Một lưu ý quan trọng khi giải PT lượng giác

Vậy không phải mọi “công thức lượng giác” đều biểu diễn bằng điểm trên đường tròn lượng giác!. Khi k thay đổi, x  k2 là một tập hợp các giá trị các số đo của những góc cung lượng giá

MỘT VÀI LƯU Ý QUAN TRỌNG – CẦN

THIẾT VÀ LÝ THÚ TRONG VIỆC KIỂM

SOÁT ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

* Đặt vấn đề:

1) Tại sao mọi góc (cung) lượng giác

đều có số đo dạng x  k2

2) Góc x4 có biểu diễn trên đường

tròn lượng giác không ?

3) Tập hợp x k 4 có biểu diễn trên

đường tròn lượng giác không ?

4) Sự chia tập hợp x k.2

m





  thành các tập con ?

5) Sự chia tập hợp x k.A

m





  thành các tập con ?

6) Giải thử phương trình tan tan



1 Xét x  thì tồn tại số nguyên k sao

cho 2k    (k1)2 và đặt

2

k

    thì x    k2

trong đó 0  2 Vậy bất kỳ góc

lượng giác nào cũng có số đo dạng

2

x  k  với k là số nguyên và

0  2 .

2 Xét 1 điểm trên đường tròn lượng

giác, ứng với một cung có số đo

2

x  k  (k là số nguyên nào đó)

3 Đảo lại một cung (góc) có số đo

2

x  k  được biểu diễn bởi 1

điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác

4 Lưu ý: giá trị x4 có dạng

0 2(2 )

x   được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác Xét tập hợp x k 4 có chứa giá trị 4

(khi k=1) nhưng x k 4 không thể biểu diễn trên đường tròn lượng giác

vì

2 4

1 2

x k  k 

 

 

  chỉ là “nửa

điểm” của đường tròn lượng giác

Vậy không phải mọi “công thức lượng giác” đều biểu diễn bằng điểm trên đường tròn lượng giác!

5 Khi k thay đổi, x  k2 là một tập hợp các giá trị (các số đo) của những góc (cung) lượng giác mà chúng được biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ bởi 1 điểm

6 Ta biết rằng:

 sin(x k 2 ) sin  x

 cos(x k 2 ) cos  x

 tan(x k 2 ) tan  x

 cot(x k 2 ) cot  x

Ngoài ra với tan và cot ta còn có:

 tan(x k ) tan x

 cot(x k ) cot x

7 Xét một góc có số đo x  t.2 (với t là số hữu tỉ) thì t k

m

 (k,m là

số nguyên, m dương) x k.2

m





 

8 Xét công thức x k.2

m





  , ta có

k=r.m+i với i lấy m giá trị 0;1;… m1

9 Mỗi x(i) được biểu diễn bởi một điểm

trên đường tròn lượng giác nên

2

m





  được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác.

10 Nói cách khác tập hợp x k.2

m





 

gồm m tập hợp x i( ) i2 r.2

m



hợp lại

11 Nắm chắc quy tắc trên chúng ta có

thể giải quyết nhiều bài toán tế nhị khi phải so sánh giá trị ẩn x tìm thấy với điều kiện ban đầu của x Sau đây

là một vài ví dụ

12 Giải tan 5xtan 3x

HD:

tan 5xtan 3x 3

2











 



2

x m







 

 



Xét 2

6 k 3 6 k 6

   gồm 6 tập hợp giá

trị 2

6 n





2 n









7

2















Xét

2

x m  gồm 4 tập giá trị n2 ,

2

2 n





 , n2, 3 2







Vậy ta chỉ nhận x n 2 và x  n2

hay hợp chúng lại là x n 

13 Khái quát hơn Xét công thức

.A

m





  , ta có k=r.m+i với i

lấy m giá trị 0;1;…m1

14 Tập hợp x k.A

m





  gồm m tập hợp x i( ) i A r A

m



   hợp lại

15 Ví dụ sau đây sẽ giúp ta có cách nhìn

rộng hơn về việc kiểm soát điều kiện

của phương trình.

16 Giải tan tan

 HD:

tan tan

3 5

x

k

m











 

 3

3 2 15 2

x m











 

 

 Chúng ta chọn bội chung của 3 và 15 là 15 để “chia nhỏ” các tập giá trị của điều kiện và giá trị tìm thấy

3

k k



   gồm 5 tập giá trị là 3

15













 21

15











15 2

m  gồm 2 tập giá trị là m15 và 15

15







Ta chỉ nhận nghiệm x m 15

Giải cách khác: tan tan



Đặt

15

x

t  ta được tan 5ttan 3t

Như bài trước ta giải được

15

x

Bài tương tự:

5

x

x







3

x

x





3) (1 2sin x)(1 sin x) 3 (1 2sin x) cos x



 4) sin x cos x sin 2x 3 cos 3x3

2(cos 4x sin x)

sinxcosx x x 

2 4

2

2 2

2

















x π

7)

2sin sin 2

8) cot cos sin x sin x

tgx

x

2

1 1

2





