Chứng minh rằng tích abcd là số chính phương... Nếu học sinh có làm cũng không chấm... - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
Năm học 2010-2011 Môn: Toán 8
Thời gian làm bài 120 phút;
Câu 1: (3.0 điểm )
a/ Phân tích đa thức (a+2)(a+3)(a2 +a+6)+4a2thành nhân tử
b/ Cho các số thực , ,a b c thoả mãn a3− − = − −b2 b b3 c2 c 3 2 1
3
Chứng minh rằng a b c= =
Câu 2: (3.5 điểm)
a/ Giải và biện luận phương trình (ẩn )x : 2 1
2
x m x
b/ Giải phương trình nghiệm nguyên: (x−3)y2 −x2 =48
Câu 3: (3.5 điểm)
a/ Chứng minh rằng a2 + − − + > ∀ ∈b2 a b 1 0 a,b R
b/ Cho các số nguyên dương a,b,c,d đôi một khác nhau thoả mãn
a b b c c d+ + +d a
+ + + + là một số nguyên Chứng minh rằng tích abcd là số chính phương
====== HẾT ======
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh………SBD………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
NĂM HỌC 2010-2011.
Chú ý: Do câu 4 đề bài bị sai nên:
- Bỏ câu 4 khỏi hướng dẫn chấm Nếu học sinh có làm cũng không chấm.
- Điểm của câu 4 được điều chỉnh vào 3 câu còn lại.
1
a/ (a+ 2)(a+ 3)(a2 + + +a 6) 4a2 = (a2 + 5a+ 6)(a2 + + +a 6) 4a2
= (a2 + + +a 6 4 )(a a2 + + +a 6) 4a2 = (a2 + +a 6) 2 + 4 (a a2 + + +a 6) 4a2
(a + + +a 6 2 )a = (a + 3a+ 6)
0,5 0,5 0,5
b/ Ta có
2
0
a − − = ⇒b b a = + + =b b b+ + > ∀b
Chứng minh tương tự ta được b> 0;c> 0.
Do a b c, , hoán vị vòng quanh nên ta giả sử a m= ax , ,{a b c} (1)
Với a b c, , > 0 : 3 3
a b≥ ⇒a ≥ ⇒b
2
b
2
b c≥ ⇒
2
c
> 1 2 1
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra a b c= =
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
2
2
x m x
ĐKXĐ: x m x≠ ; ≠ − 2.
Với điều kiện trên, quy đồng và khử mẫu ta có phương trình
x − = x − m+ x m+ ⇔ m+ x m= + (1)
+ Nếu m= −1 thì phương trình (1) trở thành 0x=3 (vô lý)
+ Nếu m≠ −1 thì PT (1) có nghiệm 4
1
m x m
+
= + .
1
m x m
+
= + là nghiệm của PT (*) khi m thoả mãn điều kiện 4
1
m
m
m+ ≠
4 2 1
m
m+ ≠ −
Kết luận:
Nếu m= −1 hoặc m = - 2 hoặc m = 2 thì phương trình (*) vô nghệm
0,25
0,25 0,25 0,25
0,5
Trang 3Nếu m≠ −1, m≠ ±2 thì PT (*) có nghiệm 4
1
m x m
+
= + .
0,25
b/
(x−3)y −x =48⇔ −(x 3)y −(x − =9) 48 9+ ⇔ −(x 3)(y − − =x 3) 57
Vì ,x y là số nguyên nên x−3 và y2− −x 3 là ước của 57
Mà 57=(-1).(-57)=1.57=3.19=(-3).(-19) nên ta có bảng sau
3
2 3
y
không tồn tại y
8
± tồn tại ykhông tồn tại ykhông không tồntại y ± 8 tồn tại ykhông tồn tại ykhông
KL : Nghiệm của PT là : (x,y)=(4 ;8);(4 ;-8) ;(60 ;8) ;(60 ;-8)
0,5 0,25 0,25
0,5
0,25
3
a/
Vì 2(a2 + − − + =b2 a b 1) 2a2+2b2 −2a−2b+2
= − + − + + ≥ nên a2 + − − + ≥b2 a b 1 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(vô lý)
Vậy a2 + − − + >b2 a b 1 0
0,5 0,5
0,5
Trang 4b/ T a có a b c d
a b b c c d+ + +d a
1
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b b c c d+ + +d a
3
a b c d b c d a c d a b d a b c
( Áp dụng tính chất m 1
n < ⇒ m m x
n n x
+
<
+ với , ,m n x Z∈ + ) 2
a b b c c d d a
2
0
0
abcd=(ac)
a b b c c d d a
a b b c d a c d
a b b c d a c d
b d a c d d a b b c
ac bd
0,25
0,25
0,5
0,5 0,5
Ghi chú :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.
=====================