10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác

10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác

Trang 1

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan



Ph n x 1: Khi g p các góc l n (t 3x tr lên) thì th ng có 3 h ng đi

 cos cos 2 cos cos

a b a b

 sin sin 2sin cos

a b a b

( u tiên k t h p các góc cùng ch n ho c cùng l )

Gi i các ph ng trình sau:

1 (D – 2013): sin 3xcos 2xsinx0 2 (D – 2012): sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x

3 (B – 2007): 2

2sin 2xsin 7x 1 sin x 4 (D – 2006): cos3xcos 2xcosx 1 0

5 (D – 2002): cos3x4cos 2x3cosx 4 0 6 (B – 2002) 2 2 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

H ng d n gi i:

1 (D – 2013): sin 3xcos 2xsinx0

(sin 3xsinx)cos2x0

2cos 2 sx inxcos 2x 0 cos 2 (2sinx x 1) 0

2 (D – 2012): sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x

 (sin 3xsin ) (cos 3x  xcos )x  2 cos 2x

2cos 2 sinx x2cos 2 cosx x 2 cos 2x

 2 cos 2x 2(sinxcos ) 1x   0

3 (B – 2007): 2

2sin 2xsin 7x 1 sin x  (sin 7xsinx)2sin 22 x 1 0

2cos 4 sin 3x xcos 4x0cos 4 (2sin 3x x 1) 0

4 (D – 2006): cos3xcos 2xcosx 1 0

 (cos 3xcos )x  (1 cos 2 )x 0

2 2sin 2 sinx x 2sin x 0

4sin xcosx 2sin x 0

2sin x(2cosx 1) 0

  

5 (D – 2002): cos3x4cos 2x3cosx 4 0

 (cos3xcosx)4(1 c os 2 ) 2cosx  x0

2cos2 cx osx8cos2x2cosx0

2cos (cos 2x x4cosx  1) 0 2cos (2cosx 2x4cos )x  0 4cos2 x(cosx 2) 0

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

 cos 6xcos8xcos10xcos12x

2cos 7 cosx x2cos11 cosx xcos (cos11x xcos 7 )x 0

 2cos sin 9 sin 2x x x0sin 9 sin 2x x0

GV: Nguy n Thanh Tùng

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

ho c d ng asinx b cosxc (ho c m r ng)

Chú ý:

 Cách kh d u “–” c a các hàm l ng giác: sinusin(u) ; cosucos(u)

tanutan(u) ; cotucot(u)

 Cách đ i tên hàm: sin cos

2

u  u

 ; cosu sin 2 u



 ; tanu cot 2 u



 ; cotu tan 2 u



 

1 (B – 2013): 2

sin 5x2cos x1 2. 3 sin 6x2sin 5x 1 2cos 32 x.

3. 3 cos 4 4sin2 sin 2 4sin2

4

x x x x 

H ng d n gi i:

1 (B – 2013): 2

sin 5x2cos x1sin 5x 1 cos 2x1 cos 2 sin 5 sin 2 sin( 5 )

2

x x   x  x







2. 3 sin 6x2sin 5x 1 2cos 32 x

3 sin 6x 2sin 5x 1 1 cos 6x

3 sin 6x cos 6x 2sin 5x

6



  

    …

3 cos 4 4sin sin 2 4sin

4

x x x x  

3 cos 4 4sin sin 2 2 1 cos 2

2

 3 cos 4x4sin2xsin 2x2(1 sin 2 ) x

 3 cos 4x2sin 2 (1 2sinx  2x)2

 3 cos 4x2sin 2 cos 2x x2 3 cos 4xsin 4x2

3cos 4 1sin 4 1 cos 4 1

k

          

Kh và gi m s l ng góc l n b ng vi c “s d ng công th c c ng ho c t o tích thành t ng” ho c “đánh giá”

1 cos 4 (2sin 3x xcos )x sin (sin 4x x1)

sin 2 (1 cos 5x  xcos ) sin 3x  x2sin 3 cos 2x x 3 cos 2x3

H ng d n gi i:

Trang 3

1 cos 4 (2sin 3x xcos )x sin (sin 4x x 1)

sin 3 cos 4 cos 4 cos

2 x x sinx x xsin 4 sinx x

sin sin 7

2

2. sin 2 (1x cos 5xcosx) sin 3 x2sin3 cos 2x 2 x 3 cos2x3

2 sin 2 (1x 2cos 3 cx os2x) sin 3 (2cos 2x x 1) 3 cos 2x 3

sin 2x cos 3 sin 4x x sin 3 cos 4x x 3 cos 2x 3

sin 3 cos 4 cos 3 sin 4 sin 2x 3 cos 2x x x x x 3

2 sin 2 cos 2 3



Do 2sin 2 3 2 (*) sin 2 3 1

sin 7 3 2 sin 7 1

CHÚ Ý: Ch ng trình h c chính khóa không có cth c 3

sin 3x3sinx4sin x ; cos 3x4cos3x3cosx vì v y

n u xu t hi n trong đ thi thì “ý đ ” c a ng i ra đ không ph i s d ng chúng (n u các b n dùng thì ph i ch ng minh) ngh a là các b n nên đi theo 3 h ng t duy trên.

Ph n x 2 :Khi xu t hi n 3 th ng chuy n v d ng asinx b cosxc ho c d ng m r ng Cách gi i chung: sina u b cosu c

Chia c hai v ph ng trình cho 2 2

a b ta đ c:

2a 2 sinu 2b 2 cosu 2c 2

a b



 (đ a v công th c nghi m) v i

2 2

cos a

a b



 và sin 2b 2

a b





Chú ý 1:

 i u ki n ph ng trình có nghi m là 2 2 2

a b c

 Ta có th đ a ph ng trình v d ng công th c nghi m v i cos

 Th ng 2 2

2

a b  (đ s li u bài toán “đ p”)

Chú ý 2: Ngoài d ng nguyên g c trên, chúng ta có th g p 3 d ng m r ng sau

a u b u a b v

 sina u b cosua'sinv b 'cosv

Cách gi i c ng t ng t , khi ta chia c hai v ph ng trình cho 2 2

a b

Trang 4

1 (A,A1 – 2012): 3 sin 2xcos 2x2cosx1 2 (B – 2012): 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

x x

s inxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin x)

5 (D – 2009): 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 6 (D – 2007):

2 sin cos 3 cos 2

x

7 (B – 2008): 3 3 2 2

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcos x 8.  6 6 

8 sin xcos x  2 3 3 sin 4x

9 3 sinxcos (4sinx x 1) 0 10.2sin 3xsinx 3 cosx 1 2cos 2x 0

H ng d n gi i:

1 (A,A1 – 2012). 3sin 2xcos 2x2cosx1

2 3 sin cosx x2cos2x 1 2cos x1

2cos ( 3 sinx xcosx 1) 0

cos 0

x











2 (B – 2012): 2(cosx 3sin ) cosx xcosx 3sinx1

2cos2x 1 2 3 sin cosx xcosx 3 sinx

cos 2x 3 sin 2xcosx 3 sinx

cos 2 sin 2 cos sin

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos

(1 2sin )(1 sin ) 3

  i u ki n

sin 1

1 sin

2

x









 

V i đi u ki n (*) thì ph ng trình t ng đ ng:

2 (1 2sin ) cos x x 3(1 2sin xsin )x

cosxsin 2x 3(cos 2xsin )x

 cosx 3 sinx 3 cos 2xsin 2x

1cos 3sin 3cos 2 1sin 2

sinxcos sin 2x x 3cos 3x2(cos 4xsin x)

sin (1 2sinx  2 x) cos sin 2 x x 3 cos 3x 2 cos 4x

sin cos 2x xcos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4x

 sin 3x 3 cos 3x 2 cos 4x 1sin 3 3cos 3 cos 4 cos 3 cos 4



5 (D – 2009): 3cos 5x2sin 3 cox s 2xs ni x0

3 cos 5x (sin 5x sin ) sinx x 0

 sin 5x 3 cos 5x 2sinx 1sin 5 3cos 5 sin

3

Trang 5

6 (D – 2007):

2 sin cos cos 2

2

x

sin cos 2sin cos 3 cos 2

x

1 sinx 3 cosx 2

 

      

7 (B – 2008): 3 3 2 2

sin x 3cos xsin cosx x 3sin xcos x sin (cosx 2xsin2x) 3 cos (cosx 2xsin2x)0

sin cos 2x x 3 cos cos 2x x0 cos 2 cos 2 0

(sin 3 cos ) 0

x



8 sin xcos x  2 3 3sin4x 3 2

8 1 sin 2 2 3 3 sin 4

8 1 3(1 cos 4 ) 2 3 3 sin 4

8

x



9 3sinxcos (4sinx x 1) 0  3 sinxcosx2sin 2x

sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 2

6

10.2sin 3xsinx 3cosx 1 2cos 2x 0

2sin 3x sinx 3 cosx sin x cos x 2(cos x sin x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx (sin x 3cos x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx sinx 3 cosx sinx 3 cosx 0

sinx 3 cosx2sin 3x sinx 3 cosx 0

sin 3 cos 2sin 3







Ph n x 3:Khi nhóm đ c các b “ cùng tên, cùng góc ” thì ngh t i vi c phân tích thành tích

(2sin2 xsinx 1 (sinx1)(2sinx1); cos3x3cos2x4 cosx 2 (cosx1)(cos2 x2 cosx2)…)

( ho c nh m nghi m ho c các em dùng máy tính đ tr giúp và có th s d ng thêm l c đ Horner – n u ph ng

trình t d ng b c 3 tr lên trong đó có ít nh t m t nghi m “đ p” đ t o tích)

1 (D – 2010): sin 2xcos 2x3sinxcosx  1 0 2. 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x 8

3. (2sinx1)(cosx 1) cos 2x2cosx7sinx5 4. 2cos3x3cos 2x2sin 2x4cosx4sinx5

8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11

H ng d n gi i:

1 (D – 2010): sin 2xcos 2x3sinxcosx  1 0

sin 2x (1 2sin2x) 3sin xcosx1

Trang 6

2sin x 3sinx 2 sin 2x cosx 0

(2sinx1)(sinx2)cos (2sinx x 1) 0(2sinx1)(sinxcosx2)0

2. 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x 8

2 9sinx 6cosx 6sin cosx x 1 2sin x 8

(6sin cosx x 6cos )x

(2sin x9sinx7)  0 (sin 1)(2sin

6cos (sinx x 1) x x7) 0

    (sinx1)(6cosx2sinx 7) 0

sinx 1

  ho c 2sinx6cosx (vô nghi m do 7 2 2 2

2 6 7 ) 2

2

x  k 

   (k )

3. (2sinx1)(cosx 1) cos 2x2cosx7sinx5

2 2sin cosx x 2sinx cosx 1 1 2sin x 2cosx 7sinx 5

(2sin cosx xcos )x  2

(2sin x9sinx5) 0

cos (x2sinx 1) (2sinx1)(sinx5)0(2sinx1)(sinxcosx 5) 0

4. 2cos3x3cos 2x2sin 2x4cosx4sinx5

2cos x 3(2cos x 1) 2sin 2x 4cosx 4sinx 5

(cos x3cos x2cosx4)(sin 2x2sin )x  0

2

(cosx 1)(cos x 2cosx 4) 2sin (xcosx 1)

2 (cosx 1)(cos x 2cosx 4 2sin )x 0

cosx 1 (1)

   ho c cos2x2(sinxcos )x 4 (2)

Gi i (1)  x  k2 Gi i 2

(2) cos 2 2 sin 4

4

x x  

2

cos 2 2 sin 1 2 2 4

4

x x  

  , suy ra (2) vô nghi m

V y ph ng trình có nghi m x  k2 (k)

8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11

Ta có: sin6 cos6 (sin2 cos2 )3 3sin2 cos2 (sin2 cos2 ) 1 3sin 22

4

Khi đó ph ng trình t ng đ ng:

2 3

8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 cos 2 9sin 2 11

( 3 sin 4x 3 cos 2 )x

(2sin 3x3sin 2x1)0

3 cos 2 (2sin 2x x 1) (2sin 2x 1)(sin 2x 1) 0

      (2sin 2x1)( 3 cos 2xsin 2x 1) 0

CHÚ Ý : Các Ví d 1 , 2 , 3 , 4 , 5 còn có m t cách ti p c n khác Các em xem ti p các ph n x sau !

Ph n x 4: Khi ph ng trình l ng giác có nhi u bi u th c cùng ch a nhân t chung, chúng ta ngh

t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c n u nhân t chung d i m u s ) Sau đơy th y

gi i thi u t i các b n b ng các bi u th c ch a nhân t chung th ng g p:

Trang 7

B ng T ng K t M t S Nhân T Chung Th ng G p STT Nhân t

Chung

Bi u Th c Ch a Nhân T Chung

1 sin x tan x; sin 2x; tan 2x; 1 cos 2x ; sin 3x…

2 cos x cot x; sin 2x; tan 2x; 1 cos 2x ; cos 3x…

3 sinxcosx

cos 2x; 1 tan x ; 1 cot x ; 1 tan x 2 ; 1 cot x 2 ; sin3xcos3x;sin

4

x 

  

 ; cos x 4



  

4 1 sin x 2

cos x;cot x2 ; 2

sin

2 4

x 

2 cos

2 4

x 

  

2 tan

2 4

x 

2 cot

2 4

x 

 ;2cosxsin 2x…

sin x; tan x2 ; sin2

2

x

; tan2 2

x

;cos2 2

x

; cot2 2

x

; 2sinxsin 2x…

6 1 2sin x cosxsin 2x; 2

1 4sin x ; 3 4cos x 2 ; 2cos 2x1;cotx2cosx; cos 3x…

7 1 2cos x sinxsin 2x; 2

1 4cos x ; 3 4sin x 2 ; 2cos 2x1; tanx2sinx; sin 3x…

1 (D – 2004): (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx 2 (B – 2004): 2

5sinx 2 3(1 sin ) tan x x.

3 (A – 2003):cotx 1 cos 2 2 1

sin sin 2

x

 4. (D – 2003): 2 2 2

sin tan cos 0

x



5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x

 8.(D – 2010) : sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0.

9 (A – 2007): 2 2

(1 sin x) cosx (1 cos x)sinx 1 sin 2 x 10 (A,A1 – 2013): 1 tan 2 2 sin

4

x x 

11 (B – 2011): sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos x 12 (A,A1 – 2014): sinx4cosx 2 sin 2x

H ng d n gi i:

1 (D – 2004): (2 cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx

(2cosx1)(2sinxcos )x sin (x2 oc sx1) (2cosx1)(sinxcos )x 0

2 (B – 2004): 2

1 5sinx 2 3( sinx)tan x

i u ki n: cos 0

2

x x  n

Khi đó ph ng trình đ ng đ ng: 5sin 2 3(1 sin ) sin2

(1 sin )(1 sin )

x



 (1 sin )(5sinx x 2) 3sin2 x2sin2x3sinx 2 0

3 (A – 2003):cotx1 2 1

sin

cos

sin 2

2

x

  

i u ki n: sin 2 0

tan 1

x x





  

 , khi đó ph ng trình t ng đ ng:

Trang 8

cos (cos sin )(cos sin ) 2

sin

cos

x x

x

 cos

cos sin

(cosx sinx)(1 sin cosx x sin x) 0

4 (D – 2003): 2 2 2

sin tan cos 0

x



i u ki n: cos 0

2

x   x  n

(n)

Khi đó ph ng trình t ng đ ng: 22

1 cos

sin 1 cos 2

x





(1 cos )( )

1 sin 1 cos 1 cos

)(1 sin ) 2

1 sin

x





1 cos (1 cos ) 1 0 (1 cos )(sin cos ) 0

1 sin

x





5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

i u ki n: sinx  0 x n (n)

Ta có 2

2

1

1 cot

sin

x

  , do đó ph ng trình t ng đ ng:

sin2x(1 sin 2 x2cos2x 1) 2 2 sin2xcosx

2cosx(sinx cos )x 2 2cosx

sin cos 2

x





6 (B – 2005): 1 sin xcosxsin 2xcos 2x 0

1 sin 2 xsinxcosxc so 2xsin2x0

(sinxcos )x 2 sinxcosx(cosxsin )(cosx x sin )x  0

(sinxcosx)(sinxcosx 1 cosxsinx)0(sinxcos )(2 cosx x 1) 0…

7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x



i u ki n: cos 0

tan 3

x x







 

 (*)

Khi đó ph ng trình t ng đ ng: sin 2x2cosx(sinx1)0

2cos (sinx x 1) (sinx 1) 0(sinx1)(2cosx 1) 0

8 (D – 2010) : sin2xcos 2x3sin xcos x 1 0

cos 2 3sin 1

sin 2

cos 2sin 1

2sin 3sin 2 2sin 1(sin 2)

x







Khi đó ph ng trình t ng đ ng:

cos (x2sinx1) ( 2sinx1)(sinx2)0

(2sinx1)(sinxcosx2)0...

Trang 9

9 (A – 2007): 2 2

(1 sin x) cosx (1 cos x)sinx 1 sin 2 x

2 sinx cosx sin cos (x xsinx cosx) (sinx cosx)

(sinx cosx)(1 sin cosx x sinx cos )x 0

      2 sin (1 cos )(1 sin ) 0

4

4 2

i u ki n: cosx 0

Ph ng trình t ng đ ng: sin cos 2(sin cos ) (sin cos )(1 2 cos ) 0

cos

11 (B – 2011): sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos x

2sin cosx x sin cosx x cosx 1 2sin x sinx

2sin (1 sin )(1 sin ) cos (1 sin )x x x x x (1 sin )(1 2sin )x x

(1 sin ) 2sin (1 sin ) cosx x x x 1 2sin )x 0

(1 sinx) 2sin x 1 cosx 0 (1 sin )(cos 2x x cosx) 0

12 (A,A1 – 2014): sinx4cosx 2 sin 2xsinxs ni 2x4cosx 2 0

sin (x1 2cos x) 2( 1 2co sx)0(1 2c osx)(sinx 2) 0.

Ph n x 5:Khi ph ng trình có m t cos 2x thì ta d a vào các d u hi u đi kèm đ bi n đ i:

cos 2x = cos2x  sin2x  (cos x  sin )(cos x x  sin ) x : N u có y u t sinxcosx

= 2cos2x  1: N u vi c t o ra “ –1” giúp ta kh s t do

= 2

1 2sin x  : N u vi c t o ra “ +1” giúp ta kh s t do

= cos 2x(Gi nguyên): N u có 2cos3xcosx; sinx2sin3x; sin 2 cosx xsinx; cosxsin sin 2x x

1 ( HY – 2000) 3 3

sin xcos x cos2x 2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x2cosx 1

3 (D – 2006): cos3x cos2x cos x  1 0 4 (B – 2010): (sin 2x cos2x )cosx cos2x sin2  x 0

5. 2cos x3  3 sin xcos 2x4sin x2 cos x 2 6 (A – 2003): cos 2 2 1

x

H ng d n gi i:

1 ( HY – 2000) 3 3

sin xcos x cos 2x

 (sinxcos )x (1 sin cos ) x x  (cosxsinx)(cosxsinx)

(sinxcosx)(1 sin cos x xsinxcos )x 0 2 sin (1 cos )(1 sin ) 0

4

2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x2cos x1

2 3 sin cosx x 2

2cos x12cos x12cos ( 3 sinx xcosx 1) 0

3 (D – 2006): cos3xcos 2xcosx1 0

cos3x1 2sin 2xcosx10 2

2sin 2 sinx x 2sin x 0

4sin2 xcosx2sin2x0 2

2sin x(2cosx 1) 0

– 2010): (sin 2x cos2x )cos  cos2x sin 

Trang 10

 sin 2 cosx xsinx cos 2xcosx2cos 2x 0

2

sin (x x ) s 2x(cosx 2) 0

2cos x 3 sin cos 2x x4sin xcosx2

cos (x 2cos x 1) 3 sinxcos 2x 2(1 2sin x) 0

cosxcos 2x 3 sinxcos 2x 2cos2x 0

    cos2x(cosx 3 sinx2)0

6 (A – 2003): cos 2 2

1 tan

1 cot 1 sin sin 2

2

x x

 

i u ki n: sin 2 0

tan 1

x x





  

 , khi đó ph ng trình t ng đ ng:

cos 1 (cos sin )(cos sin ) sin2 sin cos

si 1 o

s

i

c

x





cos

cos sin

(cosx sinx)(1 sin cosx x sin x) 0

Ph n x 6:Khi g p các bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích và g p ph ng trình

ch a sin2x; cos2 x;1 sin 2x ; cos 2xhƣy ngh t i các d ng tích c a chúng :

+) sin2x (1 cos )(1 cos )x  x

+) cos2x (1 sin )(1 sin )x  x ;1 sin 2 x(sinxcos )x 2

+) cos 2x(cosxsin )(cosx xsin )x

( Xem thêm Ph n x 3 )

Chú ý: V i sin x2 , cos x 2 ngoài cách phân tích nh trên ta có th ngh t i vi c h b c theo công th c

2 1 cos 2

sin

2

x

x 

; 2 1 cos 2 cos

2

x

x 

Gi i các ph ng trình sau: 1. 2cos3xcos 2xsinx0 2. sin 2 4 cos2 3 4 2 sin

4

x x  x 

 

3.1 2 sin 2 (1 tan ).sin

4

H ng d n gi i:

1. 2cos3xcos 2xsinx0

2cos x2cos x 1 sinx 0

2cos x(1 cos x) (1 sin )  x 0

 2(1 sin )(1 sin ) x  x(1cos ) (1 sin )x   x 0

 (1 sin ) x 2(1 sin )(1 cos ) 1 x  x   0

(1 sin ) 2(sinx x cos ) 2sin cosx x x 1 0

2 (1 sin ) 2(sinx  x cos ) (sinx x cos )x  0

(1 sin )(sinx x cos )(sinx x cosx 2) 0

      …

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,44 MB