toán tổ hợp

Bài tập mẫuCho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó

Dạng 9 Một số bài toán về lập phương

trình tổ hợp

Nội dung

 Dạng 9 Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp

• Dạng 9A Bài toán về tìm cấp số cộng

• Dạng 9B Một số bài toán về hình học

• Dạng 9C Bài toán về tam giác

Dạng 9A Bài toán về tìm cấp số cộng

Bài tập mẫu

Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau

Giải

Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

14 14 14 14

C ,C ,C , ,C

n n 1 n 2

14 14 14

C , C , C + = + +

n 1 n n 2

14 14 14

n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2

n 1 n 2

14 16

2

14 14 14 14 14 1

Suy ra (n + 2)(14 - n) = 60 n -12n+32=0 n = 4 ; n = 8

4

Bài tập tương tự

Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau

Giải

Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi

và chỉ khi

23 23 23 23

C ,C ,C , ,C

n n 1 n 2

23 23 23

C , C , C

+ = + +

n 1 n n 2

23 23 23

n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2

n 1 n 2

23 25

2

Suy ra (n + 2) (23 - n) = 150 n -21n+104=0 n = 8 ; n = 13

23,C23

Lưu ý:

 Một số tình huống thường gặp khi lập phương trình tổ hợp là:

• Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và

chỉ khi 2b = a + c (hoặc b2 = ac )

• Cho tập hợp A có n phần tử, số tập con của A gồm x phần tử bằng k lần số tập con của A gồm y phần tử, tương ứng với phương trình

,

Dạng 9B Một số bài toán về hình học

Bài tập mẫu

Cho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó Hãy tìm n

Giải

Cứ 3 trong số 2n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác Số tam giác là Mặt khác đa giác đều 2n đỉnh có n đường kính của đường tròn ngoại tiếp

đa giác và cứ hai đường kính bất kỳ tạo thành một hình chữ nhật Do đó số hình chữ nhật bằng số cách chọn 2 trong n đường kính, suy ra số hình chữ nhật là

Ta được phương trình:

Biến đổi phương trình:

Thực hiện rút gọn, ta được 2n – 1 = 15 hay n = 8 Đáp số n =8

3 2n

C

2 n

C

=

C 20.C

2n n

(2n)! 20.n! 2n(2n 1)(2n 2) 20.n(n 1)

C 20.C

Lưu ý:

 Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập gồm n điểm là

 Số hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của một đa giác đều 2n đỉnh là

 Cho một tập hợp gồm n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng

hàng thì số đường thẳng (mỗi đường thẳng đi qua hai trong số các điểm thuộc tập hợp đó) là

 Cho một tập hợp gồm n đường thẳng, trong đó không có ba đường

thẳng nào đồng quy thì số giao điểm của chúng là

3 n

C

2 n

C

2 n

C

2 n

C

Bài tập tương tự

Cho một đa giác đều có 2n+1 đỉnh, tìm n, biết rằng số hình thang cân có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó bằng 476

Giải

Đường thẳng qua mỗi đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện là một trục đối xứng của đa giác Mỗi bên của trục đối xứng đó có n đỉnh Cứ hai trong số n đỉnh đó cùng với hai đỉnh đối xứng qua trục trên tạo thành một hình thang cân

Số hình thang cân tương ứng với một trục đối xứng là Vì có tất cả 2n+1 trục đối xứng nên số hình thang cân là

Ta được phương trình

Biến đổi phương trình:

Phương trình có nghiệm duy nhất n = 8 Đáp số n =8

2 n

C

( + ) 2

n

2n 1 C

n 2n 1 C 476

+

−

2 n

2n 1 n!

2! n 2 ! 2n 1 n n 1 952 2n n n 952 0 (n 8) 2n 15n 119 0

Dạng 9C Bài toán về tam giác

Bài tập mẫu:

Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2) Trên (d1) có 15 điểm, trên (d2) có n điểm Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 3825

Giải

Cứ mỗi điểm trên (d1) và hai điểm trên (d2) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là Tương tự cứ mỗi điểm trên (d2) và hai điểm trên (d1) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là

Theo quy tắc cộng, ta được số tam giác tạo thành là

Ta được phương trình

Biến đổi phương trình

Giải phương trình, ta được n = -30 (loại), n =17 (nhận) Đáp số n =17

2 n 15.C

+

2 2

n 15

15.C n.C

15.C n.C 3825.

( )

−

2

n!

2! n 2 ! n(n 1) 14n 510 n 13n 510 0

2 15

n.C

 Lưu ý

• Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2) Trên (d1) có n điểm, trên (d2) có m điểm Số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 2 + 2

m.C n.C

Bài tập tương tự

Một đa giác lồi có n đỉnh Hãy tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác

đó bằng 156

Giải

Cứ ba trong số n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác Số tam giác tạo thành một cách bất kỳ là Ta tính số tam giác có ít nhất một cạnh của đa giác

Tính số tam giác có một cạnh của đa giác: Ứng với một cạnh của đa giác có

n - 4 tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác Suy ra số tam giác có một cạnh của đa giác là n(n - 4)

3 n C

Bài tập tương tự (tt)

Tính số tam giác có hai cạnh của đa giác: Ứng với một đỉnh của đa giác có một tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác (là tam giác có hai cạnh kề nhau của đa giác chung với đỉnh trên) Suy ra số tam giác có hai cạnh của

đa giác là n

Ta được số tam giác thoả mãn bài toán là

Ta được phương trình:

Đáp số n =13

−

n

n n 1 n 2 n!

( ) ( )

2

n n 1 n 2

6

Bài tập tương tự (tt)

Lưu ý

Một đa giác lồi có n đỉnh Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó là 3 − − −

n

C n(n 4) n