos 2x

12,sin x cos 4x sin 2x 4sin

13,sin sin x cos sin











2

2

x

x 1 2cos

4 2

14, 2sin x cot x 2sin 2x 1

sin 3x

15,sin x cos3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x

3sin 4x

