Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên... Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất... Chứng minh rằng:... Chứng minh rằng AC < BD.
Trang 1Chủ đề 8 BÀI TẬP TỔNG HỢP
8.1 a) Cho hai số dương x, y thỏa: x y 3xy Tính x
y
b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa: 1 1 1
x y 2
TS lớp chuyên 10 TPHCM 06 - 07 ĐS : a)
2
b) (3;6), (6;3); (4;4)
8.2 Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c
Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương
b) bc ≥ ad
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09
8.3 Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên
Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09
8.4 Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2 Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09
8.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết
A = (x – 1)4 + (x – 3)4 + 6(x – 1)2(x – 3)2
TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09 ĐS : minA = 8
8.6 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x2 3x 1 2011
4x
TS lớp 10 Hà Nội 11 - 12 ĐS : minM = 2011
8.7 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
x y 3xy(x y )4x y (xy)4x y 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y
TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12 ĐS : Min M = 2 hki x = y = 1
8.8 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng:
1
x 3x yz y 3y xzz 3z xy
TS lớp 10 Hải Dương 11 - 12
Trang 28.9 Cho x, y, z là các số thực tùy ý Chứng minh:
x y z yz4x3y 7
TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12
8.10 Tìm cặp số thực (x; y) biết: xyx y 1 y x 1
TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12 ĐS :
8.11 Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: 8x2 y2 12 4
4x
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
TS lớp 10 Kon Tum 11 – 12
ĐS : min( xy ) 1 / 2 khi x1 / 2; y 1 hoặc x 1 / 2; y1
8.12 Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n
TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12
8.13 Cho ba số x, y, z thỏa mãn 1 x, y, z 3 và x y z 3
Chứng minh rằng x2y2z211
TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12
8.14 Tìm các bộ số thực (x, y, z) thoả mãn:
1
x 29 2 y 6 3 z 2011 1016 (x y z)
2
TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12 ĐS: x30; y10; z2020
8.15 Cho a, b, c là ba số thực khác không và thỏa mãn:
2013 2013 2013
a (b c) b (c a) c (a b) 2abc 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q 20131 20131 20131
TS lớp 10 Bắc Giang 12 - 13 ĐS : Q = 1
8.16 Cho các số x, y thỏa mãn x 0; y 0 và x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2
TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13 ĐS : GTNN A = ½; GTLN A = 1
Trang 38.17 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a 1; b 4; c 9
Tìm giá trị lớn nhất của P bc a 1 ca b 4 ab c 9
abc
TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13
8.18 Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3 Chứng minh rằng 1 2 3
x y
TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13
8.19 Với x, y là các số dương thỏa mãn điểu kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y M
xy
TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13 ĐS : GTNN là 5/2 khi x = 2y
8.20 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
2
x 4x2m x 2 m 6 0
TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13 ĐS : m < 1
8.21 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó S(2 3)6
TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13 ĐS : 2701
8.22 a) Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 4
x y x y
Dấu “=” xảy ra khi nào ? b) Cho x > 0, y > 0 và 2x + 3y ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A 4x 9y xy
TS lớp 10 Hải Phòng 12 - 13 ĐS : b) min A = 56 khi x = ½, y = 1/3
8.23 Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2y2 x y Chứng minh: x + y ≤ 2
TS lớp 10 Hòa Bình 12 - 13
8.24 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4
Chứng minh rằng: 1 1 1
xyxz
TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13
8.25 Chứng minh rằng: Qx43x34x23x 1 0 với mọi giá trị của x
TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13
8.26 Giải phương trình: 2(x44)3x210x6
TS lớp 10 Nam Định 12 - 13 ĐS : x 3 7
8.27 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
Trang 4b c c a a b a b c
4
TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13
2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M6x y 7x y 24xy 2x 18y 28xy 8x 21y 6
TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14 ĐS
8.29 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình:
x 2y 3xy2x4y 3 0 b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù
Chứng minh rằng AC < BD
TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14
8.30 Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + 3y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax2y216y2x
TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14 ĐS :
2x 3 y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Qxy 3y 2x3
TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14 ĐS : Q min = – 121/8 khi x = 5/4; y = 11/2
8.32 Với a, b, c là các số dương thỏa điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Chứng minh: 12 12 12 3
a b c
TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14
8.33 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1
Chứng minh: x y x 1 y2 y 1 x2 3 3
2
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14
8.34 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
S
b c a c a b a b c
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS : Mín = 1 khi a = 5/6; b = 2/3; c = 1/2
8.35 a) Cho x, y là các số dương Chứng minh rằng:
x y 2( x y) 2 0 Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Trang 5b) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn:
x y (xy) x y 1 , với x 1
4
, y 1
4
TS lớp 10 Hải Phòng 13 - 14 ĐS : b) ( x; y )( 1;1)
8.36 Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình:
x y (x 1) (y 1) 2xy(x y 2) 2
TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14 ĐS : (2; 2), (0; 0), (2; 0), (0; 2)
8.37 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
a bb cc a2
TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14
x(2x y) y(2y x)
TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14 ĐS: GTNN của P 1/ 3 khi x = y
8.39 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x4 + 1)(y4 + 1) + 2013
TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14 ĐS: GTNN của P là 2017 khi x = y = 1
8.40 Với x ≠ 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
x 2x 2014 A
x
TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14 ĐS: GTNN của A là 2013/2014
8.41 Cho các số thực x, y, z thỏa: ( x y)3( y z)3( z x )30
Tính giá trị biểu thức: T( x y)2013( y z)2013( z x )2013
TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14 ĐS: T = 0
8.42 Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3xy + y2
TS lớp 10 Vĩnh Phúc 13 - 14 ĐS: GTNN của M là – 1/2