hoc gioi bất đẳng thức 8

.............................................................................................................................................................................................................................................................

Chuyên đề Bất đẳng thức và GTLN, GTNN

Bài 1 Cho x,y,z không âm và 1 1 1 2

Giải

Ta có:

Tương tự:

2 (2)

2 (3)

x z

x y





Nhân các vế của các bất đẳng thức (1)(2)(3), ta có:

1

( 1).( 1).( 1) ( 1).( 1).( 1)

1

xyz

8

xyz

MaxP khi x  y z

Bài 2 Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) và x+y+z=2 Tìm GTNN:

P



Giải

Đặt a=1-x ; b=1-y ; c=1-z ( a;b;c > 0 )

Suy ra: a+b+c=1

P

     

3

MinP khi x   y z

Bài 3 Cho x,y,z>0 và xyz = 1 Tìm GTLN: 2 1 2 2 1 2 2 1 2

P

Giải

Ta có:

2 2 2 2 2

TT:

1

1

x y

P

   





1

1

2

y

xyz

 

    

Bài 4 Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm GTLN của: P xyz yxz zxy

Giải

Ta có:

1

3

x x y z yz y x y z xz z x y z xy

x y z

Bài 5 Cho x,y,z>0 và x+y+z=xyz Tìm GTLN:

P

Giải

Ta có:

xy yz zx

2 2 2

P

1

 



P

P

P

P

uv vw wu

Bài 6 Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Tìm GTNN: P x y y z z x

Giải

Theo giải thiết:

3

1

3

P

   

Bài 7 Cho x,y,z>0 và xyz=1 Tìm GTNN:

P

Giải

Ta có:

     

P

  

     

do xyz

xy yz zx

Bài 8 Cho x,y,z>0 và 2 2 2

1

Giải

Theo giải thiết:

1

P

   

  

  

Ta có:

2

2

min

x

P



Bài 9 Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm GTNN: P 31 3 1



Giải

Theo giả thiết:

2 3 3 1

3 1

3

2

1

P

P

P

xy

x y

y

           

   

  





    

     





2 3 3 3 2

















Bài 10 Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm GTNN:

P

Giải

Theo giả thiết:

1 ' '

2

x y

   

Mặt khác:

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:

4

2 2

P

P



 

1

" "

2

   

P

x y

Bài 11 Cho x,,y>1 Tìm GTNN:

( 1)( 1)

P



Giải

2

min 8.

P

P

P

  

 

   

Bài 12 Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Tìm GTLN của:

P

Giải

Ta có:

1 1 1

P

Áp dụng BĐT coossi cơ bản:

3

4

max

P

 

    

Bài 13 Cho x,y,z>0 và 1 1 1

4

P

Giải

Áp dụng BĐT Cô si cơ bản 2 lần ta có:

Tương tự ta có các BĐT khác, cộng vế với vế các BĐT này ta có:

3

4

P

Bài 14 Cho x,y>0 và x + y <1 Tìm GTNN:

1

Giải

Ta có:

1

2

P

Theo BĐT cô si:

  1 1 1

max

Bài 15 Cho x,y,z thỏa mãn: x2 y2z2 3 Tìm GTNN của:

P

Giải

Theo BĐT cô si cơ bản:

3

2

P

    

Bài 16 Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Tìm GTLN:

P

Giải

Ta có:

P

Áp dụng BĐT:

2

0

1

3

P

 

Bài 17 Cho x,y,z>0 và x+y+z=3 Tìm GTLN của:

P

Giải

Ta có:

P

3 9

3

4

P

Bài 18 Cho x,y>0 và 4

3

3

P

 

Giải

P

Ta có:

4

3

1

3 4

3

P

x y

 



      



 



       



  



Bài 19 Cho x,y,z,t>0 Tìm GTNN: P x t t y y z z x

t y y z z x x t

Giải

Ta có:

4

x t t y y z z x

P

t y y z z x x t

x y t z y x z t

t y y z z x x t

1 1 1 1

0

0

P

Bài 20 Cho x,y,z>0 thỏa mãn: 2 2 2

3

P

Giải

3









yz zx xy

u v w

P

(theo ví dụ ở

TLBG đã chứng minh)

2

P    x y z

Bài 21 Cho x,y,z>0 và xyz=1 Tìm GTNN: 1 1 1

P

Giải

Đặt

P

2

Bài 22 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz=1

P

Giải

Dễ thấy:

TT :

1

1

1

z

x

y

x y z P

xyz x y z





 

 

Bài 23 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz=1

Tìm GTLN của Tìm GTLN của:

P

Giải

Ta có:

2 2

2 2

1

TT :

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y xy x y z xyz x y z

z y z y xyz x y z

x z x z xyz x y z





Bài 24 Cho x,y,z thuộc [-1;2] và thỏa mãn x+y+z=0 Tìm GTLN của: 2 2 2

Px y z

Giải

  2

:

TT

maxP 6

Bài 25 Cho x,y,z thuộc [0;2] và thỏa mãn x+y+z=4 Tìm GTLN của: 2 2 2

Px y z

Giải

, , [0; 2] ( 2)( 2)( 2) 0

xyz xy yz zx x y z

4

x y z





   



trong 3 số x, y, z có 2 số bằng 2, số còn lại bằng 0

Bài 26 Cho x,y,z thỏa mãn 2 2 2

1.

x y z  Tìm GTNN của: Pxyz 2(1    x y z xyyzzx)

Giải

1 | |,| |,| | 1 (1 )(1 )(1 ) 0 1

x y z xy yz zx xyz

Mặt khác:

2

0

2

1.

   



        



   



Từ (*), (**) ta có:

(1 )(1 )(1 ) 0 0

P

x y z





 trong 3 số có 1 số bằng -1, 2 số bằng 0

Bài 27 Cho x, y không âm Tìm GTLN, GTNN của ( 2)(1 )2

(1 ) (1 )

P



Giải

Ta có:

P

Do x, y không âm nên ta có thể đặt

2 2

tan , tan , 0 ,

2

(1 tan ) (1 tan )

1

(sin 2 sin 2 )

4

P

P



   

Lại có:

1

4

4

0

1

4

4

0

x P

y

x P

y









1

4

1

4

