Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi ét đảo vào giải hệ phương trình – chương trình đại số 9

Trong những năm trở lại đây, trong các đề thi học sinh giỏi toán và các đề thivào lớp 10 PTTH chuyên, trong các đề thi các bài toán giải hệ phương trình chiếmmột tỉ lệ không nhỏ và định

- Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu

1

hành thí nghiệm Đối với môn toán, việc giải toán được xem là một hình thức vậndụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể giải toánmôn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rènluyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiếnthức mới Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổchức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từthấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy họctích cực

Trong những năm trở lại đây, trong các đề thi học sinh giỏi toán và các đề thivào lớp 10 PTTH chuyên, trong các đề thi các bài toán giải hệ phương trình chiếmmột tỉ lệ không nhỏ và định lý Viét đảo là công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều hệphương trình Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáokhoa chưa đề nhiều, lượng bài tập chưa đa dạng làm cho học sinh gặp không ít khókhăn việc tìm ra cách giải sao cho hiệu quả

Vì thế là một giáo viên nhiều năm dạy và ôn luyện đội tuyến toán, thấy đượctác dụng tích cực của việc ứng dụng hệ thức vi –ét vào giải hệ phương trình nên tôi

quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9” Đồng

thời, qua đó giúp bản thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sungkiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cáchgiải khác, Nhằm giúp nâng cao hiệu quả của việc dạy học sau này

- Mục đích nghiên cứu

Nâng cao khả năng giải toán, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo củahọc sinh Từ đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và phát hiện nguồnhọc sinh giỏi cho các lớp trên

- Đối tượng nghiên cứu:

Phát triển năng lực tư duy cho các đối tượng học sinh lớp 9 thông qua một sốbài toán vận dụng hệ thức Vi-ét đảo vào giải hệ phương trình

- Phương pháp nghiên cứu:

Tham khảo thu thập tài liệu

Phân tích tổng hợp kinh nghiệm

Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo racon người có trí tuệ phát triển, giàu tính tư duy sáng tạo Để đạt được mục tiêu đómỗi chúng ta phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học

sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, khắc phục lối truyền thụ

một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp

dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dànhthời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, phương pháp giáo dục phải phát huytính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểmcủa từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác độngđến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.

Bài tập về phương trình và hệ phương trình rất đa dạng và phong phú, để giảiđược học sinh cần có kỹ năng tốt, biết nhiều phương pháp và cách vận dụng Tạonền tảng kiến thức cơ bản để học sinh lấy đó làm tiền đề và tiếp tục hoàn thiện khihọc sang THPT

Trang bị cho học sinh kỹ năng vận dụng hệ thức Vi-ét đảo để giải hệ phươngtrình, giải đề thi vào lớp 10 có nội dung liên quan đến hệ thức Vi-ét đảo

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Về phía giáo viên: Hầu hết được đào tạo chính qui, được phân công giảng

dạy đúng chuyên môn, nhiệt tình trong công việc Tuy vậy đại đa số giáo viên dạyđều theo chương trình sách giáo khoa, việc tổng hợp các dạng bài và phương pháplàm thành một hệ thống để học sinh dễ học, dễ nhớ không phải là giáo viên nàocũng làm được Đối với đại trà thì việc giảng dạy theo chương trình sách giáo khoa

là coi như đạt yêu cầu nhưng đối với công việc bồi dưỡng học sinh giỏi thì việctrang bị kiến thức không theo dạng bài và phương pháp làm kèm theo là chưa đảm

bảo được yêu cầu

Về phía học sinh: Đa số học sinh đều ngoan ngoãn, có ý thức học, có ý thức

phấn đấu vươn lên Tuy nhiên do năng lực có hạn nên về kiến thức sức tiếp thu cònchậm, chưa thấy hết được tính đặc trưng, ưu việt của phương pháp giải Đổi lại nếuhọc sinh có nền tảng kiến thức tốt thì hoàn toàn có thể nắm vững được phươngpháp tạo tiền đề vững chắc để học toán ở trường THPT

Trong quá trình dạy toán ở các trường THCS tôi nhận thấy kiến thức và kỹnăng về vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình và giải hệ phương trình là nềntảng trong chương trình toán THCS và được hoàn thiện trong chương trình toánTHPT

Nội dung đề tài trên đã được tôi nghiên cứu và triển khai trong nhiều nămgiảng dạy toán 9, mỗi lần áp dụng xong đều tiến hành rút kinh nghiệm, có chỉnhsửa và bổ xung thêm tính mới

Chính vì vậy đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9 ” có thểcoi là tài liệu để học sinh và giáo viên tham khảo trong công tác giảng dạy môntoán khối 9, bồi dưỡng thi vào 10

Giới hạn của đề tại: Hệ phương trình là một chuyên đề hay và rất cần thiếtcho học sinh THCS và THPT vì nó giúp học sinh phát triển tư duy toán học như kỹ

năng tính toán, biến đổi, kỹ năng giải phương trình và đặc biệt kỹ năng đặt ẩn phụ,

áp dụng hệ thức Viét … vào giải hệ phương trình, chuyên đề này tương đối rộngnhưng do cấu trúc của đề tài không cho phép nên trong nội dung đề tài này tôi chỉđưa ra phương pháp giải hệ phương trình ở dạng đối xứng loại I, còn những dạng

hệ phương trình đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp loại I, loại II… sẽ trìnhbày trong các đề tài sau

với các hệ số a,b,c Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu

một số ứng dụng của định lí này trong giải toán

 thì được gọi là hệ đối xứng loại I

Phương pháp giải chung

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng

Viét đảo tìm x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (định lý Viét đảo)

ẩn phụ

4 Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo mrồi từ điều kiện

(*) tìm m

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chínhxác điều kiện u, v

II Bài tập:

Loại 1: Biến đổi và đặt x + y = S; xy = P

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 2 2

11 30

Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I

Sau đó gợi ý cho hs biết được cách biến đổi để đặt x + y = S và xy = P

Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y

* Với S = 6, P = 5 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 6X + 5 = 0

Giải ra ta được (x;y) = (1;5), (5;1) là nhiệm của hpt

* Với S = 5, P = 6 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 5X + 6 = 0

Giải ra ta được (x;y) = (2;3), (3;2) là nhiệm của hpt

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 5(3xy x y x y ) 2 xy3519

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-3;4), (4;-3)

Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 2 2

10 58

* Với S = 10, P = 21 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 10X + 21 = 0

Giải ra ta được (x;y) = (7;3), (3;7) là nhiệm của hpt

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

2 2 25 12

x y xy

Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I

Sau đó gợi ý cho hs biết được cách biến đổi để đặt x + y = S và xy = P

Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y

S P P





 Suy ra S = 7 hoặc S = -7

* Với S = 7, P = 12 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 7X + 12 = 0

Giải ra ta được (x;y) = (4;3), (3;4) là nhiệm của hpt

* Với S = -7, P = 12 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 + 7X + 12 = 0

Giải ra ta được (x;y) = (-4;-3), (-3;-4) là nhiệm của hpt

Bài 5: Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

7 8

* Với S = 3; P = 2 khí đó x, y là nghiệm của pt: X2 – 3X + 2 = 0

Giải ra ta được (x,y) = (1;2), (2;1) là nhiệm của hpt

* Với S = -2; P = -3 khí đó x, y là nghiệm của pt: X2 + 2X - 3 = 0

Giải ra ta được (x,y) = (1;-3), (-3;1) là nhiệm của hpt

Bài 6: Giải hệ phương trình sau:

2 2 7 5

1 2

X  X    X  X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2;3), (3; 2)

Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 3 3 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-1;3), (3; -1)

Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 2 2 5

Hướng dẫn:

2 2

Bài 9: Giải hệ phương trình sau:  

2 2

3 3

3 9

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (0; 3); (3; 0); (3; 3), (0; 0)

Bài 10: Giải hệ phương trình sau:

10 5 2

x y xy

+) Với S1 = 5; P1 = 6  Nghiệm là (2, 3); (3, 2).

+) Với S2 = -10; P1 = 21  Nghiệm là (-3, -7); (-7, -3)

Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3)

Bài 12: Giải hệ phương trình

2 2

3 3

30 35

xy xy

do đó

2 2 2 2

1 (1;2),( 1; 2),(1; 2),( 1; 2) 4

4 2;1),(2; 1 , 2;1 , 2; 1 1

x y x y

Loại 2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1.

Bài 16: Giải hệ phương trình

u u

12

9 - 5

12

x x

II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từđiều kiện (*) tìm m

Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính

xác điều kiện u, v

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x y3 3 2

8 3

6

S S

Vậy với m  2 thì hệ phương trình có nghiệm

Bài 22: Cho hệ phương trình

Vậy x, y là nghiệm của pt X2 - 6X + 5 = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ;y)=(-5;-1) ;(-1 ;-5)

36 6

Vậy x, y là nghiệm của pt t2 - 6t + 362 m = 0

Phương trình vô nghiệm khi  ' < 0  m < 36

Vậy hệ phương trình vô nghiêm khi m < 36

c Phương trình có nghiệm duy nhất khi  '= 0  m = 36

Vậy hệ phương trình vô nghiêm khi m = 36

Bài 23: Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

2 2

y x

a Giải hệ phương trình khi m = 5.

b Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

a Giải hệ phương trình khi m = 2.

b Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.

2.Tồn tại

2.1.Giáo viên thực hiện việc giảng dạy loại bài tập này tương đối khó đặcbiệt với học sinh đại trà vì bài tập đòi hỏi sự kĩ năng biến đổi phân tích, đánh giátổng hợp cao

2.2.Học sinh

Kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh chưa cao

Học sinh thường mắc một số sai lầm trong quá trình biến đổi

3 Kết quả thông qua số liệu.

Sau khi đã áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, trong 3 năm học 2015; 2015-2016; 2016-2017 tôi cho 25 học sinh lớp 9B của trường THCS ThịTrấn Cành Nàng làm bài kiểm tra về dạng toán này thì kết quả đạt được như sau:

Kết qủa

Năm

Số lượng

Giỏi Khá Trung bình Yếu - kém

- 2015 có 3 học sinh đạt giải KK; năm 2015 - 2016 có 3 học sinh đạt giải trong đó 1giải Ba; 2 giải KK; năm 2016 - 2017 có học đạt giải nhất toán tỉnh và trong cuộc thitìm kiếm tài năng toán học trẻ toàn quốc đạt huy chương Vàng là 1/6 em đạt Huychương vàng của toàn quốc dành cho học sinh khối 9, là học sinh duy nhất của tỉnhThanh Hóa và đang được tham gia vào đội tuyển dự thi tại Singapore vào tháng sáutới

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Hoàng Xuân Thìn

Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Thị Trấn Cành Nàng

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1.

Phát triển tư duy cho học sinh giỏi

Toán thông qua bài toán chứng

minh bất đẳng thức

– 2006

2

phát triển tư duy cho HS từ bài

toán hình quen thuộc đến bài toán

hình hay và khó

– 2009

3

Phát triển tư duy cho học sinh lớp

thông qua việc kẻ đường phụ trong

hình học lớp 7

– 2012

4

Một số kinh nghiệm giúp HS rèn

luyện kỹ năng giải toán trên Máy

tính Casio

– 2015

5

Phát triển tư duy cho học sinh

thông qua việc ứng dụng hệ thức

vi-ét đảo vào giải hệ phương trình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa đại số 9 – Nhà xuất bản giáo dục

2 23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhà xuất bản giáo dục

3 Phương trình bậc hai & một số ứng dụng - Nhà xuất bản giáo dục

4 Phương trình & hệ phương trình không mẫu mực - Nhà xuất bản giáo dục

5 Lời giải các đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 chuyên toán các tỉnh một số

năm – Siêu tầm và tham khảo trên mạng Internet.

PHẦN III KẾT LUẬN

1 Kết luận

Trên đây chỉ là một số dạng bài tập cơ bản và thường gặp khi vận dụng hệthức Vi-ét đảo đề giải phương trình bậc hai Dựa trên cơ sở lý luận, thực tiễn và yêucầu kiến thức, vận dụng Tôi đã mạnh dạn đưa ra phương pháp giải nhằm trang bịcho học sinh cơ sở ban đầu về cách vận dụng hệ thức Vi-ét đảo từ đó tạo nền móngcho học sinh phát triển các bài tập giải hệ phương trình bậc hai chứa tham số ở mức

độ cao hơn và ở các lớp sau như hệ phương trình đối xứng laoị II, hệ phương trìnhđẳng cấp loại I, loại II Hơn nữa đề tài sáng kiến kinh nghiệm này còn nâng tầm tưduy cho học sinh củng cố niềm tin, có ý trí vươn lên trong học tập

Xong do phạm vi và giới hạn nên những vấn đề tôi đưa ra trên đây mới ởdạng hệ phương trình đối xứng loại I, trong chương trình ôn thi HSG cấp tỉnh cònmột số hệ phương trình không mẫu mực khác hy vọng các đè tài sau tôi sẽ đề cậptiếp Tuy nhiên với kinh nghiệm ôn luyện của bản thân nên đề tài tôi trình bày ởđây không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng gópcủa các thầy cô để vấn đề được hoàn thiện hơn

Bá Thước, ngày 28 tháng 04 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT

Hoàng Xuân Thìn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC

BÁ THƯỚC, NĂM 2017