de cuong toan to hop 11 Mr PHU

Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên.. Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3?. Trong các số trên, có bao nhiêu chữ

CHƯƠNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I/ TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Quy tắc đếm: Nếu có a cách chọn hành động A và có b cách chọn hành động

B, thì có: (a+b) cách chọn hành động A hoặc B

(a.b) cách chọn hành động A và B

2 Giai thừa:

Định nghĩa: 0! =1; n!=1.2.3…n

Tính chất: n!=n(n-1)!

( k )( k ) ( n ) n

k!

n!

1 2



3 Hoán vị :

- Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phân tử ( n ≥ 1) Mỗi cách sắp thứ tự n phân tử của A được gọi là 1 hoán vị của n phân tử đó

- Số hoán vị của n phân tử là : Pn = n!

4 Chỉnh hợp

- Định nghĩa : Cho 1 ≤ k ≤ n và một tập hợp gồm n phần tử Mỗi cách sắp thứ tự

k phần tử (từ n phần tử của A) được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của

A

- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :

) k n ) (

n )(

n ( n )!

k n (

! n

A k





5 Tổ hợp:

- Định nghĩa : Cho 0 ≤ k ≤ n và một tập hợp A gồm n phân tử Một tổ hợp chập k của n phần tử là 1 tập con gồm k phần tử của n phần tử đó

- Số tổ hợp chập k của n phần tử là : C k k(nn! k)!

n





n

n n

n C ; C



k n

k n

k

C 11 1  (0 ≤ k ≤ n)

6 Nhị thức Newton :

a n n n n

i

n n

n a

n n

n n

n C a b C a C a b C ab C b )

b a









0

1 1

1 0

1 1 1

n n

n n

n C C x C x C x )

x ( 1   0  1  2 2  

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 : Vận dụng quy tắc đếm

Thí dụ 1 : Có 5 con đường đi từ TPHCM đến Đà Lạt và 3 con đường đi từ Đà Lạt đến Nha Trang Một đoàn du lịch từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt Hỏi có bao nhiêu cách đi ?

Giải :

Đi từ TPHCM đến Đà Lạt, đoàn du lịch có 5 cách đi

Đi từ Đà Lạt đến Nha Trang, đoàn du lịch có 3 cách đi

Vậy đoàn du lịch đi từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt sẽ có 5 x 3

= 15 cách đi

Thí dụ 2 : Cho 4 chữ số 1, 3, 5, 7

1 Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên

2 Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3 ?

3 Trong các số tự nhiên nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi 15 ?

Giải :

1 Các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đã cho, bằng số hoán vị của 4 phần tử : P4 = 4! = 24

2 Mỗi hoán vị của 3 chữ số : 1, 5, 7 ghép với chữ số 3 đứng đầu sẽ cho một số tự nhiên cần tìm Số các số như thế là : P3= 3! = 6

3 Tươngtự số các số tự nhiên bắt đầu bởi 15 là : P2 = 2

Thí dụ 3 : Cho tập hợp A = (0, 1, 3, 6, 9)

1 Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp A ?

2 Trong các số trên, có bao nhiêu chữ số chẵn ?

3 Trong các số trên, có bao nhiêu số chia hết cho 3 ?

Giải :

1 Đặt số phải tìm là : x = abcd

Có 4 cách chọn a từ tập A\{0}

Vì : bcd là 1 chỉnh hợp chập 3 lấy từ A\{a}, có 3 24

4 

A cách chọn Vậy có tất cả : 4 x 24 = 96 số x thỏa đề bài

2 Với x là số chẵn

- Nếu d = 0,abc là 1 chỉnh hợp chập 3 của tập A\{0} : có 24 cách chọn Vậy số các số x tận cùng bằng 0 là : 24

- Nếu d = 6,

- Có 3 cách chọn a từ tập A\{0, 6}

- bc là chỉnh hợp chập 2 của tập A\{a; 6} : có 6 cách chọn

Vậy số các số x tận cùng bằng 6 là 3 x 6 = 18

Vậy các số x chẵn tìm được là : 24 + 18 = 42

3 Vì các số 0, 3, 6, 9 là bội của 3 Nên các số x là bội số của 3 thì không chứa số

1 Lập luận tương tự câu 1, ta có 18 số

Thí dụ 4 : Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu Lấy ra hai viên bi Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh ? 2 viên bi đỏ ? 2 viên bi khác màu nhau

Giải

Lấy ra 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh, có 2 10

C cách

Lấy ra 2 viên bi đỏ từ 3 vi6n bi đỏ, có : 2 3

3 

C cách Lấy ra 2 viên bi khác màu nhau, có 1 15

3

1

5 C 

BÀI TẬP

A QUY TẮC ĐẾM.

1 a Một số quan đểm 4 cổng ra vào Hỏi 1 người khách có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó

b Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau

2 Một cô gái có 8 áo sơ mi và 6 quần tây

a Hỏi cô gái có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ?

b Cô gái có 3 đôi dép, hỏi cô gái có thể “diện” bằng bao nhiêu cách thông qua áo quần để mặc và dép để mang ?

3 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu

a Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

b số chẵn sồm 4 chữ số bất kỳ ?

4 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ

B HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

Bài 1 : Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển lý, 2 quyển hóa, 5 quyển sinh vào kệ theo từng môn (14 quyền này khác nhau) hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8

Bài 3 : Trong một phòng họp có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ cho 10 họ sinh, gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ, biết :

a Tất cả học sinh ngồi tùy ý

b Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn

Bài 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho :

a Bạn C ngồi chính giữa ?

b Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế

Bài 5 : Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ) Có bao nhiều số tự nhiên gồm 6 cữ số khác nhau lấy từ X, trong các trường hợp

a Số đó bắt đầu là số 5 b Số đó không bắt đầu là 1

c Số đó bắt đầu bằng 56 d Số đó không bắt đầu bằng 456 Bài 6 : Thường vụ đoàn có 15 người Có bao nhiêu cách chọn ra một ban chấp hành gồm 1 bí thư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên ?

Bài 7 : Một cuộc đua ngựa có 10 đường chạy Hỏi có thể nhiều nhất bao nhiêu cặp nhất – nhì xãy ra trong một cuộc đua đó

Bài 8 : Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có thể lập được bao nhiêu số

a Gồm 3 chữ số đều khác nhau ?

b Gồm 3 chữ số không nhất thiết khác nhau ?

c Trong các số ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ? bao nhiêu số lẻ ?

Bài 9 : Với các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 Có thể lập được bao nhiều số lẻ

a Là số chẵn và có ba chữ số khác nhau

b Gồm 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?

bài 10 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau

a Trong đó phải có chữ số 5 ?

b Số đó phải là số chẵn

Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau sao cho :

a Số tạo thành là số chẵn ?

b Số tạo thành không có chữ số 7 ?

c Số tạo thành nhỏ hơn 278 ?

Bài 12 : Trong một kỳ thi vấn đáp, một học sinh phải trả lời 6 trong 10 câu hỏi Có bao nhiêu cách chọn, nếu học sinh đó :

a Chọn câu nào cũng được ?

b Phải chọn 3 câu đầu ?

c Phải chọn hai trong bốn câu đầu ?

Bài 13 : Tìm số đường chéo của một đa giác lồi sau :

c Đa giác có 12 cạnh d Đa giác có n cạnh (n 3)

e Đa giác lồi nào có số cạnh bằng với số đường chéo ?

Bài 14 : Một lớp có 30 nam và 18 nữ Có bao nhiêu cách chọn một bạn cán bộ lớp gồm 3 người, trong đó :

a Số nam, nữ tùy ý b Phải có 1 nam và 2 nữ

c Phải có 2 nam và 1 nữ d Có ít nhất 1 nam

Bài 15 : Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm số khả năng lấy được

a 3 bi đỏ b 3 bi xanh c có ít nhất 2 bi xanh

Bài 16 : Từ 15 bông hồng và 12 bông cúc Có bao nhiêu cách chọn 5 bông để có

ít nhất:

a hai bông hồng b hai bông hồng và hai bông cúc

c Một hồng và một cúc

Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?

Bài 18: Có 3 đường thẳng song song, cắt 4 đường thẳng song song Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

C) BÀI TẬP LÀM THÊM:

Bài 1 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

Bài 2 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy ghế gồm 6 ghế Người

ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau:

a) Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau?

b) Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường?

Bài 3: Xét các số gồm 9 chữ so,á trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại 2,3,4,5 hỏi có bao nhiêu số nư thế, nếu:

a) Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau?

b) Các chữ số được xếp tùy ý?

Bài 4: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn? (chữ số đầu tiên phải khác 0)

Vấn đề 2: Các bài toán liên quan đến A K

n ; C k

n ; P n Thí dụ 1: Giải phương trình:

C1

x + C2

x + C3

x = 2

7 x

(1)

Giải Điều kiện: xN và x≥3

(1)  1(x x!1)!+ 2(x x! 2)!+3(x x! 3)!=7 x2

 x+(x 21)x +(x 2)(6x 1)x-7 x2 =0

 (x-2)(x-1)+ 3(x-1) -15 =0

 x2 =16  x=4

Thí dụ 2: Chứng minh rằng: Ak

n = Ak n-1 +k.Ak-1

n-1 (1k n)

Giải

Ak

n-1 + k .Ak-1

n-1 =(n(nk1)!1)!+k((n n 1k)!)!=(n 1()!n(n k)!k k) =(nn!k)!=Ak

n

BÀI TẬP:

Bài 1 Giải phương trình:

a) A3

n –A1

n +42 = A2

2n

d) A3

n + 3.A2

n = 2

1

n.Pn-5

f) A2

x.Cx-1

1

4



 



x x x

x C A A

h) 11.C3

x=24.C2

1



x

n

x

x

P

A

P





.

2

1

-C5x

1 =C6x

1

Bài 2 Chứng minh rằng:

a) 1.1! +2.2! +3.3! +… +n.n! = (n+1)- 1

b) Ck

n + 2.Ck 1

n + Ck 2

n = Ck

n 2 (2≤ k ≤n) c) Ck

n +3 Ck 1

n +3 Ck 2

n + Ck 3

n =Ck

n 3 (3≤ k ≤n) d) Ck

n =k n C 1

1





k n

e) A  2



n k

n + A  1



n k

n =k2.An

k n

f) Pn =(n-1).Pn-1 +(n-2).Pn-2 +… +2.P2 + 1P1 +1

Bài 3 Rút gọn biểu thức:

11

6 10

5

10

4 8

3 7

4

7

1

1

C C C

C C C













+

2

2 3

P

1000

2 100

998 1000

98 100

C C

C C





c)

3 5 3

3 15

3 8

2

6

65 28

3

A P

C C

C

C





20

4 19

3 19

4 21

C C C

C





e) E =C3

5.C2

4 + C2

4 C1

3+ C1

3.C0 2

Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON.

Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 1+ 4.C1

n +42.C2

n+… +4n.C0

n =5n

Giải Xét khai triển Newton: (1+x)n = C0

n + C1

n x + C2

n x2 +… +Cn

nxn

Thế với x=4, ta được: 5n =1+ 4.C1

n + 42.C2

n+… +4n (đpcm)

Thí dụ 2: Tìm hệ số của x4 khai triển ( 2 + 3x)6

Giải :

- Số hạng tổng quát C1 2 6 1 ( 3x)i

6

 (0 ≤ i ≤ 6)

- x4 ứng với i = 4

- Hệ số là 1 2 6 4 3 4 4860

C

Thí dụ 3 : Tìm h số của x5trong khai triển (3x – 4)8

- Số hạng tổng quáC1 ( 1 )i( 3x) 8 i 4i

8



- x5 ứng với 8 – i = 5  i = 3

- Hệ số là 3 ( 1 ) 3 3 5 4 3 870912

C

Thí dụ 4 : Tìm hệ số của x3 trong khai triển

(x + 1)2 + (2x – 1)3 + (x – 3)4 + (x + 2)2

Giải

Số hạng tổng quát i = Hệ số là

3(-1)023=8

4 (-1)131 =-12

5 22=40 Vậy hệ số của x5 là: 8-12+40 =36

Thí dụ 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x- 3x )10

Giải

- Số hạng tổng quát Ci

10(-1)i(2x)10-i( 3x )i= Ci

10(-1)i210-i.3i.x10-2i

- Số hạng không chứa x ứng với 10 -2i =0 i=5

- Hệ số cần tìm là: C5

10(-1)525.35 =-1959552

BÀI TẬP Bài 1 tìm hệ số của x8 trong khai triển:

(1+x)6 + (1+x)7 + (1+x)8 +(1+x)9 + (1+x)10

Bài 2 a) Trong khai triển nhị thức (1+x2)10, tìm hệ số của x12

b)Trong khai triển nhị thức (3x-4)5, tìm hệ số của x2

Bài 3 khai triển các nhị thức:

e) (2x2-y)5 f) (x-2y2)6 g) (x+1x )7 h) (x-1x )10

Bài 4 chứng minh các hệ thức sau:

a) C0

n + C1

n + C2

n+… + Cn

n =2n

b) C1

n -2 C2

n +3 C3

n -4C4

n + … +(-1)n+1.n Cn

n=0 c) C0

n + 2 C1

n+3 C2

n +… + (n+1) Cn

n =(n+2).2n-1

d) 21 C1

n -31 C2

n +… +

1

) 1



 

n

n

Cn

n =n n1 e) C0

2n +C2

2n+ C4

2n + … +C n

n

2

2 =C1

2n+ C3

2n +… + C2 1

2



n n

f) 1.2 C2

n + 2.3 C3

n +3.4C4

n + … +(n-1)n Cn

n = n(n-1).2n-2

Bài tập làm thêm Chứng minh các hệ thức sau:

a) 2 C0

n +

2

2 2

C1

n+ 3

2 3

C2

n+ … +

1

2 1





n

n

Cn

n=

1

1

3 1







n n

b) (C0

n)2 +( C1

n )2 +( C2

n )2 + … +( Cn

n )2 =Cn

n

c) 316C0

16 - 315C1

16+ 314C2

16 - … +C16

16 =216

d) 317C0

17 +41316C1

17 + 42315C2

17 +… +417C17

17 =717

ÔN TẬP KIỂM TRA Đề 1.

1 có bao nhiêu ước số của 45000

2 cho 4 số 1,3,5,7

a) có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên

b) Trong các số ở a) có bao nhiêu số bắt đầu bằng số 3

c) Trong các số ở a) có bao nhiêu số bắt đầu bằng số 5

3) Tính B=243.C0

5 +81C1

5 +27.4C2

5 +9.8C3

5 +3.16.C4

5 +32C5

5

Đề 2.(giải tích tổ hợp)

Bài 1 Giải phương trình: 6Cx 2

x +6 =Ax

x

2

Bài 2 Từ 9 học sinh giỏi gồm 5 nam và 4 nữ Người ta chọn ra 5 người gồm 3

nam và 2 nữ trong đó có1 trưởng đoàn, 1 thư ký và 3 thành viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu?

Đề 3.

1) Tìm n nguyên dương biết A2

n Cn 1

n =48 2) Giải phương trình 6.C2

x +42 = A2

2 x với x nguyên dương

3) Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau chọn trong 4 chữ số 0,1,2,3 4) Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số chọn trong các chữ số0,1,2,3,5

Đề 4.

1) Từ các số: 0,1,2,3,4,5 có thể tạo ra:

a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau

b) Trong các số ở a) có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số có mặt số 0? 2) Một giỏ đựng 7 bi đỏ và 4 bi đen Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi: a) Màu nào cũng được

b) Trong đó ít nhất 2 bi đỏ

3) Giải phương trình: A2

n -2Cn 1

n =4 4) Chứng minh rằng:

a) (k+1)Ak

n =A 1

1





k

n -Ak 1

n

b) C0

n +3 C1

n+ 32 C2

n + 3n-1Cn 1

n +3n Cn

n =4n

5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: (3 x+ x1 )16