Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 (repaired)

Năm học 2012 - 2013

MỤC ỤC

.3

.3

.3

.3

4

.4

.5

.5

.5

5

.5

.7

.8

.9

.9

Ạ : ó ớ y y .9

Ạ : ó 14

19

25

Ạ 29

Ạ 29

Ạ 35

ớ y 35

y 36

ớ 36

37

Ạ 37

38

39

40

41

M Đ

I DO CH N SÁNG KIẾN

1 Cơ s l lu n

ó

y ớ

ớ ó y

y y

ớ ớ y

:

y

y

y ớ

ó ó, ta y

ó ó ó ớ ó

2 Cơ s thực tiễn y ớ ớ

y

Trong khi ó,

ớ

y ó

ó

ớ y

y, t

y y

9 y

y

ớ

y y

y

ớ

y ó y ó y

y y y y y y ớ

9”

II MỤC Đ CH NHIỆM VỤ, Đ I T NG NGHIÊN C VÀ PH NG PHÁP NGHIÊN C 1 M c ch nhiệm v nghiên c u y

ớ

:

- ó

ớ ớ

-

ó y

- y ớ

ó y

y ó

2 Đối tư ng nghiên c u y

y Phương pháp nghiên c u y :

- y y

-

-

- ng kê -

N I D NG

I M T S HỆ PH NG T NH C N C NG PH NG PHÁP GI I

C N NH

1 Hệ h i phương trình b c nh t h i n

Định ngh :

(1) ' ' ' (2)

Cách giải:

:

: ớ ớ

ó :

x

y

D x D D y D

T nh ch t: (x0; y0 (y0; x0

S 5 P 6, nên x, y :

   2 2 5 6 0 2 3 0 3 t t t t t t              Suy ra x y;   2; 3 x y;   3; 2  S  10 P 21, nên x, y :

   3 10 21 0 3 7 0 7 t t t t t t                Suy ra x y;    3; 7   x y;    7; 3   y ó : 2; 3 ; 3; 2 ;     3; 7 ;    7; 3   Hệ phương trình ối ng lo i h i Định ngh : y

y

y

T nh ch t: (x0; y0 (y0; x0

Cách giải thư ng dùng:

   .f , 0  0 f , 0 x y x y x y x y          ó ớ ó

V d :

3 3 1 2 (1)

1 2 (2)

x y y x         :

:

      3 3 2 2 2 2 2 2 2

2 0 3 0 ( 2 2 0 , ) 2 4 x y y x x y x xy y y x y x xy y x y x y y x                             V × Thay yx :

y y y n, phân tích thành tích, bình

ớ

y

ớ T ó

DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình b c nh t ối với n h y n y

y ó :  1; 0 ; 1; 1   

Nh n t:

V d 2: :

   2 2 2 1 1 3 4 1 (1)

1 (2)

             x y x y x x xy x x :

y x 0 ó 0; y Khi x 0 (2) ta có y 1 x2 1 x    y

:

          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 4 1

1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 2 2 1 1 1 1 5 2 x x x x x x x x x y x x x x x x y x x x y x x x x x x y x y x y x                                                                                   y ó :   5

1; 1 ; 2; .

2

   

Nh n t:

0; y ó ớ x 0 ó y 1 x2 1 x   

ớ

V d :

2 2 2 2 10 0 4 2 20 0 x y x x y x y             :

y y 7x 10 y ớ :

                                                              2 2 2 2 2 10 0

7 10 7 10 10 0 7 10 3 2 0 7 10 1 1 17 2 2 7 10 24 x y x y x x x x y x x x y x x x y x x y x y y ó :   1; 17 ;   2; 24   Nh n t:

V d 4:  

 







y x y 0

x y ví i ;  x0; y 0 hay  x0; y0

ớ xy0 xy0 ta :

1 0 1

4) 5) 6)

9 7)

y ó :                   

2 1 2 1 3 19 19 3 19 19 ; ; ; ; ; ; ; 3 3 3 3 19 19 19 19 Nh n t:

V d 2 :

2 2 2 2 2 5 2 0 (1)

(TS Chuyên Toán H 2011 2012) 4 0 (2)

x y xy y x x y x y                 - ng Yª n :

tr

   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 5 2 0

4 0 4 0 2 0 (a) 4 0 2 1 0 (b) 4 0 x y x y x y xy y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y                                                          G :

 2   2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 4 0 2 2 4 0 2 1 0 y x x y y x x y x y x y x x x x x x                                        (b):     2 2 2 2 2 2 1 0

4 0

1 1

4

13

x y

x y

x

  





    



 



 





 

              



  

y ú :   4 13

1; 1 ; ;

 

 

Nh n t:

-

:

    2 2 2 2 2 (1) 2 5 2 0 9 18 9 3 3 5 3 3 1 5 3 3 ; 2 4 2 4 1 *) Khi 2 1 thay vào (2) ta cú : 2 4 5 4 0 1; 5 x x y x y y y y y y y y y y x x y y x y x x x x                                               ph- ơng tr ình đ- ợ c Khi đ               2 4 13 ; 1; 1 ; ; 5 5 *) Khi 2 2 thay vào (2) ta cú : 2 2 1 0 1 ; 1; 1 ; 1; 1 x y x y y x x x x x y x y                          ó ta đ- ợ c nghiệm của hệ là Khi đó ta đ- ợ c nghiệm của hệ là Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là ; 4; 13 5 5            -

V d

2 2 2 2 1 (1)

(Thi 2011 2012) (2)

xy x y x y x y x y              HSG tỉnh H- ng Yê n năm học :

              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 *) : 0 (1) 1 0

 





Đ K

Ta có

      

0

1 1 0 1 0 ( 0 1 0) 1

1 2 0 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x                                             V ì nê n Thay vào pt (2) ta đ- ợ c: 1 h         2 ; 1; 0 ; 2; 3 x x y     oặc Từ đó suy ra hệ đã cho có 2 nghiệm Nh n t: -

-

:

                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 0 1 0 Do 0 nờn 0 xy x y x y xy x y xy xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y                                                              V d 4 2 4 2 5 4 2 7 x y xy x y         :

ớ :

   

x 4xy 4y x 2y 12

  

2 4 hoÆc 2 3

ó ó:

   



  





( )

( )

a

xy x y

b

xy x y

(a):





8y2  16y 11 0  ó     ' 24 0 y

(b):                                                          2 3 2 2 3

4 3 2 3 2 2 7 4 2 7 3 2 1 3 2 1 2

2 3 1 0 1 1 2 2 x y x y y y y y xy x y x y x y x y y x y y y y y ó 2 :   1

1; 1 ; 2; 2       Nh n t:

, tro

ÀI TẬP :

3 2 2 3 3 3 6 9 4 0 1) 2)

2

3

y

x





   

 

2

2 2

3) 4)

2 1 2 2 1 3 2 4 16 5) 6)

1 5(1 ) 2 8 2 7) 4 5(2 ) xy x y x y x y x y x y x y y x x y x y x y xy x y y x y x x y x y x y x y xy                                                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) ( 3) 4 8)

2 1 2 2 2 5 4 4 9) 10)

1 2 5 4 16 8 16 0 2 2 5 11)

5 7 x x y y y x x xy y x xy y y x y x x y x y x x y xy x y x xy y y xy x                                                         2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 12)

3 1 1 7 7 13) 14)

2 2 1 4 15) 1 1 2 x x y y x y x y x y x x y y x y x y x y y x x y x y x x y y y                                            2 Phương pháp t n ph

 ; ;  ; u f x y vg x y

ỉ

0 ỉ

V d 1 :

  2 2 2 2 1 4 2 7 2 x y xy y x y x y             (1)

(Thi HSG tØnh H­ ng Yªn n¨ m häc 2010­2011) y (2)

:

y x y;  ớ y

* Khi y0 y :

 

 

2

2 2

1

4

1

x

x y y

x

x y

y

    











2 1 x u y v x y          ó : 2 4 2 7 u v v u        :

  2 2 2 4 4 4 1 9 3 5 2 4 7 2 7 2 15 0 u v u v u v u u v v v v v u v v                                        hoÆc ớ 1 3 u v      y :

2 2 2 1 1 1 2 0 1 2 2 5 3 3 3 x x x y x x x y y y y x y x x y                                       hoÆc ớ 9 5 u v       y :

2 2 2 1 9 9 1 9 46 0 5 5 5 x y x x x y y x y x x y                              y 2

9 46 0 x  x  ó    103 0 

y ó : 1; 2 ;  2; 5  Nh n t: -

-

y 0

V d 2 :

             0 22 2 0 9 6 4 2 2 2 2 4 y x y x y y x x :

ớ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2) ( 3) 4 ( 2) 22 0 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x y x x y x                               2 2 3 x u y v        ó : 2 2 4 4( ) 8 u v u v u v         2

0 u v     

0 2 u v      :

2 3 x y      ; 2 3 x y       ; 2 5 x y       ; 2 5 x y        Nh n t: -

-

Tuy nhiên t 8

V d 3 :

 2 2   2 3 4 4 7 1 2 3 xy x y x y x x y                :

* : x y 0. * ớ :

        2 2 3 4 4 2 7 1 3 xy x y xy x y x y x y x y                      

 

 

 

2

2

2

3

1

3

1

1

3

x y

x y

x y

x y



 



 



*

1 ; 2 u x y u x y v x y             ó :  2  2 3 2 7 3 u v u v          * ớ u, v ó:  2  2 2 2 3 2 7 3 13 2 1 3 3 u v u v u v u v u v                      * y :

1 2 1 1 1 0 1 x y x y x x y x y y x y                          y ó y : 1.

0 x y      Nh n t:

 2

xy

V d 4 :

2 3 2 4 2 5 4

5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x                 (§ Ò tuyÓn sinh § ¹i häc khèi A n¨m 2008) :

ớ 2 2 2 2 5 ( ) 4 5 ( ) 4 x y xy x y xy x y xy               

2

  







5 4 5 4

    





   



ớ ó:

2

3 2

2

5 5 5 5 4 4 4 4 5 0 0; 4 4 5 1 3 ; 4 2 2 a ab b b a a b a a a a a a a a b b a a b                                                          ớ 0 5 4 a b        ,

3 2 2 3 3 10 0 2 5 5 100 4 4 4 x x y y x xy x y                           ớ 1 2 3 2 a b          :

2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 3 0 2 2 x x y y x y xy x x                             y ó : 310; 3100 ; 1; 3 2 4 2             Nh n t:

Ví d 5 Gi i h :

 2 1 1 4 3 3 2 2 x y x y x y x y              

:

* : x y 0 t x y t;  0. ó :

  

 

1 2

1

t

 

 

 

ó

2 1 3 2 3 1 2 2 6 x x y x y y                     y ó y : 2; 1 3 6        Nh n t: -

ỉ

-

ỉ

ÀI TẬP :

            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 1 4 1) 2) 1 2 1 4 15 2 4 3) 4) 1 1 3 85 3 2 1 5) x y x y y x y xy x y x y xy xy x y x y x y y x xy y x x x y x xy y x y y x y x y x                                                                  

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 6) 4 22 2 2 12 1 2 7) 8) 1 12 3 9) 7 x x y x x y y y x y y x y x y x y x y xy x x y xy y xy y x y x xy y x y x xy y x y                                                         

2 2 3 2 3 1 1 1 4 10) 1 4 x x y y x x x y y y                    

   

   

2 2

2 2

2 2

2 2

2

3

13 1

25

15)

y

y

x



2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 3 2 2 2 2 3 15 0 16) 2 2 3 0 2 4 5 0 1 2 1 1 17) 18) 1 3 2 4 1 2 19) 2 ( 1)( 2) 6 x y x y y x y x y x y x x y x y x y x y x y x xy x y x y x y xy x y x y                                                         

 2 1 1 4 3 20) 3 2 2 x y x y x y x y                    3 Phương pháp ánh giá ớ y

ó ó

y ớ y

ớ

ớ y ó y V d 1  2

1 4 1 3 2 8 z x y z x             :

ó:

 

2

1

1

  ó: z     3 0 z 3

Thay x 4, z  3 y 4.

y ó y : x y z; ;   4; 4; 3  

Nh n t:

-

- :

:

 2  2 8 2 0 4 3 8 2 3 8 2 4 8 2 1 1 x x z x z x z x                         :

    2 2 1 1 0 1 x y   xy   x y   Thay x y z  3 Thay z  3 x y 4. : x y z; ;   4; 4; 3   V d 2  2

2 2 2 1 1 1 2 y x z y x y y             :

: y 1

ó:

 2 2

1

y

Suy ra:

 

 

2 2

2 2

1

1 1

1

y

y

 



 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Thay y 1 ó 2

x    x