Khảo sát hàm số

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là hàm đơn điệu trên khoảng đó... Các ví dụ - Ví dụ 1Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R.. Các ví dụ tt - Ví dụ

I Tóm tắt lý thuyết

II Các ví dụ

III Bài tập luyện tập

I Tóm tắt lý thuyết

1) Hàm số đơn điệu

 Cho hàm số f xác định trên I, trong đó I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

• Hàm số f đồng biến trên I nếu với mọi x1, x2 ∈I, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

• Hàm số f nghịch biến trên I nếu với mọi x1, x2 ∈ I, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là hàm đơn điệu trên khoảng đó

I Tóm tắt lý thuyết (tt)

2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

• Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.

• Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.

• Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số không đổi trên I

 Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

• Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng [a; b)

• Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa

khoảng [a; b)

Các ví dụ - Ví dụ 1

Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R

Giải

Tập xác định của hàm số là R

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R

2

y = − +x x +7

2

2

Ta nh n th y x 7 x | x | x 0, do ó y' < 0 v i m i x R

=

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 2

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Giải

a Tập xác định của hàm số là D = (-∞ ; - 1) U (-1; +∞)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

b Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞)

Vì hàm lnx là hàm số đồng biến, nên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng

2x 1

x 1

−

+

2(x+1)-(2x-1) 3

(x 1) = (x 1) > ∀ ∈

1 Xét y' = lnx + 1 y' = 0 x=

e

1

;+

e

 ∞ 

1 0; e

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3

Xét tính đơn điệu của các hàm số:

Giải

a Tập xác định của hàm số là R

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng

2

ln x

+

+

2

2

2 2

x(x 4)

4

+ + −

−

+ +

1

; 4

−∞ 

1

4

 +∞

x -∞ + ∞

y’ + 0 -y

-1 1

1 4

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3 (tt)

b Tập xác định của hàm số là D = (0 ; 1) U (1 ; + ∞)

Vì hàm lnx là hàm đồng biến, nên lnx – 1 > 0 với mọi x > e và lnx – 1 < 0 với mọi 0 < x < e

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (0;1) và (1; e), đồng biến trên

khoảng (e; +∞)

2

lnx -1

Ta có y' = , y' = 0 x = e

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 4

Chứng minh rằng hàm số f(x) = x – tanx nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Giải

Các khoảng xác định của hàm số là

, dấu đẳng thức xảy ra khi x = kπ.

Vậy trong mỗi khoảng xác định hàm số f(x) luôn nghịch biến

2

1

Ta có f'(x) = 1- 0 (vì -1 cosx 1)

cos x

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số

Giải

a Ta có f’(x) = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ R Do đó hàm số f(x) luôn đồng biến

b Ta có g’(x) = x – sinx

Theo câu a) thì hàm số f(x) = x – sinx luôn đồng biến trên R, nên:

g’(x) ≥ g’(0) = 0,với mọi x ≥ 0

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞)

c

Theo câu b) thì hàm số g(x) = h’(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞), nên h’(x) ≥ h’(0) = 0 với mọi x ∈ [0; +∞) Do đó hàm h(x) đồng biến trên nửa

khoảng [0; +∞)

2 x

Ta có h'(x) = + cosx - 1

2

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 6

Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên khoảng

Giải

Đặt g(x) = (6 – 3x2)sinx – (6x – x3)cosx, được xác định trên nửa khoảng

Ta có: g’(x) = - 6xsinx + (6 – 3x2)cosx – (6 – 3x2)cosx + (6x – x3)sinx

g’(x) = - x3sinx

Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên nửa khoảng

Theo (*) suy ra f’(x) < 0 với mọi , tức là f(x) là hàm nghịch biến

trên khoảng

3

6x - x f(x)=

2

(6 - 3x )sinx - (6x - x )cosx

sin x

)



0; 6

[0 ; 6)⇒ g(x) g(0) = 0.≤

x (0; 6)∈

(0; 6)

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 7

Chứng minh rằng hàm số luôn đồng biến

Giải

Hàm số xác định với những giá trị của x thỏa mãn:

Do đó tập xác định của hàm số là R

Vậy hàm số luôn đồng biến trên R

2

f(x) = x + x − + x 1

 − <



>







≤

− ≥

 − + ≥





2

2 2

x 0

x 0

x 0

2 2

2

2x -1

1 +

Ta có: f'(x) =

− + + −

− + =

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 8

biến

Giải

Hàm số xác định trên R

là hàm số bậc hai, nên f’(x) triệt tiêu tại không quá hai giá trị của x Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến khi và chỉ khi:

Vậy để hàm số luôn đồng biến thì

3

2

f(x) = - (sina + cosa)x + sin2a + 3

Ta có f'(x) = x - (sina + cosa)x + sin2a

2

2

2

f'(x) 0 x R 0 (sina + cosa) - 2sin2a 0

(sina - cosa) 0 sina = cosa a = + k , k Z

4

π

a = + k , k Z

4

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9

Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Giải

Tập xác định của hàm số là R

Ta có f’(x) = 8x2 + 2(m + 2)x + m là tam thức bậc hai có:

∆’ = (m + 2)2 – 8m = (m – 2)2

Trường hợp 1: ∆’ = 0 ⇔ m = 2, khi đó f’(x) = 2(2x + 1)2 ≥ 0 ∀ x nên hàm số luôn đồng biến trên R

8 f(x) = x + (m + 2)x + mx + 1

3

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9 (tt)

Trường hợp 2: ∆’ > 0 ⇔ m ≠ 2, thì f’(x) = 0

*) Khả năng 1:

Bảng biến thiên:

1

x

x

=-4







⇔

x -∞ +∞ f’(x) + 0 - 0 +

-∞

1 2

14 3m 12

−

48

*) Khả năng 2:

Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Với m < 2, thì hàm số đồng biến trên các khoảng

nghịch biến trên khoảng

- Với m > 2, thì hàm số đồng biến trên các khoảng

nghịch biến trên khoảng

- Với m = 2 hàm số luôn đồng biến trên R

m 2

− < − ⇔ >

x -∞ +∞ f’(x) + 0 - 0 +

-∞

1 2

−

m 4

−

14 3m 12

−

48

−∞ −  − +∞

− − 

−∞ −  − +∞

− − 

III Bài tập luyện tập

1 Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số:

2 Chứng minh rằng hàm số:

a đồng biến với mọi x > 1

b nghịch biến trên khoảng

c y = sinx + tanx – 2x đồng biến trên nửa khoảng

−

−

−

x

3

x 1

x 1

y ln x 2

x 1

−

+ sinx

y

x

2

0; 2

÷

 

III Bài tập luyện tập (tt)

đồng biến

4 Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx +1

đồng biến

6 Cho hàm số:

Hãy xác định tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)

3

3

y = 2mx - 2cos x - msinxcosx + cos 2x

4

y =

x 2m

−