Đại số tổ hợp luyện thi Đại học 2010

Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.. Tìm số hạng không chứa x của khai triển: a.. Tìm hệ số của số hạng a... Tìm số hạng có hệ số lớn nhất.. Hỏi có bao n

đại số tổ hợp

Dạng 1 Giải pt, bpt, hệ pt có các công thức: , k, k

n n n

Bài 1 Giải các pt sau:

a C1n+6C n2+6C n3 =9n2−14n d. 2 1

14k 14k 2 14k

b

C −C =C e P A x x2 +72 6(= A x2+2 )P x

c 1

4 3 7( 3)

+ − + = + g 1

1 72 1

y

A++ P− = P−

Bài 2 Giải:

a 2 2 2

1 3 30

C + + A < d

1

1

+

−





5

0 4

C − −C − − A− < e 1 1

1: : 6 : 5 : 2

C + C + C − =

c 2 5 90





 g

2 5

3

60 ( )!

k n

n

P

A

n k

+ +

+

≤

− (Tốt nghiệp 03-04)

Dạng 2.Tìm hệ số và hằng số của số hạng trong khai triển nhị thức niutơn.

Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x của khai triển:

a

27

1

x x

  b

7 3

4

1

x x

  với x > 0 (D – 04) Bài 2 Tìm hệ số của số hạng

a Chứa 31

x trong khai triển:

40 2

1

x x

 + 

b Chứa x10 trong khai triển:

20 3

2

5

2x

x

Bài 3

a Tìm hệ số của số hạng chứa x y25 10 trong khai triển: ( 3 )15

x +xy

b Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:

5

3

x x

  biết

1

4 3 7( 3)

C ++ −C + = n+ (A - 03)

Bài 4

a Cho khai triển: P(x) = (x+1)9 + (x+1)10 + …+ (x+1)14

= a0 + a1 x + a2x2 + … + a14x14 Tính a9.

c Cho khai triển: (x+2)(x+1)10= x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Tính a5.

d Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển thành đa thức của:

(2x2 - 3x + 1 )(x - 2)15

e Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:x(1-2x)5+x2(1+3x)10(D-07) Bài 5

a Cho khai triển: (2 21 2 )3

x x

n

−

−

+ biết rằng trong khai triển đó C n3 =5C1n và số hạng thứ

t bằng 20n Tìm x, n (A-02)

b.Tìm số hạng không chứa căn trong khai triển: ( 25 +73)12

c Trong khai triển (1+2x)12 Tìm số hạng có hệ số lớn nhất

Bài 6

a Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức: 1+x2(1−x)8(A-04)

b Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển thành đa thức: (1 x+ +2 x3)7

c Tìm hệ số của x y z t5 3 6 6 trong khai triển thành đa thức: (x+y+z+t)20.

d Tìm hệ số của x3n-3 trong khai triển (x2+1)n (x+2)n (D-03)

e Tìm hệ số của x5 trong khai triển: (1 x x+ + +2 x3)10.

Dạng 3 Bài toán sử dụng khái niệm

Bài 1 Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 21 nữ, 29 nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra:

a 2 hs làm cán bộ lớp

b 2 hs trong đó: 1 làm lớp trởng, 1 làm bí th

c 6 hs trong đó: 1 làm LP, 1 làm PBT, 4 làm cán sự lớp

d 10 hs đi thi đấu TDTT trong đó có 6 nam và 4 nữ

e 8 hs đi dự trại hè trong đó có ít nhất 1 nữ

g 7 hs đi múa trong đó có ít nhất 2 nam

h 5 hs đi kể truyện trong đó có nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ

Bài 2 Một hộp bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 5 viên bi xanh(các bi có đánh

số thứ tự từ 1 đến hết) Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:

a 3 vb cùng số và khác màu

b 3 vb khác màu và khác số

c 3 vb cùng màu

d 3 vb không đủ cả 3 màu

e 6 vb trong đó có ít nhất 2 vb đỏ

f 6 vb trong đó số bi đỏ = số bi vàng

Bài 3 Trong 1 môn học gv có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi TB, 15 câu

hỏi dễ Hỏi từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho mỗi đề có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2 (B-04)

Bài 4 Một đội thanh niên xung kích của 1 trờng THPT có 12 hs gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B, 3

hs lớp C Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy (D- 06)

Bài 5 Một đội tuyển hs giỏi của 1 trờng có 18 em gồm 7 hs khối 12, 6 hs khối 11, 5 hs khối

10 Hỏi có bao nhiêu cách cử ra 8 hs trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1

em đợc chọn

Bài 6 Cho 2 đờng thẳng song song là d1 và d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lâý 20

điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn ở d1, d2

Bài 7 a Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th cũng khác nhau Ngời ta lấy 3 tem th và 3 bì th rồi

dán 3 tem th lên 3 bì th Hỏi có bao nhiêu cách làm nh vậy biết mỗi tem th chỉ dán lên 1 bì th

b.Một đội TNTN(thanh niên tình nguyện) có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có

4 nam và 1 nữ

Bài 8 Cho đa giác đều A1A2…A2n (n≥2) nội tiếp đờng tròn tâm 0 Biết rằng số tam giác có các

đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,…,A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n

điểm A1,A2,…,A2n Tìm n

Bài 9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên:

a.Có 4 chữ số Hỏi trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chia hết

cho 5

b Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau

c Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs hàng chục là cs chẵn

d Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs 1 xuất hiện 1 lần

e Có 4 chữ số trong đó cs 5 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại khác nhau và khác 5

g Có 3 chữ số khác nhau và ≤345

Bài 10 Từ các chữ số 0,1,2,3,…,8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên

a có 3 cs và chia hết cho 5

b có 4 cs đôi một khác nhau

c có 4 cs đôi một khác nhau và chia hết cho 2

d có 5 cs đôi một khác nhau và cs 2 xuất hiện 1 lần

e có 5 cs và cs 3 xuất hiện 2 lần, các cs còn lại khác nhau và khác 3

Bài 11

a Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 cs sao cho cs đứng sau lớn hơn cs đứng ngay trớc nó

b Từ các cs số 1,3,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs trong đó có cả 3 cs 1,3,5

c Từ các cs 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 cs trong đó cs 1 xuất hiện 2 lần các cs số còn lại khác nhau và khác 1 xuất hiện 1 lần

d Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs mà 2 cs đứng cạnh nhau là khác nhau

e Từ các cs 1,2,3,…,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 cs mà cs 1 và cs 2

đứng cạnh nhau các cs còn lại khác nhau và khác 1,2

Dạng 3 Tính tổng

+ Tính tổng dựa vào một số khai triển niutơn thờng gặp nh: (1+x)n, (1-x)n + Tính tổng bằng phơng pháp đạo hàm và tích phân:

- Để tính các tổng có dạng: ∑

=

n

k

k n

kC

0

hoặc ∑

=

−

n

k

k n

C k k

0

) 1 ( ta lấy đạo hàm 1 hoặc

2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n

- Để tính các tổng có dạng ∑

n

k

k n

k

C

0 1 hoặc ∑

n

k

k n

k k

C

0( 1)( 2) ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n và chọn cận thích hợp.

Bài 1 Tính các tổng sau:

2000 2000 3

2000

2 2000

1 2000

0 2000

S = − + − + + −

2000 2000 2

2000 2 1 2000

0 2000

2000 2000 4

2000 4 2 2000 2 0 2000

2000 1000 4

2000

2 2000

0 2000

S = + + + +

100

2 100

1 100

0 100

5 C C C C

S = + + + +

Bài 2 Tính các tổng sau:

n

n n

n

n C C nC C

S = 1 + 2 2 + 3 3 + +

1

n n

n

n C C nC C

S = 0 + 2 1 + 3 2 + +

2

n n

n C n n C C

S 2 1 2 3 2 3 ( 1 )

Bài 3 Tính các tổng sau:

n n

n C

C S

1

1

3

1 2

1

n

n n

n

n C

C C

S

1

2

3

2 2

2

2 0 2 1 3 2 1

+

n

n n

n

n C

C C

S

1

1 2

3

1 2 2

1

2 3 1 2 0

− + +

− +

− +

Bài 4

a.Tìm n nguyên dơng sao cho:

0 + 2 1 + 4 2 + + 2 n = 243

n

n n

n

n C C C

b.Biết tổng các hệ số của khai triển n

x 1 ) ( 2 + bằng 1024 Tìm hệ số a của số hạng a.x12 trong khai triển.

c.Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức (2 – 3x)2n với n ∈ N* và

1 2

5 1 2

3 1 2

1 1

+ +

+

n C C C C

d.Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển x n

1 ( 7

4 + biết

1 2

2 1 2

1 1

n n

n C C

e Tìm n nguyên dơng sao cho:

2 2 3 2 4 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2005

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2

1 1

+ +

+ +

n C C C n C

f Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức niutơn (2 + x)n biết:

3 0 − 3 − 1 1 + 3 − 2 2 − 3 − 3 3 + + ( − 1 ) n = 2048

n

n n

n n

n n

n n

g Chứng minh rằng:

1 2

1 2 2

1

6

1 4

1 2

1 2 2

5 2

3 2

1

−

= +

+ +

n

C n C

C

n n

n

Một số bài toán khác

Bài 1 Cm các đẳng thức sau:

a 1+P1 + 2P2 + …+ (n - 1)Pn-1 = Pn

n

k n

k n

k n

k

n C C C C

C + 3 − 1 + 3 − 2 + − 3 = +3

n

k n

k n

k n

k n

k

n C C C C C

C + 4 −1 + 6 −2 + 4 −3 + −4 = +4

3

2 2 3 2

5

2 + + + + + + = ++ + k++

n

k n

k n

k n

k n

k

n C C C C C C

Bài 2 Tính tổng:

1

1 3

2 1

2

1 1 1

3 2 1

+

+ + + + +

=

n

n n n

n n

A

C n A

C A

C A

C S

biết : C n0 +C n1 +C n2 = 211