ĐÁP án TOÁN lớp 8

Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp... Từ nhận xét: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của nó bé nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau... Gọi

ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 8

PHẦN ĐẠI SỐCHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

§1 Nhân đơn thức với đa thức

Bài 2:

a) 5x + 10x2 – 5x3 b) 3a3b3 – 3a2b3 + 3a2b4 + 3ab5.c) 10a3b – 0,6a2b2 + 4a2b d) -0,9x4y2 + 0,3x5 – 15x4.Bài 3:

Tiết 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = 1)

b) B = -(9x2 + 6x – 19) = -(3x + 1)2 + 20 ≤20 (dấu “=” xảy ra khi x = 1

a) 3810 = (39 – 1)10 = B(39) + (-1)10 = 13k + 1 Vậy 3810 chia cho 13 dư 1.b) 389 = (39 – 1)9 = B(39) + (-1)9 = 13k – 1 Vậy 389 chia cho 13 dư 12.

Tiết 8,9, 10: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 4:

a) Tách 3xyz = xyz + xyz + xyz;

ĐS: (x + y + z)(xy + yz + zx)

b) xy(x + y) – yz(y + z) + zx[(x y+ − +) (y z)]

= xy(x + y) + zx(x + y) – yz(y + z) – zx(y + z)

= x(x + y)(y + z) – z(y + z)(y + x) = (x + y)(y + z)(x – z)

c) Tách x2 – y2 = -(y2−z2) (+ z2−x2) 

ĐS: (x – y)(y – z)(z – x)

Bài 5:

a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1)

= a(a – 1)(a + 1)a2− +4 5= a(a – 1)(a + 1)[(a−2)(a+ +2) 5]

= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)

Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó a5 – a M 5

Ta thấy a5 – a = a(a – 1)(a + 1)(a2 + 1)

Do (a – 1)a (a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3, tức là chia hết cho 6 vì (2, 3) = 1

a5 – a vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 6 mà (5, 6) = 1 nên a5 – a M 30.Bài 6:

(1) ⇒ (x + y)(y + z)(z + x) – 8xyz = 0

Khai triển và thu gọn đẳng thức trên ta được

Bài 10:

a) Đặt x = a – b; y = b – c; z = c – a thì x + y + z = 0, do đó x3 + y3 + z3 = 3xyz

Vậy A = 3(a – b)(b – c)(c – a)

= x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) − − −x3 y3 z3

= 3(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x)

b) A = (a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 – (b + a – c)3

Đặt x = b + c – a; y = c + a – b; z = b + a – c thì x + y + z = a + b + c.Vậy A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) (theo câu a)

Tiết 10: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Tiết 11: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Bài 3: Từ điều kiện a2 + 3b2 = 4ab suy ra a2 + 3b2 – 4ab = 0 hay (a – b)(a – 3b) = 0

• Xét tích ab(c2 – 2d2) = abc2 – 2abd2 = ac – 2abd2

= ac.ad – 2abd2 = a2cd – 2abd2

Từ (1) và (2) suy ra cd(a2 – 2b2) = ab(c2 – 2d2)

Bài 5: Ta có: 5 7 29

a b

a+ =+ b suy ra 28(5a + 7b) = 29(6a + 5b)

⇒ 140a + 196b = 174a + 145b hay 2a = 3b (1)

Bài 9: Tính x và y theo z, được x = 2z, y = 3z Thay các giá trị của x và y

vào biểu thức M và rút gọn được M = 8

13

− Bài 10: Gọi vế trái của đẳng thức là A, vế phải là B

−

− Do đó A = B.

Nếu x = 1 thì hai vế của đẳng thức đều bằng 32 Do đó A = B

Trong cả hai trường hợp đẳng thức đều đúng

x x x

x x

Từ nhận xét: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của nó bé nhất khi

và chỉ khi hai số đó bằng nhau

5x 4x 1 5 4 1

x x x

§ 7: PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.

§ 8: PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

§ 9: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

Bài 2: Biểu thức có dạng A.B

2 2

Vế trái bằng vế phải nên hằng đẳng thức trên là đúng.

b) Biến đổi vế trái:

− + − − =+ (không phụ thuộc vào x).Bài 12:

=

2 2

c) Muốn K có giá trị nguyên x phải là ước của 2003

Mà 2003 là số nguyên tố chỉ có ước dương là 1 và 2003, nên x = ± 1 và x =

a a

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.

Bài 2

2

Bài 4

a) 100x – 100 + 120 – (135x – 15) = 72x + 24 – 60

⇔ –35x – 72x = –36 – 35 ⇔ –107x = –71 ⇔ x = 71

107 b) x = 201

Bài 5

a) x = 45

19 c) ⇔ 2004.5 – 2004x – 2.2004.2003 = 2.2003 – 2003x – 2004.5x

Bài 8 Ta có phương trình 4x – 25 = 37

Vậy số phải tìm là : 15,5.

Bài 9 Gọi hai số nguyên liên tiếp là x và x + 1

Từ đề bài ta có phương trình x2 – (x + 1)2= 11

Vậy hai số phải tìm là: –6 và –5

Chú ý: Bằng cách đặt (x + 1)2 – x2 = 11 ta còn tìm được hai số nguyên liên tiếp thỏa mãn đề bài là 5 và 6

Phân tích vế trái thành thừa số ta có:

6x3 + 5x2 – 6x – 12x2 – 10x + 12 = x(6x2 + 5x – 6) – 2(6x2 + 5x – 6)

= (x – 2)(6x2 + 5x – 6)Phân tích 6x2 + 5x – 6 = 6x2 – 4x + 9x – 6

§ 5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

y2 – 22y + 117 = 0 ⇔ (y – 9)(y – 13) = 0 ⇔ y = 9, y = 13 (đều thỏa mãn

Gọi vận tốc của xe máy thứ hai là x (km/h) (x > 0)

Nên vận tốc của xe máy thứ nhất là x + 10 (km/h)

Quãng đường xe máy thứ hai cách B sau khi đi 3 giờ 45 phút là (x + 10) 3

3 4

:

5 (km)

Vậy ta có phương trình : (x + 10) 3

3 4

– 3 3 4

x = (x + 10) 3

3 4

: 5 ⇔ x = 40.

x = 40 thỏa mãn điều kiện đề bài, nên vận tốc của xe máy thứ hai là 40 km/h,

xe máy thứ nhất là 50 km/h Quãng đường AB dài 187,5 km

Bài 2

Đáp số: 23 giờ 40 phút

Gọi thời điểm 2 ô tô gặp nhau lúc x giờ, x > 12

Theo giả thiết ta lập bảng sau

Thời gian (h) Vận tốc (km/h) Quãng đường (km/h)

Hai ô tô gặp nhau nghĩa là quãng đường ô tô thứ nhất đi được bằng quãng đương ô tô thứ hai đi được Vậy ta có phương trình : 71 .50 ( 12)70.

8 h Gọi x giờ là thời gian hai ô tô gặp nhau x > 0

Theo giả thiết ta có bảng sau:

Quãng đường ca nô xuôi dòng trong 4 giờ là: (x + 1,5).4 (km)

Quãng đường ca nô ngược dòng trong 2 giờ là: (x – 1,5).2 (km)

Theo đề bài quãng đường ca nô xuôi dòng trong 4 giờ bằng 2,4 lần quãng đường ca nô ngược dòng trong 2 giờ Vậy ta có phương trình:

Gọi x (chi tiết) là số lượng chi tiết mà tổ 1 phải làm theo kế hoạch

x (công việc)

21 giờ người thứ hai làm được: 21

x (công việc)Theo đề bài ta có phương trình:

21

15 ⇔ x = 45

x = 45 thỏa mãn điều kiện đề bài, vậy người thứ hai làm một mình thì trong

45 giờ sẽ hoàn thành công việc

Người thứ nhất làm một mình thì trong 45

2 h = 22h30’ sẽ hoàn thành công việc

Kết hợp với điều kiện ta có x = 3

Vậy thời gian hoàn thành công việc một mình của tổ một và tổ hai lần lượt là

6 giờ và 3 giờ

Bài 9

2 giờ 30 phút = 2,5 giờ; 2 giờ 45 phút = 11

4 giờ

Gọi phần trăm dung tích bể dưới vòi II là x %, với 0 < x < 100

Năng suất của vòi I và vòi II lần lượt là: 2 2 1; 1

5 5 4 10 = (bể/giờ).

Thời gian vòi I chảy và vòi II chảy cho đến khi mực nước trong bể đạt x % (tức là lúc vòi II bắt đầu có tác dụng tháo nước ra) là: 2,5.x% =

Gọi tuổi con hiện nay là x, x nguyên và dương

Tuổi bố hiện nay là 2,4x (tuổi)

Năm năm trước đây tuổi con là x – 5 (tuổi), tuổi bố là: 2,4x – 5 (tuổi)

Theo đề bài ta có phương trình:

Bài 16

ĐS: Đáy nhỏ: 10cm

Đáy lớn: 25cm

Gọi đáy nhỏ là x (cm), (x > 0), vậy đáy lớn là x + 15 (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: ( 15).8

ÔN TẬP CHƯƠNG III

Bài 1

Bài 2

a) Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Chia hai vế của (1) cho x2 ta được:

x x x ; x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc dự định là 40 km/h Thời gian dự định đi hết quãng đường là 3 giờ

Bài 7

Gọi phần việc đội I làm được trong một ngày là x (công việc ; x >0)

Trong một ngày cả hai đội làm được 1

4 công việc nên trong một ngày đội II làm được 1

4 – x (công việc)

Tuổi con hiện nay là 10, tuổi mẹ hiện nay là 34.

Bài 9 Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h) Phương trình :

CHƯƠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

§ 1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG.

§ 2 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN.

Bài 1

a) a + 3 > b + 3 (vì cộng 3 vào hai vế của a > b)

b) –7 + a > –7 + b (vì cộng (–7) vào hai vế của a > b)

d > 1

c (4)e) d < b và d, b > 0 nên 1 > 1

d b (5)2) Từ (1), (2), (3), (4), (5), ta có dãy 4 số liên tiếp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn: 1 1 1 1; ; ;

Bài 5

a) m – 5 > 10n – 5, thì m > n (cộng 5 vào hai vế), mà n > 4

Vậy m > n > 4

b) 10m > n, thì m > n (nhân hai vế với 1

10), mà n > 1

4.Vậy m > n > 1

4 c) 9 – m < 9 – n, thì –m < –n (cộng –9 vào hai vế) ⇒ m > n (nhân cả hai vế

với –1, mà m < –10, nên –10 > m > n

d) –2004m > –2004n ⇒ m < n (nhân hai vế với 1

2004

− ) , mà n < –2003, nên m < n< –2003

/ / / / / / / / / / / / /

-3

|

)

-1/ / / / / / / / / / / / /

c) Tìm nghiệm của bất phương trình ẩn a:

Biểu diễn trên trục số:

b

Vậy với 15< <b 13 Thì tích của hai phân thức đã cho âm

Biểu diễn trên trục số:

Bài 9 Xem Bài 8 c) và d)

a) Nếu x + 1 > 0 và x – 1 < 0 suy ra –1 < x < 1

Nếu x + 1 < 0 và x – 1 > 0 bất phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của bất phương trình là –1 < x < 1

b) (x – 5) (x – 2) > 0 có hai trường hợp xảy ra:

Nếu x – 5 > 0 và x – 2 > 0 suy ra x > 5

Nếu x – 5 < 0 và x – 2 < 0 suy ra x < 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 5 hoặc x < 2

/ / / / / / / / / / 1

3

)

|

150

x/ / / / / / / / /(

c) Có hai trường hợp xảy ra:

Nếu m = 1

4 thì (1) vô nghiệm

Nếu m > 14 thì nghiệm của (1) là x > 4m1−1

Nếu m < 14 thì nghiệm của (1) là x < 4m1−1

m

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dấu “=” xảy ra khi (x + 1)(–x + 1) ≥ 0

⇒ |x + 1| + |–x + 1| ≥ 2 Dấu “=” xảy ra khi (x + 1) (–x + 1) ≥ 0Vậy A đạt GTNN khi (x + 1)(–x + 1) ≥ 0

Vậy A đạt GTNN = 2 khi –1 ≤ x ≤ 1

Bài 6

− 3

4

|4x – 3| 3 – 4x 3 – 4x 0 4x – 3

|4x + 1| –4x – 1 0 4x + 1 4x + 1

(1) 0x < –4 –8x < –2 0x < 4

Kết hợp hai trường hợp, ta có A ≤ –3, với mọi x.

Vậy A max = –3 khi x < 2

Bài 9.

Ta có |5x – 1| + |5x + 6| = |–5x + 1| + |5x + 6| ≥ |–5x + 1 + 5x + 6| = 7 Với mọi x

Vậy với a > 1 hoặc a < 1

2 , thì tích của hai phân thức đã cho dương.Biểu diễn trên trục số:

3 1

5



− > ⇔ > ⇔



 + < ⇔ < 

không tồn tại b vừa lớn hơn 13 lại bé hơn 15

• Nếu 3b – 1 < 0 và 1 + 5b > 0:

1

3

5



− < ⇔ < ⇔ < <



 + < ⇔ < 

b

Vậy với 1

5 < b < 1

3 Thì tích của hai phân thức đã cho âm

Biểu diễn trên trục số:

(

/ / / / / / / / / x

5

1 3 / / / / / / / / / /

Bài 9

1 a) Ta có: 5 3 2 5 3 4 2 0 5 0

− < ⇔ − − − < ⇔ − <

Lập bảng xét dấu ta có:

x 12 5

x–5 – – 0 +

2x–1 – // + +

VT + // – 0 +

2 < x < 5

Vậy x ∈ {1; 2; 3; 4}

b) Ta có:

− + + < ⇔ − + + − + − <

− + + + + − − + <

( 5)( 3) <

⇔ (x + 5)(x – 3) < 0

Lập bảng xét dấu ta có:

x –5 3

x + 5 – // + +

x – 3 – – // +

VT + // – // +

⇒ –5 < x < 3

Vậy x ∈ {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2}

2 a) Giải (1) ta có:

− < + + − ⇔ − − − < + + −

6

− − + − − − + <

⇔ –4x – 7 < 0

⇔ x > –7

4

Giải (2) ta có:

5

+ − + > + − − ⇔ + − −

⇔ 6x + 24 – 30x + 150 – 10x – 30 + 15x – 30 > 0

⇔ –19x > –144

⇔ x < 6

Kết hợp (1) và (2) ta có: −74 < x < 6

Vậy x ∈ {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

b) Giải (1) ta có:

+ − > − − ⇔ + − > − −

⇔ 6x + 144 – 10x – 30x + 15x – 30 > 0

⇔ –19x > –144

⇔ x < 6

Giải (2) ta có: 7x8+3+x12−3 ≥2124x+9+2x24−6 ≥7224

⇔ 21x + 9 + 2x – 6 ≥ 72

⇔ 23x ≥ 69

Kết hợp (1) và (2) ta có: 3 ≤ x < 6

Vậy x ∈ {3; 4; 5}

Để giải phương trình trên ta phải quy về giải hai phương trình:

• x + 5 = 2 với điều kiện x ≥ – 5.

x + 5 = 2 ⇔ x = –3 thỏa mãn x ≥ –5 nên x = –3 là nghiệm của phương trình

• – x – 5 = 2 ⇔ x = –7 thỏa mãn x < –5 nên x = –7 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x = –3 và x = –7

Để giải phương trình trên ta phải quy về giải hai phương trình:

x – 1 = 15x – 5 với điều kiện x ≥ 1 và – x + 1 = 15x – 5 với điều kiện x < 1

• x – 1 = 15x – 5 ⇔ –14x = –4 ⇔ x = 2

7 < 1 (loại)

• –x + 1 = 15x – 5 ⇔ –16x = –6 ⇔ x = 3

8 < 1 (thỏa mãn)Vậy phương trình có một nghiệm x = 38

8

− d) |x + 1| = |x(x + 1)| Ta phải quy về giải ba phương trình:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = –5

b) 5x – 3 + |–3x| = 13, ta đưa về giải hai phương trình :

a) |x + 5| > 3, quy về việc giải hai bất phương trình:

x + 5 > 3 hoặc x + 5 < –3, suy ra x > –2 hoặc x < –8

b) |2 – x| ≥ 12 , quy về việc giải hai bất phương trình:

2 – x ≥ 12 hoặc 2 – x ≥ –12 , suy ra x ≤ 1,5 hoặc x ≥ 2,5

c) |x – 6| < 3 ⇔ –3 < x – 6 < 3 ⇔ 3 < x < 9d) |5 – 2x| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ 5 – 2x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3.

ÔN TẬP CUỐI NĂM

− + +

c) Áp dụng hằng đẳng thức xn – 1 = (x – 1)(xn–1 + xn–2 + …+1) ta có phương trình :

m

Nếu m = 2 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Nếu m = –2 thì phương trình vô nghiệm

6

−m + m−

c) ĐKXĐ: x ≠ –m

Biến đổi phương trình về dạng mx = m (m + 10)

Nếu m ≠ 0 và m ≠ – 5 thì phương trình có nghiệm x = m + 10

Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm với mọi x ≠ 0

Nếu m = –5 thì phương trình vô nghiệm

Gọi số sản phẩm XN 1 sản xuất trong quý I là x (x < 900, x ∈ Z+ )

Trong quý I cả hai xí nghiệp sản xuất được 900 sản phẩm nên số sản phẩm mà XN 2 sản xuất được là 900 – x sản phẩm.

Quý II: XN 1 sản xuất được: x + 115

XN 2 sản xuất được: (900 – x) + 20 (900 ) 120(900 )

−

−x = x (Sp) Theo bài ra ta có phương trình: (Dựa trên cơ sở quý II cả 2 XN sản xuất được 1045 sản phẩm)

Trong quý II XN 1 làm được 115.700 805

100 = (Sp)

XN 1 làm được 1045 – 805 = 240 (Sp)

Đáp số: XN 1 sản xuất được 805 sản phẩm trong quý II

XN 2 sản xuất được 240 sản phẩm trong quý II.