PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, các dạng lý thuyết về phương trình lượng giác, các bài tập về phương trình lượng giác, các dạng toán về lượng giác, các bài tập cơ bản về lượng giác, giáo án bài giảng về lượng giác và phương trình lượng giác

Trang 1

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phöông trình sinx = sinα

c sinu= −sinv ⇔ sinu=sin( )−v

d sin cos sin sin

c cosu= −cosv ⇔ cosu=cos(π −v)

d cos sin cos cos

cosx= ± ⇔1 cos x= ⇔1 sin x= ⇔0 sinx= 0 ⇔ x k= π (k Z∈ )

3 Phöông trình tanx = tanα

a tanx= tanα ⇔ = +x α kπ (k Z∈ )

b tanx= a ⇔ x= arctana k k Z+ π( ∈ )

c tanu= −tanv ⇔ tanu=tan( )−v

d tan cot tan tan

Trang 2

e tan cot tan tan

5 Một số điều cần chú ý

a Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, cómẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặtđiều kiện để phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện ( )

2

x≠ +π kπ k Z∈

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện x k≠ π (k Z∈ )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

Trang 3

1) sin 2( x− =1) sin 3( x+1) 2) cos cos 2

4

x= π − x

  14) sin2x=cos3x 15)π

Trang 4

Bài 2. Giải các phương trình:

4

x k= π x= ± − +k π k∈¢) g)2sin2x+3sin cosx x−5cos2x=0 ⇔2 nta 2x+3 nta x− =5 0

Bài 5. Giải các phương trình

1) sin 3( x+ =1 sin) (x−2) 2) cos cos 2

Trang 5

3

24

Trang 6

k x

36060

0 0

k x

36060

0 0

k x

18060

0 0

k x

36060

0 0

Câu 11 Nghiệm của phương trình cos 2 3

Trang 8

Câu 32.Với−1200 < <x 900 thì nghiệm của phương trình ( 0) 2

Câu 36 Nghiệm của phương trình lượng giác: 2

cos x−cosx=0 thỏa điều kiện 0 x< <π là:

Câu 39 Tập nghiệm của phương trình 3 tan( ) 3 0

Trang 9

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu đặt t=sin2x hoặc t= sinx thì điều kiện: 0≤ ≤t 1

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0 2) 2sin2x – cos2x - 4sinx +

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

1) 4sin4x + 12cos2x = 7 2) 6sin23x + cos12x = 143) 23 =3cot + 3

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

1) 4sin3x – 8sin2x+sinx + 3 = 0 2) 2tan3x + tan2x – 23tanx+ 10 = 0

3) 4(sin3x-cos2x) = 5(sinx – 1) 4) cos3x + 3cos2x = 2(1+cosx)

Trang 10

5) 2cos2x – 8cosx +7 = 1

cosx (ĐHNNHN2000)6) 4cos3x+3 2sin2x=8cosx 7)1 osx+cos2x+cos3x=0+c

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4)

2

tan x+ −1 3 tanx− 3 0=

5) 4sin2x−2 3 1 sin( + ) x+ 3 0= 6) 4cos3x+3 2sin2x=8cosx

7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 09) sin 22 x+5 os2c x+ =1 0 10)cos2x-sinx 2 0 + =

11) cos2x-cosx-2 0= 12)2tanx−3cotx+ =1 0

17)1 5sin− x+2cos2x=0 18) cos2x+sin2x+2cosx+1=0

Bài 2. Giải các phương trình sau

1) 4sin23x + 2 3 1 cos3( + ) x− 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 03) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4)

cos x x 12) 32 −2 3cot − =6 0

sin x x

Trang 11

1) cos2x 3cosx 4cos2 x

2

2tan x 2tan x 3tanx 3 0 10) 4sin3x−10sin2x+6sinx− =1 0

11) cos3x+5sin2x+7cosx− =7 0 12) 2sin3x c x− os −sinx=0

13) 3sin3x−3 osc 2x+7sinx c− os2x+1 0= 14) 5cos3x−3sin2x+8cosx− =1 0

Bài 4. Cho phương trình sin sin3 cos3 3 cos2

Trang 12

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

2

x t

=

Ghi chú

1 Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2 Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cónghiệm a2+b2≥c2

3 Bất đẳng thức B.C.S

.sin cos sin cos

y= a x b+ x ≤ a +b x+ x= a +b

Trang 13

2 2 2 2 sin cosminy a b vàmaxy a b x x tanx a

CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ Giải các phương trình sau

1) 3 sinx+cosx= 2 2) 3 sinx−cosx= 2 3) cos 7x− 3 sin 7x= − 2

4) sin5x+ 3cos5x=2sin7x 5)3sin 3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x 6)

cos7x-sin5x= 3( os5x-sin7x)c 7) sin4x c− os4x= +1 2 3sinxcosx 8)

7

212

1) cosx+ 3sinx= 2 2) sin cos 6

10) 2cos13x=sinx+cosx 11) 3sin5x c− os5x=2sin3x

12) sin3x− 3 os3c x=2sin2x 13) π + − π

cos 2 3cos( -2x)=1

2 x

1) 2sin2x+ 3sin2x=3 2) sin8x−cos6x= 3 sin6( x+cos8x)

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Trang 14

Bài 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1) (m + 2)sinx + mcosx = 22)msinx + (m - 1)cosx = 2m + 1

Bài 6. Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3vô nghiệm

Bài 7. Tìm max, min của hàm số

x y

osx+2

y c

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý cosx = 0 sin2 1 sin 1

Cách 2 Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin2 1 cos2

1) sin2x+sin osx+3cosxc 2x− =3 0 2) 2sin2x+3sin osx+3cosxc 2x− =2 0

3) sin2x−3sin osx+2cosxc 2x=0 4) 3sin2x− 3sin osx+2cosxc 2x− =2 05) sin2x−3sin osx+1 0xc = 6)

Trang 15

1) 4sin3x+3cos3x−3sinx−sin x osx 02 c = 2) cos3x+sinx−3sin2xcosx=03) sin3x− 3cos3x=sinx os x- 3sin osx(B2009)c 2 2xc 4) cos3x−sin3x=sinx c− osx5) cos3x−4sin3x−3 os sin x+sinx 0c x 2 = 6)2cos3x=sin3x

7)sinx.sin2x+sin3x=6cos3x 8) 1 3sin2+ x=2tanx

1) 2sin2x+ −(1 3 sin cos) x x+ −(1 3 cos) 2x=1

2) 3sin2x+8sin cosx x+(8 3 9 cos− ) 2x=0

3) 4sin2x+3 3sin cosx x−2cos2x=4

4) sin2 sin2 2cos2 1

2

x+ x− x=

5) 2sin2x+ +(3 3 sin cos) x x+( 3 1 cos− ) 2x= −1

6) 5sin2x+2 3sin cosx x+3cos2x=2

7) 3sin2x+8sin cosx x+4cos2x=0

8) ( 2 1 sin− ) 2x+sin2x+( 2 1 cos+ ) 2x= 2

9) ( 3 1 sin+ ) 2x−2 3sin cosx x+( 3 1 cos− ) 2x=0

10) 3cos4x−4sin2xcos2x+sin4x=0

11) cos2x + 3sin2x + 2 3sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

Trang 16

1) 4cos3x+2sin3x−3sinx=0 2) cos3x−4sin2x−3sin osx+sinx 02xc =

3) cos3x−sin3x=sinx c+ osx 4) 2cos3x=sin3x 5) 2cos3x=sinx

1) sin3x + 2sin2x.cosx – 3cos3x = 0 2) 3sin cos sin2 2 1

• Đặt cos sin 2.cos ; 2

4

t= x± x= x  t ≤

 m π

Lưu ý dấu

Dạng 2 a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

• Đặt cos sin 2 cos ; : 0 2

4

t= x± x = x  Đk ≤ ≤t

 m π

21sin cos ( 1)

1) 2sin2x−3 3 sin( x+cosx)+ =8 0 2) 2 sin( x+cosx)+3sin2x=2

3) 3 sin( x+cosx)+2sin2x= −3 4) (1− 2 1 sin) ( + x+cosx) =sin2x

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)

Trang 17

1) sin2x−4 cos( x−sinx)=4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 03) (1− 2 1 sin) ( + x−cosx)=sin2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

sinx−cosx − 2 1 (sin+ x−cos )x + 2 0=

1) sin3x + cos3x = 1 + ( 2 2− )sinx.cosx 2) 2sin2x –

3 6 sinx+cosx+ =8 0

VI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Bài 1. Giải các phương trình sau

1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3

23) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x +cos24x = 3

24) sin23x - sin22x - sin2x = 0 5) sin2x = cos22x + cos23x

7) sin23x - cos24x = sin25x -cos26x (B2002) 8) cos2x + cos22x + cos23x+ cos24x = 2

9) sin2x - sin23x = cos22x -cos24x 10) cos2x + cos22x + cos23x =sin2x +sin22x + sin23x

1) sin6x + cos6x = 1

8x + cos8x = 1

83) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x +2

1

4sin 2x – 1 = 0

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 03) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx +1) = 3 – 4cos2x

7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x

8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x)

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x +sinx = 0

Trang 18

4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

1) sin3x + cos3x + 1 sin2 sin

Trang 19

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 - 2015 Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :

sin 3 2 x− cos 4 2 x= sin 5 2 x− cos 6 2 x ĐS: ;

x= π x= π

( k Z∈ )

Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [0;14 nghiệm đũng của phương trình : ]

cos3x−4cos2x+3cosx− =4 0 ĐS: ; 3 ; 5 ; 7

Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

os2 2 2 cos 2 2 cos 3

c A+ B+ C= Tính ba góc của tam giác ABC

ĐS: A=90 ;0 B C= =450

Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình:

5sinx− =2 3(1 sinx) tan − 2x ĐS: 2 ; 5 2

x= +π k π x= π +k π (

Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình:

(2 cosx−1)(2sinx+cos ) sin 2x = x−s inx. ĐS: 2 ;

1 sin+ x+cosx+sin 2x c+ os2x=0 ĐS: x= ±23π +k2 ;π x= − +π4 kπ (

x= π +k π

( k Z∈ )

cot s inx 1 tan x tan 4

Trang 20

os3c x c+ os2x−cosx− =1 0 ĐS: ; 2 2

3

x k= π x= ± π +k π (

k Z∈ )

Bài 16 (ĐH A2007) Giải hệ phương trình:

(1 sin + 2 x)cosx+ +(1 cos 2 x)sinx= + 1 sin 2x

x k= π x= +π k π x= − +π kπ

(k Z∈ )

Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình

2 sin 2 2 x+ sin 7x− = 1 sinx

Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình:

sin3 x− 3 osc 3x=sin x cos2 x− 3 sin2 xcosx

Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình:

2sinx 1 cos2x( + ) +sin2x 1 2cosx= + ĐS: 2 2 ;

Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình:

sinx+ cos sin 2x x+ 3 cos 3x= 2 cos 4( x+ sin 3x)

Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình :

3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0− − = ĐS: ;

x= π + π x= − +π π

(k Z∈ )

Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :

(1 sinx cos 2 ) in( 4) 1 cos

(sin 2x c+ os2 ) cosx x c+ os2x s− inx=0 ĐS:

Trang 21

sin2x cos 2 − x+ 3sinx− cosx− = 1 0 ĐS: 2 ; 5 2

x= +π k π x= π +k π

(k Z∈ )

Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình:

1 sin 2 2 os2 2 sin x sin 2

1 cot

x c x

x x

+ ĐS: x 2 k ;x 4 k2

= + = + (k Z∈ )

sin2x cos +sinxcosx=cos2x+sinx cosx + x

2(cosx+ 3 sin ) cosx x=cosx− 3 sinx+1

sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x

Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình

sin 3x cos 2x sinx 0+ − = ĐS: ; 2 ; 7 2

k

x= +π π x= − +π k π x= π +k π

( k Z∈ )

Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình 2 (sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x.

ĐS: x = kπ (k thuộc Z) Bài 42 (CĐ2012) Giải phương trình: 2cos2x + sin x = sin 3x.

ĐS: x = π.4 + kπ.2 (k thuộc Z); x = π.2 + n2π Bài 43 (CĐ2013) Giải phương trình: cos (π.2 – x) + sin 2x = 0.

ĐS: x = k2π.3 hoặc x = π + k2π Bài 44 (THPTQG2016) Giải phương trình:

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,74 MB
File đính kèm	PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.rar (555 KB)