Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

Tuy nhiên,các em chỉ được biết giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số; trong khi các bài giải hệ phương trình trong đề thi họcsinh giỏi

MỤC LỤC

1 Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2 1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2-3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 4-5 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để thực hiện vấn đề 5-16 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16-17 3 Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

4 Tài liệu tham khảo 20

1 - MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, làmôn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác như Lý, Hóa, Sinh,Văn…Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phươngpháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệthống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đứctính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, cấp huyện như hiện nay thìmột phần chương trình không thể thiếu được đó là giải hệ phương trình Tuy nhiên,các em chỉ được biết giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

và phương pháp cộng đại số; trong khi các bài giải hệ phương trình trong đề thi họcsinh giỏi thì không phải như vậy Vậy làm thế nào mà vận dụng hai quy tắc thế và quytắc cộng đại số để có thể giải được các bài hệ phương trình khó trong đề thi học sinhgiỏi? Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã sử dụng một số kĩ thuật vận dụnghai quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình, tôi thấy có hiệu quả

nên mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một

số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ”

để đồng nghiệp tham khảo

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra tri thức phương pháp trong việc vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại

số để giải hệ phương trình để giáo viên và học sinh khá, giỏi được tiếp cận với các kĩthuật giải hệ phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Là toàn bộ lớp đội tuyển môn Toán năm 2016 - 2017 do bản thân phụ trách đượctuyển chọn từ các trường THCS khác trong Huyện với sỉ số 35 em

- Quy tắc thế và quy tắc cộng đại số; các hệ phương trình đại số bậc hai, bậc ba

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu nhập thông tin : Để hoànthành tốt đề tài tôi đã sử dụng kết hợp việc nghiên cứu các tài liệu đã xuất bản dànhcho học sinh giỏi lớp 9, các đề thi HSG lớp 9 các tinh, các trang mạng toán học

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Thu thập thông tin từ giáo viên trực tiếpgiảng dạy môn Toán lớp 9 ở các trường trong cùng huyện hoặc ngoài huyện và từnhững học sinh trực tiếp tham gia lớp đội tuyển do bản thân trực tiếp phụ trách

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đề tài làm đề kiểmtra theo chuẩn kiến thức kĩ năng để đánh giá tính hiệu quả đối với việc vận dụng kiếnthức phần hệ phương trình Từ đó sửa đổi bổ sung và hoàn thiện những thiếu sót của

đề tài

- Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý thông tin, đánh giá kết quảthực nghiệm sư phạm So sánh kết quả đạt được trước và sau áp dụng đề tài

2 - NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Quy tắc thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kỉa rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn )

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong

hệ ( phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Học sinh lớp 9 chỉ được cung cấp kiến thức về quy tắc thế, quy tắc cộng đại số

để áp dụng giải các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nên khi các em gặp hệ haiphương trình không phải là bậc nhất nữa thì các em sẽ gặp khó khăn trong việc ápdụng quy tắc, khó khăn trong việc trình bày lời giải hoặc thậm chí là không biết địnhhướng tư duy

- Để đánh giá thực trạng của học sinh trong việc giải hệ phương trình tôi tiếnhành kiểm tra đối với 35 học sinh được chọn vào vòng 1 đi thi tỉnh môn toán lớp 9năm học 2016-2017 Đề bài

Bài 1 (5 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

Bài 2(5 điểm): Giải các hệ phương trình sau

Điểm dưới 5 Điểm 5 – 7,5 Điểm 7,75 – 8,75 Điểm 9 – 10

Từ thực trạng trên tôi thấy các em chưa có kĩ năng vận dụng quy tắc thế và quytắc cộng đại số trong việc giải hệ hai phương trình không chứa phương trình bậc nhất

Để giúp các em học sinh khá giỏi học tốt hơn trong việc giải hệ phương trình, tôi đã

hướng dẫn các em “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ”

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong quá trình ôn tập và giảng dạy phần giải hệ phương trình tôi đã hướng dẫn

cho học sinh một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phươngpháp cộng đại số như sau:

2.3.1 Kĩ thuật biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại hoặc một biểu thức chứa ẩn theo

các ẩn

Bài 1 Giải hpt (VN math.com)

GiảiVới y=1 hpt vô nghiệm

Với

Với

Vậy hpt có 2 nghiệm

Lời bình: Trong bài này ta đã biểu diễn được ẩn x theo một biểu thức của ẩn y

Vì biểu thức đó có dạng phân thức nên ta phải xét trường hợp mẫu thức bằng 0 và trường hợp mẫu thức khác 0

Bài 2 Giải hệ phương trình

Giải thay vào pt(2) ta được

Với x=-y hpt trở thành hpt vô nghiệm

Với

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-2 ;-1)

Lời bình: Trong phương trình (2) có chứa biểu thức nên gợi ý cho ta có thểthế biểu thức này bởi tích xy được rút ra từ phương trình (1) Bài này ta có thể giải bằng phương pháp cộng đại số sẽ được trình bày trong bài 11 Các bài tập 3,4,5,6

cũng được trình bày theo kĩ thuật này tuy nhiên biểu thức dùng để thế khó phát hiện hơn, phải qua việc biến đổi phương trình ta mới rút ra được

Bài 3: Giải hệ phương trình (VNmath.com-Đặng Thành Nam)

GiảiVới y= -1 hệ phương trình vô nghiệm

Vì x=-2 không là nghiệm của hpt nên với

Thay vào pt(2) ta được

Hệ phương trình đã cho tương đương với

Thay vào pt(1) ta được

Thay vào pt(2) ta được

Với

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-1;-1)

Bài 6 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2011-2012)

GiảiĐiều kiện

Vì x =2 không là nghiệm hpt nên thay vào pt(2) ta được

Vậy hpt có 2 nghiệm

2.3.2 Kĩ thuật thế hằng số

Bài 7 Giải hệ phương trình

Giải thế vào pt(1) ta được

Vậy hpt có 2 nghiệm

Lời bình: Vai trò của hằng số 7 trong hai phương trình của hệ là mấu chốt để giúp ta giải được hệ phương trình này Ta biểu diễn hằng số theo các biến từ một phương trình của hệ rồi thế vào phương trình còn lại sẽ giúp ta giải được hệ này Kĩ thuật thế hằng số không chỉ áp dụng cho việc giải hệ phương trình mà còn giúp ta giải được một số dạng toán khác nữa

Bài 8 Giải hpt

Giải thay vào pt(1) ta được

Với x=y thay vào pt(2) ta được pt vô nghiệm

Với x=-5 thay vào pt(2) ta được pt vô nghiệm

Với x=3 thay vào pt(2) ta được

Vậy hpt có 2 nghiệm

Bài 9 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2014-2015)

GiảiVới x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình

Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại

Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với

Thay (1) vào (2) ta được

(1)(2)

Ta có :

Phương trình có nghiệm

Với x=-2y-1 thay vào (2) ta được

Với x=-2y-2 thay vào (2) ta được

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm

Lời bình : Câu hỏi đặt ra là hệ số 2 được nhân vào phương trình (2) được tìm ra bằng cách nào ? Ta xét hệ phương trình dạng

Hệ phương trình này giải được khi ta tìm được một hệ thức giữa x và y từ một phươngtrình trong hệ Vì mỗi phương trình trong hệ là phương trình bậc hai nên ta thường nghĩ đến có dạng A2 Nhưng nếu cả 2 phương trình mà biệt thức không

có dạng chính phương thì ta phải làm thế nào ? Lúc này ta phải tìm số k sao cho

phương trình pt(1)+k.pt(2)=0 có dạng chính phương

Đặt

Kết hợp với sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm được số k Ta thấy rằng phương pháp này rất mạnh giải quyết được một lớp các hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn

Bài 11 Giải hệ phương trình:

Ta có

Phương trình có nghiệm x=-2 hoặc x=-y

Lúc này ta dễ dàng giải được hệ phương trình đã cho

Bài 12: Giải hệ phương trình (Vnmath- Đặng Thành Nam)

Phân tích

Ta sẽ chọn các số bằng việc đồng nhất hệ số

Vậy ta đi đến lời giải bài toán

Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) ta được

Thế (3) vào phương trình(2) của hệ ta được

Với

Với

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3;-2), (2;-3)

Lời bình: Bài này bậc của các biến x, y là như nhau; các biến x, y độc lập với nhau; bậc của pt(1) lớn hơn bậc của pt(2) Vậy ta sẽ tìm số k sao cho phương trình Pt(1)+k.Pt(2) có dạng Cách tìm hệ số k được trình bày như ở trên Bài 13 sauđây cũng được giải theo cách này

Bài 13: Giải hệ phương trình

GiảiLấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được

Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được

Vậy nghiệm của hệ là (3;4) ; (4;3)

Bài 14 Giải hệ phương trình

GiảiLời bình: Bài này ta không thể giải theo phương pháp trên được vì bậc cao nhât của x

và y khác nhau, phương trình (2) có không chính phương nên không phân tích được thành nhân tử Vậy ta sẽ đi tìm x để hai phương trình tương đương

Nếu x = -1 thì

(x+1)2(x - 2) = 0 x = -1 hoặc x = 2

Với nghiệm (x ; y ) của hệ là

Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là  và

Lời bình :Sau khi đổi biến thì hệ phương trình đã cho trở thành hệ đối xứng loại 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

Điểm dưới 5 Điểm 5 – 7,5 Điểm 7,75 – 8,75 Điểm 9 – 10

Đề bài này khó hơn đề bài khảo sát trước khi các em được học « một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số » nhưngkết qủa khảo sát cho thấy số lượng học sinh được điểm từ 7,75 đến 10 là cao hơn hẳn,đặc biệt có 5 học sinh đạt từ điểm 9 đến 10 Điều này cho thấy các em học sinh đã

nắm bắt được tri thức phương pháp của sáng kiến và biết vận dụng sáng tạo trong việcgiải hệ phương trình.

Trong năm học 2016-2017 tôi được phân công phụ trách bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi đi thi tỉnh môn Toán khối lớp 9,tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này trongcông tác dạy đội tuyển và đã giúp các em có nhiều chuyển biến tích cực trong tư duy ,trong cách học, cách tiếp cận kiến thức,tạo được hứng thú trong học tập và các

em có thể sáng tạo các bài toán mới

3 – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận :

Trong quá trình dạy học của bản thân, tôi đã rút ra được một vài kĩ thuật khi

dạy phần hệ phương trình Điều này giúp cho học sinh khá giỏi thấy được vai trò quantrọng của các quy tắc thế và quy tắc cộng đại số trong việc không chỉ giải các hệ hai

phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn giải được hệ hai phương trình bậc hai tổng quát

và một số hệ bậc ba khác Và tôi nhận thấy rằng khi các em được tiếp xúc với cácchuyên đề, các kĩ thuật làm toán thì tạo được cho học sinh sự hứng thú trong họctập,và sự đam mê môn toán Tôi nghĩ rằng để ươm mầm và phát triển các tài năng thìrất cần những chuyên đề chuyên sâu về toán (phù hợp với đối tượng) để cho học sinhđược mở mang kiến thức và phát triển tư duy toán

Là một giáo viên công tác chưa lâu năm nên kinh nghiệm tôi viết ra trên đâychắc cũng còn nhiều thiếu sót hoặc có những phần tôi đề cập chưa được sâu và đầy

đủ, tôi mong được sự đóng góp ý kiến và bổ sung của các bạn đồng nghiệp

3.2 Kiến nghị

Đề nghị Phòng Giáo Dục huyện Yên Định và Sở Giáo Dục tỉnh Thanh Hóa pháthành tập san lưu hành nội bộ những sáng kiến kinh nghiệm hay, bổ ích để giáo viênchúng tôi có nguồn tài liệu học hỏi, tham khảo và áp dụng vào việc dạy học cho họcsinh

XÁC NHẬN CỦA HĐKH NGÀNH

GD&ĐT YÊN ĐỊNH Yên Định, ngày 14 tháng 04 năm 2017Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác

Người viết sáng kiến

Nguyễn Đức Hữu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Sách Giáo Khoa toán 9 tập 2 - Nhà xuất bản Giáo Dục

2.Toán nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình

3 Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Thanh hóa

4.Trang mạng Vnmath Luyện thi đại học – Đặng Thành Nam

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO

HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Sử dụng phương pháp chặn trong việc

giải các bài toán số học lớp 6

PhòngSở

AB

2010-20112010-2011

2 Giúp học sinh lớp 8 tiếp xúc với các bài

toán hay và khó thông qua các bài tập

đơn giản

3 Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ

thuật giải hệ phương trình bằng phương

pháp thế và phương pháp cộng đại số