Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Tổ hợp và Số phức"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Tổ hợp và Số phức"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

TỔ HỢP VÀ SỐ PHỨC

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

T ổ hợp và s ố phức

Ví dụ 1: (Đề thi đại học Môn Toán khối A năm 2012): Cho n là số nguyên

dơng thoả mãn n 1 3

5C − =C Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu−ton của

n 2

, x 0

14 x

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần thực hiện theo các bớc:

5C − =C để tìm đợc giá trị của n

lời giải chi tiết:

Ta có biến đổi:

n 1 3

5C − =C 5n n(n 1)(n 2)

6

Khi đó, ta đợc:

 −  = − 

2 7

k 7

k 0

C

−

=

   

=  ữ − ữ

 

7 k

k 0

C

2

−

−

=

=∑ −

Số hạng chứa x5 tơng ứng với:

14 − 3k = 5 ⇔ k = 3

Do đó, số hạng cần tìm là 3 37 5 5

7 3

Ví dụ 2: (Đề thi đại học Môn Toán khối B năm 2012): Trong một lớp học

gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh

đợc gọi có cả nam và nữ

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Việc tính xác suất của biến cố A đợc thực hiện theo các bớc:

 Đếm số phần tử của không gian mẫu Ω, tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T Cụ thể, ở đây là "Số cách để chọn 4 HS từ tổng 15 + 10 = 25 HS

 Đếm số phần tử của tập ΩA, tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A

Cụ thể, ở đây ta sẽ có ba trờng hợp:

Trờng hợp 1: Có 1 nam và 3 nữ.

Trờng hợp 2: Có 2 nam và 2 nữ.

Trờng hợp 3: Có 3 nam và 1 nữ.

= Ω

Cách 2: Sử dụng định lí:

Định lí: Cho biến cố A Xác suất của biến cố đối A là:

P( A ) = 1 − P(A)

Ta thực hiện theo các bớc:

 Xác suất P1 chọn 4 học sinh không có nam

 Xác suất P2 chọn 4 học sinh không có nữ

lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là: C425 =12650

Số cách chọn 4 học sinh trong lớp có cả nam và nữ bao gồm:

 Trờng hợp 1: Có 1 nam và 3 nữ 1 3

15 10

C C =1800

 Trờng hợp 2: Có 2 nam và 2 nữ 2 2

15 10

C C =4725

 Trờng hợp 3: Có 3 nam và 1 nữ 3 1

15 10

C C =4550

Vậy, số cách chọn 4 học sinh trong lớp có cả nam và nữ bằng:

1800 + 4725 + 4550 = 11075

Suy ra, xác suất để 4 học sinh đợc gọi có cả nam và nữ là P 11075 433

12650 506

Cách 2: Ta lần lợt:

 Xác suất chọn 4 học sinh không có nam là:

4 10

25

 Xác suất chọn 4 học sinh không có nữ là:

4 15

25

Suy ra, xác suất để 4 học sinh đợc gọi có cả nam và nữ là:

P = 1 − (P1 + P2) 433

506

=

Ví dụ 3: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.b năm 2009): Gọi z1 và z2 là hai

nghiệm phức của phơng trình z2−2 3iz 4 0.− = Viết dạng lợng giác của z1 và z2

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Ta thực hiện theo các bớc:

phơng trình bậc hai với hệ số phức" ở đây, ta có thể lựa chọn một

trong hai cách:

Cách 1: Sử dụng phép tính ∆ và tính căn bậc hai của số phức

Cách 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số.

giác"bằng phép biến đổi:

lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

z− 3i − =1 0 ( )2

2

 − =

⇔ 

 − = −



1

2

 = +

⇔ 

 = − +



1

2

  ữữ

 = − + ữ

  ữ



1

2

z 2 cos i.sin

z 2 cos i.sin

 =  π+ π



⇔



Ví dụ 4: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2012): Cho số phức z thoả

mãn 5 z i( )

2 i

z 1

+

= − + Tìm môđun của số phức w = 1 + z + z

2

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, (a, b∈Ă , z a b.i) = − và kết hợp với các biến đổi đơn

Cuối cùng sử dụng công thức tình mô đun

lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, (a, b∈Ă ta có ngay:)

( )

5 z i

2 i

z 1

+

= − + ⇔ (3a − b − 2) + (a − 7b + 6)i = 0

3a b 2 0

a 7b 6 0

− − =



⇔  − + =



a 1

b 1

=



⇔  =

z = 1 + i

Từ đó, suy ra:

w = 1 + z + z2 = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 = 2 + 3i

2 2

Ví dụ 5: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2012): Cho số phức z thoả

mãn (2 i)z 2(1 2i) 7 8i

1 i

+

+ Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này ta thực hiện theo các bớc:

thức về phép chia hai số phức

lời giải chi tiết: Ta có biến đổi:

2(1 2i)(1 i)

2

+ + = + ⇔ (2 + i)z + 1 + i − 2i2 = 7 + 8i

⇔ (2 + i)z = 4 + 7i z 4 7i

2 i

+

⇔ =

+

(4 7i)(2 i) 5

Từ đó, suy ra:

w = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i ⇒ w = 42+32 = 5

Ví dụ 6: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.b năm 20012): Giải phơng trình

2

z +3(1 i)z 5i 0+ + = trên tập hợp số phức

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng "Phơng pháp giải phơng trình bậc

hai với hệ số phức" bằng phép tính ∆ và tính căn bậc hai của số phức

lời giải chi tiết: : Với phơng trình ban đầu, ta có:

∆ = −2i = (1 − i)2

Suy ra phơng trình có các nghiệm:

1

3(1 i) (1 i)

z

2

− + + −

= = −1 − 2i; z2 3(1 i) (1 i)

2

− + − −

= = −2− i

Ví dụ 7: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.a năm 2011): Tìm các số phức z,

biết z 5 i 3 1 0

z

+

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, (a, b∈Ă kết hợp với z a b.i) = − và biến đổi đơn Từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau để thiết lập đợc một

hệ phơng trình theo a, b

lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, (a, b∈Ă ta có ngay:)

5 i 3

a bi

+

+ ⇔ −(a bi)(a bi)+ − +(5 i 3) − +(a bi) 0=

(a2 b2 a 5) (b 3 i 0)

2 2

 + − − =



⇔ 

+ =



2

 − − =



⇔ 

= −



a 2

 = −

 =

⇔ 

 = −

 Vậy, tồn tại hai số phức z= − −1 i 3, z 2 i 3= − thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 8: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.b năm 2011): Tìm phần thực và

phần ảo của số phức

3

1 i 3

1 i

 + 

=  ữữ +

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh cần sử dụng dạng lợng giác của số phức để có đợc lời giải đơn giản, cụ thể:

 Với z = a + bi (a, b∈Ă ) thì:

2 2

  = a2+b cos2( ϕ +i.sinϕ)

suy ra:

+ =  + ữữ

  2 cos3 i.sin3

 Công thức moa−vrơ: Với mọi số nguyên dơng n, ta có:

[r(cosϕ + i.sinϕ)]n = rn(cosnϕ + i.sinnϕ)

Khi đó:

1 i 3+ =8 cos( π +i.sinπ); 1 i 2 2 cos3 i.sin3

 Nếu z = r(cosϕ + i.sinϕ) và z' = r'(cosϕ' + i.sinϕ') với r, r' ≥ 0 thì :

z z' =

r r'[cos(ϕ−ϕ') + i.sin(ϕ−ϕ')] khi r' > 0

Khi đó:

z 2 2 cos i.sin

Vậy, số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2

lời giải chi tiết: Sử dụng dạng lợng giác:

+ =  + ữữ

  2 cos3 i.sin3

Khi đó:

3

2 cos i.sin

z

2 cos i.sin

  π+ π 

=

8 cos i.sin

2 2 cos i.sin

π + π

=

cos i.sin

2 2

cos i.sin

π + π

=

Vậy, số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2

Ví dụ 9: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.a năm 2011): Tìm các số phức

z, biết z2 = z2+z

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, (a, b∈Ă kết hợp với các biến đổi )

đơn:

z2 = (a + bi)2 = a2 + b2i2 + 2abi = a2− b2 + 2abi,

2 2

z = a +b , z a b.i= −

từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhâu để thiết lập đợc một hệ phơng trình theo a, b

lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, (a, b∈Ă ta có ngay:)

(a bi)+ = +a b + −(a bi) ⇔(a2−b2) +2abi=(a2+ + −b2 a) bi

 − = + +

⇔ 

= −



2

b(2a 1) 0

 = −

⇔ 

+ =



2

b 0

a 1 / 2

 = −



⇔ =



 = −

 2

b 0 & a 0





⇔

 = − − = −



2

b 0 & a 0

a & b





⇔

 = − =



a b 0

= =





⇔

 = − = ±

 Vậy, tồn tại ba số phức z 0, z 1 1i, z 1 1i

= = − + = − − thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 10: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2011): Tìm môđun của

số phức z, biết:

( )

(2z 1)(1 i)− + + +z 1 (1 i) 2 2i.− = −

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, (a, b∈Ă , z a b.i) = − và kết hợp với các biến đổi đơn

Cuối cùng sử dụng công thức z = a2+b2

lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, (a, b∈Ă ta có ngay:)

[2(a bi) 1 (1 i)+ − ] + + − +(a bi 1 (1 i) 2 2i) − = −

[(2a 1) 2bi (1 i)] (a 1) bi (1 i) 2 2i

⇔ − + + + + −  − = −

(3a 3b) (a b 2)i 2 2i

⇔ − + + − = −

3a 3b 2

− =



⇔  + − = −



3a 3b 2

a b 0

− =



⇔  + =



1 b 3

= −





⇔  = −



3 3

= − Khi đó, môđun của z là

   

=  ữ + − ữ =

   

Ví dụ 11: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2011): Tìm các số phức

z, biết z (2 3i)z 1 9i.− + = −

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, (a, b∈Ă kết hợp với z a b.i) = − và

biến đổi đơn Từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau để thiết lập đợc một

hệ phơng trình theo a, b

lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, (a, b∈Ă ta có ngay:)

(a bi) (2 3i)(a bi) 1 9i+ − + − = − ⇔ − −( a 3b) (3a 3b)i 1 9i− − = −

a 3b 1

3a 3b 9

− − =



⇔  − =



a 2

=



⇔  = −

z = 2 − i

Vậy, số phức z = 2 − i thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 12: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.a năm 2010): Trong mặt phẳng

tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

z i− = +(1 i)z .

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu của bài toán chúng ta luôn bắt

đầu với giả sử:

z x yi, x,y= + ∈Ă

Từ đó, suy ra:

(x yi+ )− = +i (1 i) x yi( + ) ⇔ + −x (y 1 i) = (x y− + +) (x y i)

tới đây, sử dụng công thức tính môđun ta có chuyển đổi :

( )2 ( ) (2 )2 2

x + −y 1 = x y− + +x y ⇒ f(x, y) = 0

Và bằng những phép biến đổi đại số thông thờng chúng ta sẽ nhận đợc phơng trình của tập hợp điểm biểu diễn số phức z là f(x, y) = 0

lời giải chi tiết: Ta lần lợt có:

i 1

i 1

+

− =

(i 1)(i 1) 2

+ +

= i ⇒

33

i 1

i 1

+

 

 − ữ

  = i;

(1 − i)2 = −2i ⇒ (1 − i)10 = (−2i)5 = −25i = −32i;

(2 + 3i)(2 − 3i) = 4 + 9 = 13; 1

i = −i

Do đó:

33

i 1

i 1

+

 

 − ữ

  + (1 − i)

10 + (2 + 3i)(2 − 3i) + 1

i = 13 − 32i

⇒ Phần thực bằng 13Phần ả o bằng 32−

Ví dụ 13: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.a năm 2010): Tìm phần ảo của

số phức z, biết ( ) (2 )

z= 2 i+ 1 i 2 −

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng các phép biến đổi thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát của số phức

z a b.i= + Từ đó, suy ra đợc rằng z a b.i= − nên nó có phần ảo bằng −b

lời giải chi tiết: Ta có ngay:

z= +2 2i 2 i+ 1 i 2− = +(1 2i 2 1 i 2)( − ) = +5 i 2

z 5 i 2

⇒ = −

Vậy, phần ảo của số phức z bằng − 2.

Ví dụ 14: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2010): Cho số phức z

thoả mãn ( )3

1 i 3

1 i

−

=

− Tìm môdun của số phức z iz.+

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Sử dụng các phép biến đổi thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát

của số phức z a b.i= + Từ đó, suy ra đợc rằng z a b.i= −

Bớc 2: Đơn giản biểu thức z iz c di.+ = + Từ đó, suy ra môđun của số phức

z iz+ bằng c2+d 2 lời giải chi tiết: Với số phức z = x + yi (x, y∈Ă ) đợc biểu diễm bởi điểm M(x ; y)

Ta có:

k = z

z i− =

x yi

x yi i

+ + − ⇔ k2 =

2 2

x (y 1)

+

Xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu k = 1 thì:

(*) ⇔ x2 + (y − 1)2 = x2 + y2⇔ y = 1

2. Tức là, điểm M thuộc đờng thẳng y = 1

2.

Ví dụ 15: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2010): Tìm số phức z

thỏa mãn : z = 2 và z2 là số thuần ảo

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu của bài toán chúng ta luôn bắt

đầu với giả sử:

z a bi, a,b= + ∈Ă

Từ đó, suy ra:

2 2

z = a +b , z2 = (a + bi)2 = a2− b2 + 2abi

Khi đó, với giả thiết z = 2 và z2 là số thuần ảo, ta đợc:

2 2

2 2





− =

 ⇒ a, b ⇒ Số phức z cần tìm.

lời giải chi tiết: Giả sử z a bi, a,b= + ∈Ă , ta có:

2 2

z = a +b , z2 = (a + bi)2 = a2− b2 + 2abi

Khi đó, với giả thiết z = 2 và z2 là số thuần ảo, ta đợc:

2 2

2 2





− =



2 2

2 2

 + =



⇔ 

− =

2 = b2 = 1

Vậy, tồn tại bốn số phức z1 = 1 + i , z2 = 1 − i, z3 = −1 + i, z4 = −1 − i thoả mãn

điều kiện đầu bài

Ví dụ 16: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.a năm 2009): Tìm số phức thoả

mãn:

z (2 i) 10

z.z 25

 − + =





=



 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu này chúng ta chỉ cần giả sử số phức z = a + bi, rồi sử dụng công thức tính môđun Khi đó chúng ta nhận đợc hệ phơng trình:

2 2

a bi (2 i) 10

 + − + =





+ =



lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ta có:

2 2

a bi (2 i) 10

 + − + =





+ =

a 2 (b 1)i 10



⇔ 



( )2 2

2 2

 − + − =



⇔ 

+ =

2a b 10

+ =



⇔  + =



a 3 & b 4

a 5 & b 0



⇔  = = Vậy, tồn tại hai số phức z = 3 + 4i hoặc z = 5 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 17: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.a năm 2009): Gọi z1 và z2 là hai

nghiệm của phơng trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = z12 + z22

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu này chúng ta chỉ cần giải phơng trình để tìm đợc nghiệm phức rồi sử dụng công thức tính môđun

lời giải chi tiết: Với phơng trình:

z2 + 2z + 10 = 0

ta có:

∆’ = 1 − 10 = −9 = 9i2⇒ z1 = −1 + 3i và z2 = −1 + 3i

Từ đó, suy ra:

A = z12 + z22 = [(−1)2 + 32] + [(−1)2 + (−3)2] = 20

Ví dụ 18: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2009): Trong mặt phẳng

với hệ toạ độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z − (3 − 4i) = 2

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu này chúng ta chỉ cần giả sử số phức z = x + yi, rồi sử dụng công thức tính môđun Khi đó, chúng ta nhận đợc

ph-ơng trình:

x + yi − (3 − 4i) = 2 ⇔x − 3 + (y + 4)i = 2

(x 3) (y 4) 2

⇔ − + + = ⇔(x 3)− 2+ +(y 4)2 =4

Vậy, tập hợp các số phức z là đờng tròn (C) tâm I(3; −4) và bán kính R = 2 lời giải chi tiết: Giả sử z = x + yi, ta có:

x + yi − (3 − 4i) = 2 ⇔x − 3 + (y + 4)i = 2

(x 3) (y 4) 2

⇔ − + + = ⇔(x 3)− 2+ +(y 4)2 =4

Vậy, tập hợp các số phức z là đờng tròn (C) tâm I(3; −4) và bán kính R = 2

mục lục

Mở đầu

Chủ đề 1. Hàm số và các bài toán liên quan 9

Chủ đề 2. Phơng trình và hệ lợng giác 47

Chủ đề 3. Phơng trình, bất phơng trình và hệ đại số 67

Chủ đề 4. Nguyên hàm và tích phân 103

Chủ đề 5. Hình học không gian 129

Chủ đề 6. Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 151

Chủ đề 7. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng 173

Chủ đề 8. Phơng pháp toạ độ trong không gian 215

Chủ đề 9. Tổ hợp hoặc Số phức 293