Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình qua việc giải hệ phương trình bằng nhiều cách

Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chuyên đều có bài toán về giải hệ phương trình phi tuyến tính.. Chính vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải hệ ph

MỤC LỤC

3.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và đưa về

phương trình đồng bậc

Trang 4

3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương

pháp đặt ẩn phụ

Trang 7

3.3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng và phương

pháp đặt ẩn phụ

Trang 9

3.4 Giải hệ hai phương trinh có ba ẩn Trang 11

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 16

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Hệ phương trình nói chung và hệ phương trình phi tuyến tính nói riêng là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình toán cấp THCS Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chuyên đều có bài toán về giải hệ phương trình phi tuyến tính Khi tiếp xúc với dạng toán này học sinh thường thấy khó khăn lúng túng vì nó vừa mới lại rất đa dạng phong phú lại đòi hỏi nhiều kĩ năng của người học Hơn nữa trong các tài liệu cấp THCS ít trình bày về phương pháp giải các loại hệ phương trình này theo hệ thống Với mong muốn giúp các em học sinh làm quen, có thêm phương pháp và biết cách xem xét, khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau từ đó hình thành kĩ năng và thêm hứng thú, tự tin khi giải dạng toán trên Chính vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình phi tuyến thông qua khai thác một số bài toán thi học sinh giỏi”

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu nhằ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm của bản thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và tham gia nghiên cứu khoa học Giúp học sinh hiểu sâu và có hệ thống về chuyên đề hệ phương trình phi tuyến, đồng thời cũng tập cho học sinh thói quen khai thác và nghiên cứu lời giải sau khi giải xong một bài tập

3 Đối tượng nghiên cứu.

Hệ phương trình phi tuyến tính và học sinh khá giỏi lớp 9 ở huyện Cẩm Thủy

4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp thực nghiệm khoa học

Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lí thuyết

5 Những điểm mới của SKKN

Trong sáng kiến kinh nghiệm này có những điểm mới là: Một số bài tập được xem xét dưới nhiều góc cạnh, liên hệ và vận dụng lời giải để giải một số bài toán tương tự, phân loại và hệ thống theo một trật tự lô gic một số dạng hệ phương trình để học sinh dễ nhớ, đẽ hiểu Việc hướng dẫn học sinh biết thêm các phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thông qua những bài toán thi học sinh giỏi mà các em đang có nhu cầu muốn tìm hiểu giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận.

1.1 Về phương pháp chung.

Trong phương pháp dạy học toán, thì việc khai thác và tổng quát hóa bài toán là bước thư tư trong quá trình giải toán là việc cần thiết mà mỗi giáo viên cần phải thực hiện để giúp học sinh hiểu sâu và có cái nhìn đa chiều về vấn đề được học

Việc hướng dẫn học sinh áp dụng và khai thác các bài toán nhằm vận dụng một cách linh hoạt những gì các em được học là một trong những công việc của người dạy toán cần thực hiện

1.2 Về kiến thức:

Các phương pháp cơ bản trong trương trình THCS dùng để giải hệ phương trình phi tuyến là:

1 Phương pháp thế

2 Phương pháp đặt ẩn số phụ,

3 Phương pháp cộng,

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức,

5 Phương pháp đánh giá,

6 Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp)

2 Thực trạng.

Qua thực tế giảng dạy và theo dõi, tôi thấy rằng các bài toán về giải hệ phương trình phi tuyến tính luôn xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT và các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 các tỉnh thành Để giải được các bài toán này yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, kiến thức về phương trình và hệ phương trình đồng thời phải được trang bị kiến thức về phương pháp và cần được hệ thống hóa Trong khi SGK toán 9 chỉ trình bày các phương pháp thông thương để giải hệ phương trình đơn giản, tài liệu hướng dẫn về phần này thường ít và chưa có chuyên đề hệ thống đầy đủ nên học sinh khó khăn trong việc giải các bài toán dạng này

Mặt khác, việc khai thác các bài toán dạng này theo nhiều hướng khác nhau hầu như không được trình bày trong các tài liệu cụ thể nào, đòi hỏi người dạy phải định hướng để các em biết cách khai thác vận dụng linh hoạt những phương pháp được học

Hơn nưa hiện nay thói quen khai thác, phân tích xem xét lời giải bài toán sau khi giải xong một bài tập nào đó của đa số học sinh thường ít được các em chú trọng Chính vì vậy giáo viên khi giảng dạy cần khơi dậy long say mê và dần hình thành thói quen nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề sau khi giải xong một bài toán

3 Các biện pháp thực hiện.

3.1 Bài toán giải bằng phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ 3.1.1 Bài toán 1:

Giải hệ phương trình sau:

2 2 2 2

2 2

2

 + =







( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015)

Cách giải 1: Dùng phương pháp thế một số bằng một biểu thức.

Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình.

Nhận thấy nếu x ≠0 thì y ≠0 và ngược lại.

Xét x ≠0 ; y ≠0 hệ phương trình đã cho tương đương với:

Thay (1) vào (2) ta được 1 1 3

1 1

2

1 1

1

x y

x y xy

 + =



 =



Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)

Cách giải 2: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ:

Với x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình

Nhận thấy nếu x ≠0 thì y ≠0 và ngược lại

Xét x ≠0 ; y ≠0 hệ phương trình tương đương với:

2 2

2







Phân tích phương trình (1) ta có hệ sau:

2







Đặt: a= (1 1+ );b= + (1 1 )

Ta có hệ:

2 2 0

ab 4

 − =

 =



⇔

b 2

=

 − = ⇒  = ⇔ 

a

Hệ trở thành:

(2 )

(1 )

(1 )

(3 ) (4

)

(2 )

1 1

2

1 1

1

 + =



 =



x y

x y xy

Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)

3.1.1 Bài tập áp dụng bài toán 1:

Với cách giải 1 ta có thể thay thế một số bằng một biểu thức, học sinh có thể vận dụng giải bài tập sau:

Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:

2 2

8 12







Hướng dẫn:

Thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình thứ hai ta có:

( ) ( ) 2( ) 8 0

Đặt t= ⇒ + + + = ⇔ +x t3 t2 2t 8 0 (t 2)(t2 − +t 4) = ⇔ =− 0 t 2

y

( vì

2

− + = − ÷ + 〉

t t t ) ⇒ = −x 2y thay vào phương trình thứ nhất ta có:

1

=

 + − = ⇔ = ⇔  = −y

y

Khi y =1 ⇒x=-2

Ki y =-1 ⇒x= 2

Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ( 2:-1); (-2;1)

Để học sinh năm vững hơn về phương pháp thế giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thêm dạng thế một ẩn hoặc thế một biểu thức Sau đây là một vài

ví dụ:

Bài tập 2:

Giải hệ phương trình sau:

2

1 ( 1)(x 2) 0

 − + = −



 + + − + =



x xy y

( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2013-2014)

Từ phương trình đầu suy ra: x2+1= y(x-y) thay vào phương trình thứ hai ta

2

y ( )( 2) 1 0

0

( 1) 0

+ + − + =

=



⇔  + − =



x y y x y y

x y x y

y

x y

Trường hợp 1: y = 0 phương trình đầu trở thành x2 +1 = 0 phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Trường hợp 2: x+y-1 = 0 suy ra y = 1-x thay vào phương trình đầu ta tìm được

x = 0 hoặc x = -1

Nếu x = 0 thì y = 1; nếu x= -1 thì y = 2

Vậy hệ có hai nghiệm (x;y) là ( 0;1), (-1;2)

Bài tập 3: Giải hệ phương trình:

2

3

 + + =







( Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội năm học 2010-2011)

Hướng dẫn:

Từ (2) suy ra x≠0 Từ đó = 4 3− x2

y

x thay vào (1) ta có:

2

Giải phương trình trên được x2 = 1 hoặc x2 = 167

Từ x2 = ⇔ = ± ⇒ = ± 1 x 1 y 1;

x2 = 16 4 7 5 7

7 ⇔ = ±x 7 ⇒ = ±y 7

Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: ( ) (1;1 , 1; 1 ,) 4 7; 5 7 ; 4 7 5 7;

− −  ÷ ÷ − ÷÷

Với cách giải 2 biến đổi để xuất hiện tích và tổng của hai biểu thức rồi dặt ẩn phụ học sinh có thể vận dụng giải các bài tập sau:

Bài tập 4: Giải hệ phương trình sau:

2

x(y 1) 1

 + = −



( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, năm học 2014-2015)

Nhận xét: Ở phương trình (1) đã xuất hiện tích hai biểu thức, học sinh có

thể phân tích phương trình (2) về dạng tổng của hai biểu thức trên.

(1 ) (2 )

(1 ) (2 )

Hướng dẫn:

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

( 2 )( 2 ) 6

(xy 2 ) (x 2 y) 1

 − + = −

 + + − = −



x y xy y

y

Đặt a = x-2y; b = xy+2y Ta có hệ:

= − = −

 + = −  =

2 3

=



 = −



a b

Từ đó giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x;y) là:

3.2 Bài toán giải bằng phương pháp thế và phương pháp đưa về phương trình đồng bậc

3.2.1 Bài toán 2:

Giải hệ phương trình

3 3

2 2

4(4 x y)







( Đề thi học sinh sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016)

Giải:

Cách 1: Dùng phương pháp thế.

Giải hệ phương trình

3 3

2 2

4(4 x y)







Thay (2) vào (1) ta có:

3 3 ( 2 5 x )(4 x y) 2 21x 3 5 2 4 2 0

(7 4 )(3 ) 0

*Với x = 0 thay vào (2) ta được: y = ± 2

* Với 7x-4y = 0 thay vào (2) ta được 31 2

4 49

Phương trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

*Với 3x+y =0 thay vào (2) được y2 =9 ⇔ y = ± 3

y= 3 thì x= -1; y= -3 thì x=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y): ( 0;2); (0;-2); (-1;3); (1;3)

Cách 2: Đưa về phương trình đồng bậc.

Hệ phương trình đã cho viết lại thành:

(2 )

(1 )

(2 ) (1 )

3 3

2 2

4(4 x y)







Nhân về với vế phương trình (3) và (4) ta được phương trình đồng bậc :

3 3 ( 2 5 x )(4 x y) 2 21x 3 5 2 4 2 0

(7 4 )(3 ) 0

Nhận xét: Đến đây cách giải như cách 1 nhưng với cách tiếp cận này học

sinh nắm được phương pháp đưa về phương trình đồng bậc từ đó có thể giải được bài toán sau:

3.2.2 Bài tập áp dụng bài toán 2:

Bài tập 5: Gải hệ phương trình sau:

3 3







( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên năm học 2013-2014)

Hướng dẫn:

Hệ phương trình đã cho viết lại là:

3 3

x 2 y 4







Nhân vế với vế hai phương trình ta có:

( )(4 x y)(2 x 3 y) 0

x y

Từ đó tìm được nghiệm (x;y ) của hệ là: ( ) (1;1 , 1; 1 − − ) .

3.3 Phương pháp cộng và phương pháp đặt ẩn phụ.

3.3.1 Bài toán 3: Gải hệ phương trình sau:

2 2

3 (2 )(x y) 11



Cách 1: Dùng phương pháp cộng.

Hệ đã cho tương đương với:

2 2







(3 ) (4 )

Nhân cả hai vế phương trình (2) với 2 rồi cộng theo từng vế hai phương trình ta được : 9x2 + 6x− 48 0 = ⇔ =x 2 hoặc 8

3

x= − . Với x = 2 ⇒y2 + 2y− = ⇔ = 3 0 y 1 hoặc y = -3

Với 8 2 8 43

0

, ∆〈 0 phương trình vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Vậy nghiệm (x;y) của hệ phương trình là (2;1) hoặc (2;-3)

Cách 2: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ta có : (2x y+ ) 2 + − (x y) 2 = 5x2 + 2y2 + 2 ;xy

3x 2 x + − − xy y = (2x y+ + − + ) (x y) (2x y x y+ )( − )

Hệ phương trình tương đương với: (2 )2 (x y) 26





x y

Đặt u=2x+y; v= x-y ta có hệ: 2 2 26 ( )2 2 26

11 2( ) 2 22

 + =  + − =

⇔

 + + =  + + =

Cộng từng vế hai phương trình ta thu được:

2

(u v+ ) +2(u v+ −) 48 0= ⇔ + =u v 6 hoặc u+v = -8

Giải  + =5 6  =1,5, =51  =2,2, y 1=3

8 19 0

= − − + = − 

u v

3.3.2 Bài tập áp dụng bài toán 3:

Bài tập 6: Gải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

2





+ =



( Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐH khoa học tự nhiên Hà Nội 2010-2011) Cách 1: Dùng phương pháp cộng

Cộng vế với vế hai phươngg trình trên ta có:

2

(2x+3 )y =25⇔ 2x+3y= ±5

Với 2x+3y =5 ta được hệ 2 2

2

+ =





) (1 )

Từ (1) suy ra 5 3

2

−

x thay vào (2) ta được:

2

5 3

2

= ⇒ =



−



Tương tự với trường hợp 2x+3y = -5 ta được: 1 1

= − ⇒ = −





 = − ⇒ = −



Vậy nghiệm của hệ là: (1;1);( ;7 17);( 1; 1);( 7 ; 17).

3 3 − − − 13 − 13

Cách 2: Đưa về phương trình đồng bậc:

Hệ phương trình được viết lại là:

2 2

2 2

2





= +



Nhân từng vế hai phương trình trên ta được:

2(3x + 8y + 12 ) 23(xxy = +y) ⇔ 17 x + 7y − 24xy⇔ − (x y y)(7 + 3 ) 0x =

= ⇒ =



− = ⇒ = ⇒ = ⇒  = − ⇒ = −y x

2 2 2

 = ⇒ =



 = − ⇒ =



y

Cách 3: Đưa về phương trình đồng bậc giải để tìm x theo y.

-Dễ thấy y≠0 và đặt x = ky ta thu được:

2 2

1

2

17

=



k

k

= ⇒ =



= ⇒ = ⇒  = − ⇒ = −y x

2 2

 = ⇒ =



 = − ⇒ = −



3.4 Hệ hai phương trình nhưng có ba ẩn:

3.4.1 Bài toán 4:

Giải hệ phương trình sau:

2

1 1 1

2

2 1

4

 + + =







x y z

xy z

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2009-2010)

Hướng dẫn:

Cách 1: Đưa về dạng toàn phương:

Từ (1) suy ra:

2

−

 =



 =



Thế vào hệ có nghiệm ( ; ; ) ( ; ;1 1 1)

2 2 2

−

=

x y z

Cách 2: Sử dụng điều kiên có nghiệm của phương trình bậc hai.

2

1 1 1

2

2 1

4

 + + =







x y z

xy z

Điều kiện x≠ 0;y≠ 0;z≠ 0. Đặt a= 1x; b=1y;c=1z

Hệ được viết lại dưới dạng:

⇔

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình ẩn t: 2 4 2

2

+

− − + c =

(1 ) (2 )

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi :

(2 ) 2(4 ) 0 (c 2) 0 2

∆ = −c − +c ≥ ⇔ + ≤ ⇔ =c

Tính được a = b= 2

Suy ra hệ có nghiệm ( ; ; ) ( ; ;1 1 1)

2 2 2

−

=

x y z

3.4.2 Bài tập áp dụng bài toán 4.

Với hệ hai phương trình và ba ẩn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp như đưa về dạng toàn phương, sử dụng bất đẳng thức,

sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai hoặc sử dụng phương pháp đánh giá để giải Sau đây là một số bài tập áp dụng.

Bài tập 7: Giải hệ phương trình x y z4 4 41

+ + =



 + + =

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2013-2014)

Hướng dẫn:

Ta có:

4 4 4

= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

xyyz yzzx zxxy

= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1)

x y z

= =



⇔  + + = ⇔ = = = Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1; 1; 1

Bài tập 8: Giải hệ phương trình sau:







(1) (2)

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kon Tum năm học 2011-2012)

Hướng dẫn:

Từ (2) suy ra: y3 = − − 1 2(x− 1) 2 ≤ − 1 ⇒ ≤ −y 1 (3)

Từ (1) suy ra: 2

2

2 1 1

x y

x

+ ⇒ − ≤ ≤1 y 1 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: y= − 1 Thay vào (1) ta có: x2 − 2x+ = ⇒ = 1 0 x 1

Thử lại thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = 1; y = -1

Bài tập 9: Giải hệ phương trình sau:

2 2

4 5 2







Hướng dẫn:

Ta biến đổi hệ đã cho về dạng :

2 2





2





Hệ trên có nghiệm suy ra: 2

5

4

z z

z

 ≥



− ≥



Thay 5

4

z= vào hệ trên ta tìm được x = y = 0 Thử lại thấy đúng.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x;y;z) là ( 0;0; 5

4)

Bài tập 10: Giải hệ phương trình sau: ( 1) ( 1) 2







(1) (2)

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm học 2011-2012)

Hướng dẫn:

Điều kiện x≥ 1,y≥ 1

Xét phương trình (2), áp dụng bất đảng thức Cauchy, ta có:

( 1 1)

1 ( 1).1

y(x 1 1)

1 ( 1).1

xy

− +

− +

(3) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: x y− + 1 y x− ≤ 1 xy

Dấu = xảy ra 1 1 2

1 1

y

x

− =



⇔  − = ⇔ = =

Ta thấy x= 2 , y = 2 cũng thỏa mãn phương trình (1)

Vậy hệ phương trình có nghiệ duy nhất là (2;2)

Bài tập 11: Giải hệ phương trình sau: 11 11 11 12







(1) (2)

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ 11 x 9; 11 y 9; 11 z 9.

Áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki ta có:

12 =(1 x+ +11 1 y+ +11 1 z+11) ≤1 + +1 1    ( x+11) +( y+11) +( z+11)  

= 3( 33+x+y+z) ⇒ + + ≥x y z 15.

Dấu = xảy ra khi 9 − =x 9 − =y 9 − ⇔ = =z x y z

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ;y ;z) là (5 ;5 ;5)

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm trên chủ yếu được áp dụng cho học sinh khá giỏi trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau khi áp dụng đề tài này tôi nhận thấy rằng học sinh rất tự tin và hứng thú khi làm các bài tập giải hệ phương trình phi tuyến

Trong các năm học 2013-2014 và 2014- 2015, tôi được giáo nhiệm vụ tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Cẩm Thủy, kết quả: Các em đều hoàn thành tốt các bài hình học có trong đề thi Trong các năm học

2013-2014, 2014-2015 , 2015-2016 tôi đã có 08 em đạt giải học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh

Kết quả kiểm tra của hai đội tuyển ở hai năm học 2014-2015 và 2015-2016.

Nhóm không

áp dụng đề

tài

Nhóm áp

dụng đề tài

III KẾT LUẬN

Việc áp dụng đề tài trên giúp cho những học sinh khá, giỏi nắm vững hơn

về cách giải hệ phương trình phi tuyến tính, giúp các em học sinh hoàn thành tốt các bài tập có tính chất nâng cao trong sách bài tập và một số sách tham khảo, chuẩn bị tốt cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi vào các trường THPT chuyên, góp phần nhỏ bé vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường Mặt khác qua đề tài trên còn góp phần cho học sinh rèn luyện thói quen phát triển và khai thác các bài toán, thấy được mối quan hệ giữa các bài toán, từ đó giúp các em học tốt môn toán, đồng thời giúp cho học sinh làm quen với phương pháp học theo hướng nghiên cứu bài học Trong khuôn khổ đề tài sáng kiến kinh nghiệm nên bản thân chỉ đưa ra một số kết quả mở rộng cơ bản theo một logic nhất định để học sinh dễ nhớ nên còn một số kết quả khác chưa đưa vào đề tài này Do trình độ của bản thân còn hạn chế nên trong đề tài này sẽ không tránh được những sai sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học và đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!