SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số trong thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TƯ DUY HÀM SỐ GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG THI TR

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TƯ DUY HÀM SỐ GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG THI TRẮC NGHIỆM

Người thực hiện: Lê Văn Lâm

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC Trang

1.1 Lí do chọn đề tài 011.2 Mục đích nghiên cứu 011.3 Đối tượng nghiên cứu 021.4 Phương pháp nghiên cứu 02

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 032.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 03

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 042.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 042.3.1 Mục tiêu của giải pháp 042.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 04

2 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu

hỏi cơ bản

2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên

2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số

2.3.2.4 GP4: Hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa

bảng biến thiên và đồ thị hàm số

2.3.2.5GP5: Hướng dẫn học sinh xây dựng “sự tương ứng”

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, 17

đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán họcphổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây làmột vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trongcác đề thi Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng vàphong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng tacũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán Do sự đa dạng về dạng toán,phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên họcsinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ Vì vậy,nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ savào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phươngpháp

Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà

đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập phương trình, bất

phương trình chứa tham số là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong

các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Tuy nhiên cácnội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá

đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan

(TNKQ) Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình

thà-nh dạng toán và phương pháp giải toán cho học sithà-nh

Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương

pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất

phương trình chứa tham sô Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi

muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “ giải nhanh bài toán phương

trình, bất phương trình chứa tham số” theo hướng TNKQ.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bịcho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình chứa tham số cũng như

các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh sử dụng

tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số trong thi trắc nghiệm ” Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải

toán phương trình, bất phương trình chứa tham số của học sinh trường THPTHoằng Hóa 3

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình chứa tham số Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình chứa tham số

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề

Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh

Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài

Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.1 Câu hỏi cơ bản phương trình, bất phương trình có chứa tham số

- Bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số ta thường gặp các câu hỏi dạng sau:

D1: Điều kiện về số nghiệm của phương trình f x , m 0 trên K .

CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x , m 0 có

nghiệm trên K .

CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x , m 0 có đúng k

nghiệm trên K .

CH3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x , m 0 có ít nhất

(nhiều nhất) k nghiệm trên K .

D2: Điều kiện về tính chất nghiệm của phương trình f x , m 0 trên K .

CH1: Tính chất về hệ thức nghiệm

CH2: Tính chất về điều kiện nghiệm

D3: Điều kiện về nghiệm của bất phương trình f x , m 0 trên K .

CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f x , m 0 có

nghiệm trên K .

CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f x , m 0

nghiệm đúng với mọi x K.

D4: Bài toán dạng kết hợp

CH1: Kết hợp bảng biến thiên hàm số

CH2: Kết hợp đồ thị hàm số

CH3: Kết hợp giao điểm các đồ thị

2.1.2 Tư duy hàm số giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số

- Tư duy hàm số giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các cách tiếp cận cơ bản sau:

* Cách tiếp cận 1: Dùng tính chất hàm đặc trưng

* Cách tiếp cận 2: Dùng bảng biến thiên

Cô lập tham số m , đưa bài toán về việc lập bảng biến thiên hàm số Căn cứ vào bảng biến thiên để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể

Giả sử hàm số y f x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt

là M và N Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g m , ta có:

+ Phương trình f x g m có nghiệm trên D N g m M

+ Bất phương trình f x g m có nghiệm trên D g m M

+ Bất phương trình f x g m có nghiệm với mọi x D g m N

Trong trang này: Mục 2.1.1 và 2.1.2 tác giả tự viết và tổng hợp.

* Cách tiếp cận 3: Dùng đồ thị hàm số

Trong các bài toán đồ thị cho trước hoặc phải sử dụng biến đổi đồ thị thì chúng

ta sẽ chuyển về bài toán giao điểm hình học

Căn cứ vào đồ thị để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2.2 Khó khăn:

Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tưcách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vìvậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực

để vượt qua

Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khốilượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thểphân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giảibài toán

Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưathực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh Do đó hiệu quả

học và giải toán chưa cao.

Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng

nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất

phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp

Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình chứa tham số

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi cơ bản

Việc hướng dẫn học sinh giải các dạng câu hỏi cơ bản về phương trình, bất phương trình chứa tham số là rất quan trọng Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.

Trong trang này: Mục 2.2 tác giả tự viết Mục 2.3.1 ; 2.3.2 tác giả tự viết và tổng hợp.

Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 15 để

phương trình 2 x m x 1 có nghiệm

A 15

B 14 C 18. D.19 [1]

Tư duy: Đây là phương trình chứa căn bậc hai dạng cơ bản đã có cách giải chi

tiết Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của phương trình

để tránh sai lầm Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nghiệm.

Lời giải

Ta có: 2 x m x 1 2

2 x m x 1 m x 2 4 x 1

Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt m x24 x1 có nghiệm x1 Bằng

phương pháp bảng biến thiên ta thu được m1

Kết hợp yêu cầu bài toán, có 15 giá trị nguyên của tham số m

Do đó chọn đáp án A

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :

Sai lầm 1: Không đặt điều kiện xác định cho phương trình

Đến đây học sinh xét phương trình x 2 4 x 1 m 0 có hai nghiệm phân biệt

hoặc nghiệm kép thỏa mãn x m .

2

Đây là cách giải làm phức tạp bài toán ban đầu

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 200 đểphương trình m x26 x7 có đúng 2 nghiệm phân biệt

A 185 B 186 C.188 D.187

Tư duy: Đây là phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản Việc giải phương

trình này cần chú ý lựa chọn hướng xử lí phù hợp để tránh làm phức tạp bài

toán Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Nhận xét: Số nghiệm phương trình đã cho tương ứng với số giao điểm của

đường thẳng d:y m và đồ thị hàm số : y x 2 6 x 7 .

Trong trang này: Ví dụ 1 được tham khảo từ TLTK số [1] ; Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Bằng phương pháp bảng biến thiên hoặc đồ thị ta thu được: m0;16 m

Khi đó có 186 giá trị tham số Do đó chọn đáp án B

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :

Biến đổi làm phức tạp bài toán

m x 2 6 x 7 x 26 x 7 m x 26 x 7 m 0

x 2 6 x 7 m x 2 6 x 7 m 0

Lúc này học sinh gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi biện luận số nghiệm cũng như không để ý đến điều kiện m0

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình

x 1 3m 2x2 1 nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x

A m 2 B m 6 C. 2 m 6 D m 2 [1]

Tư duy: Đây là bất phương trình dạng cơ bản Việc giải bất phương trình này

cần chú ý đến yêu cầu nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x để tránh sai lầm

Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.

Lời giải

Ta có: x 1 3m 2x 2

1 x 1 3m 1

2x2 1

Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số [2] .

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi

không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không hoặc nhầm điều kiện giải toán

dẫn đến chọn phương án sai

Sai lầm 1: Không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không

Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình 1 nghiệm đúng với mọi giá trị thựccủa x khi và chỉ khi: 3m 2 1 m 6 2 Dẫn đến chọn đáp án sai: A

Sai lầm 2: Nhầm điều kiện giải toán

+ Nhầm điều kiện : 3m 2 6 m 6 6 Dẫn đến chọn đáp án sai: B

+ Nhầm điều kiện : 2 2 3m 2 662 m 66 Chọn đáp án sai: C

2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên

Một đặc trưng thường gặp của tư duy hàm số là việc thể hiện bảng biến thiên của hàm số Thông qua bảng biến thiên của hàm số ta đọc và khai thác được nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình Để giải nhanh cần hướng dẫn và rèn kĩ năng lập bảng biến

thiên, đọc bảng biến thiên, xử lí và khai thác bảng biến thiên cho học sinh để tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.

Ví dụ 4 Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

m 1 x 1 x 3 2 1 x2 5 0 có đúng hai nghiệm phân biệt

là một nửa khoảng a;b Tính b 5 a

7

A. 6 5 2 B 6 5 2 C. 12 5 2 D 1252 [2]

Tư duy:

Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Giải toán cơ bản: Đếm nghiệm thông qua phép ẩn phụ.

Do đó phải có 2 bảng biến thiên: Cho ẩn phụ và cho phương trình

+

-Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Điều kiện của t Số giá trị x thỏa mãn

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:

+ Không đặt ẩn phụ mà xét trực tiếp hàm số nên gặp khó khăn để xử lí được bảng biến thiên

+ Khi đặt ẩn phụ chưa “ đếm được sự tương ứng giữa t và x ” nên gặp khó khăn

khi xử lí yêu cầu bài toán

Trong trang này: Lời giải được tham khảo từ TLTK số [2]

Ví dụ 5 Cho hàm số u x liên tục trên đoạn 0;5 và có bảng biến thiên nhưhình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên m bé hơn 20 để bất phương trình

3x 10 2x m.u x có nghiệm trên đoạn 0;5 ?

Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình có nghiệm trên K.

Giải toán cơ bản: Cô lập tham số và sử dụng min, max của hàm số

Lời giải

Theo bảng biến thiên ta có trên 0;5 thì 1 u x 4 1 ,

Trong trang này:Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số [3].

BPt : 3x 10 2x m.u x có nghiệm trên đoạn 0;5

3x 10 2x m có nghiệm trên đoạn 0;5 10 m

Kết hợp m nguyên bé hơn 20 nên có 20 giá trị m Do đó chọn đáp án C.

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:

+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số u x đã cho để giải toán

+ Chưa hình dung được sự “ đồng nhất dấu bằng xảy ra ” tại giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất của các hàm u x , f x

Nguyên nhân là chưa có kĩ năng khai thác bảng biến thiên của hàm ẩn u x

Ví dụ 6 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

Với các giá trị thực của tham số m , phương trình f x m 0 có nhiều nhất

bao nhiêu nghiệm?

Tư duy:

Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên K.

Giải toán cơ bản: Xử lí bảng biến thiên.

Trong trang này:Ví dụ 6 được tham khảo từ TLTK số [3]

Phương trình f x m 0 có nhiều nghiệm nhất Các phương trình

x t1 m và x t 2 m không có nghiệm chung và mỗi phương trình có hai

nghiệm phân biệt m t1 Do đó chọn đáp án A

Nhận xét: Trên các nhóm giải toán trên mạng có lời giải sai như sau:

Đặt g x f x m Ta có g x x m f x m x f x m

x

không xác định tại x 0 và x x m 1suy ra

g x đổi dấu tối đa 5 lần Suy ra g x 0 có tối đa 6 nghiệm.

Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:

+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số f x đã cho để giải toán.

+ Việc xử lí hàm hợp f x m và yêu cầu nhiều nghiệm nhất làm học sinh lúng

túng

2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số

Với bài thi trắc nghiệm sẽ có dạng câu hỏi “xử lí hình ảnh cho trước” mà đồ thị hàm số là một điển hình Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan của hàm số,thông qua đồ thị của hàm số ta đọc và khai thác được nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình Để giải

nhanh cần hướng dẫn và rèn kĩ năng vẽ đồ thị , đọc đồ thị , xử lí và khai thác

đồ thị

cho học sinh để tăng khả năng phát hiện

TNKQ.

Ví dụ 7 Cho hàm số bậc bốn trùng phương

y f x có đồ thị như hình vẽ bên Tìm giá trị

của tham số m để phương trình

f x 1 m có 6 nghiệm phân biệt

xử lí hình ảnh đã cho để giải nhanh bài toán.

Ví dụ 8 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên Có

bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình

f x 2 2 20 m có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

Tư duy:

Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng k nghiệm trên K.

Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị cho trước.

Lời giải

Cách 1: Phương pháp biến đổi đồ thị

y 42

1 O 1 x

và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán

13

+ Tịnh tiến đồ thị y f x theo vectơ u 2;0 ta được đồ thị hàm số

Pt f x 2 2 20 m có đúng hai nghiệm phân biệt 20 m 2 m 18

Kết hợp m là số tự nhiên ta được 19 giá trị m

Do đó chọn đáp án B

Cách 2: Phương pháp thử giá trị M 1;4 , N 1;0 và đi

Nhận thấy đồ thị có dạng bậc ba có hai điểm cực trị là

qua E 0;2 nên tìm được f x x 3 3x 2 f x 2 2 x 3 6x 2 9x 6

Trong trang này:Ví dụ 8 được tham khảo từ TLTK số [2]

Nhận xét

Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí biến đổi đồ thị.

Tuy nhiên sau khi trải nghiệm học sinh nhận thấy được bản chất của phép tịnhtiến đồ thị và hiểu các bước giải toán

Một số học sinh sử dụng cách giải 2 cũng cho kết quả, tuy nhiên nó cũng là dựđoán kiểu trắc nghiệm