Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMDương Thị Vân Anh VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017... Nội dung của luận văn gồm hai chương:Chương 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Dương Thị Vân Anh

VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Dương Thị Vân Anh

Thái Nguyên - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫntận tình của PGS TSKH Trần Văn Tấn Trong quá trình nghiên cứu, tôi

đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng, biết

ơn và đã được sự nhất trí của thầy hướng dẫn khi đưa vào luận văn Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Dương Thị Vân Anh

của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

PGS TSKH Trần Văn Tấn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TSKH.Trần Văn Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đồng thờitác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đạihọc Sư phạm Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học

và khoa Toán đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành tốt luận văn của mình

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành thờigian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bài luận văn này

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình của mình, những người đã động viên chia sẻ mọi khó khăncùng tôi trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt bài luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả

Dương Thị Vân Anh

Mục lục

1.1 Khoảng cách cầu 1

1.2 Dãy các hàm phân hình 4

1.3 Họ các hàm phân hình 10

1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 20

2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình 22 2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình 22 2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình 37 2.3 Định lý Montel mở rộng 49

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu khái niệm họ chuẩn tắc, trình bàymột số kiến thức cơ bản của khoảng cách cầu, dãy các hàm phân hình và họcác hàm phân hình Đồng thời nhắc lại một số hàm cơ bản của Lý thuyếtNevanlinna Những kiến thức này là nền tảng để nghiên cứu chương sau.Chương 2: Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình.Nội dung chương này là tìm hiểu các kết quả cổ điển của Montel, Miranda,Bloch, Gu về họ chuẩn tắc Trình bày chi tiết các tiêu chuẩn cho chuẩn tắccác hàm chỉnh hình và các hàm phân hình Cuối chương chúng tôi tìm hiểukết quả của Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn và Vũ Văn Trường về sự mởrộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn và các điểm đượcthay bởi các hàm

Xét 1 số phức z = x+iy Cho plà một điểm

của mặt phẳng (Oxy) tương ứng với z, có

tọa độ là (x, y) Đường thẳng nối hai điểm

N và p giao với S tại một điểm m khác N

Ta gọi m là điểm của S tương ứng với z Khi đó tọa độ của m là (X, Y, u)

Ta có: X = hx, Y = hy, u − 1 = −h Trong đó h là một số dương Thayvào (1.1) ta có:

Điểm của S tương ứng với ∞ là điểm N có tọa độ là (0, 0, 1)

Định nghĩa 1.1.1 Cho z1 , z2 là hai điểm của mặt phẳng phức mởrộng bC = CS

∞ và m1 , m2 là hai điểm của S tương ứng lần lượt là z1, z2

Chiều dài của đoạn thẳng m1m2 được định nghĩa lần lượt là khoảng cáchcầu giữa z1, z2 và được kí hiệu bởi |z1, z2|.

Để tìm ra biểu thức của |z1, z2| Chia 3 trường hợp: 1) Cả z1, z2 đều hữuhạn Cho zj = xj + iyj(j = 1, 2) và tập kj = 1 + |zj|2(j = 1, 2) Từ (1.2),

(1 + |z1|2)2 + y

2 1

3) Cả z1, z2 đều vô hạn Hiển nhiên |z1, z2| = 0

Từ Định nghĩa 1.1.1, bất đẳng thức tam giác:

|z1, z3| 6 |z1, z2| + |z2, z3| (1.6)

Cố định cho 3 điểm bất kì zj(j = 1, 2, 3) của bC Ta có thể xác định đượccông thức:

|z1, z2| = | 1

z1,

1

Cố định cho 2 điểm bất kì zj(j = 1, 2) của bC.

Bổ đề 1.1.2 Cho z1, z2 và a 6= ∞ là ba điểm của bC Khi đó:

Nếu một trong hai điểm z1, z2 là hữu hạn và còn lại là vô hạn, ví dụ z1 6=

∞, z2 = ∞ ta áp dụng Bổ đề 1.1.2 với z1 và z20 6= ∞, và sau đó cho z20 → ∞

Bổ đề 1.1.3 Cho A, B(A < B) là hai số dương Khi đó có một số dương

µ = µ(A, B) chỉ phụ thuộc vào A và B sao cho |z1| 6 A, |z2| > B, ta có:

|z2|2)12

>

B(1 + A2)12(1 + 1

B2)12

Điều này cũng đúng khi z2 = ∞

1.2 Dãy các hàm phân hình

Định nghĩa 1.2.1 Một dãy các điểm zn(n = 1, 2, · · · ) của bC được gọi

là hội tụ đối với khoảng cách cầu, nếu mọi số dương ε tương ứng với một

số nguyên dương N sao cho, với n > N, m > N, ta có:

khi đó Z = ∞ là một điểm Ngoài ra ta có thể tìm được một số dương ε0

và một dãy tăng các số nguyên dương nk(k = 1, 2, · · · ) sao cho

Dãy znk(k = 1, 2, · · · ) là bị chặn Cho Z 6= ∞ là một điểm giới hạn của dãy

znk(k = 1, 2, · · · ) Khi đó với số dương η bất kì và số nguyên dương K bất

kì, tương ứng một số nguyên dương k sao cho

Bây giờ cho một số dương ε, cho N là một số nguyên dương sao cho

do đó nó có một giới hạn F (z0) đối với khoảng cách cầu, do Bổ đề 1.2.2

F (z) là một hàm được xác định trong E Chúng ta sẽ thấy rằng với mỗi sốdương ε tương ứng một số nguyên dương N sao cho, khi n > N, m > N tacó:

như khẳng định.Ta nói rằng khi n → +∞, fn(z) hội tụ đều đến F (z) trong

E đối với khoảng cách cầu

Bổ đề 1.2.4 Nếu f (z) là một hàm phân hình trong một miền D, khi đó

f (z) liên tục trong D đối với khoảng cách cầu Tức là, cho mỗi điểm z0 của

D, ta có:

lim

Chứng minh Xét một điểm z0 của D và chia hai trường hợp Nếu f (z0) 6=

∞, khi đó có hình tròn c : |z − z0| < r thuộc D, sao cho f(z) là hàm chỉnhhình trong c Do đó từ (1.4) ta có:

đối với khoảng cách cầu Khi đó khẳng định sau là đúng:

(1) Nếu F (z0) 6= ∞, khi đó ta có thể tìm được một hình trònΓ0 : |z−z0| <

r0(0 < r0 6 r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm fn(z)(n > n0) và

Giả sử dãy S là một C0- dãy trong D Cho z0 là một điểm của D Khi đó

từ giả thiết, dãy S là hội tụ đều trong hình tròn Γ : |z − z0| < r đối vớikhoảng cách cầu Do đó từ kết quả (1.11) dãy S có hàm giới hạn F (z) đượcxác định trong Γ đối với khoảng cách cầu và khi n → +∞, fn(z) hội tụ đềuđến F (z) trong Γ đối với khoảng cách cầu

Định lý 1.2.7 Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là C0- dãy của hàm phân hìnhtrong một miền D Khi đó S có một hàm giới hạn F (z) được xác định trong

D đối với khoảng cách cầu, sao cho khi n → +∞, fn(z) hội tụ đều địaphương đến F (z) trong D đối với khoảng cách cầu

Định lý 1.2.8 Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một C0- dãy các hàm phânhình trong miền D Khi đó hàm giới hạn F (z) của S đối với khoảng cáchcầu là một hàm phân hình trong D hoặc ∞

Chứng minh Kí hiệu σ là tập của các điểmz0 củaD sao cho F (z0) = ∞.Chia 2 trường hợp:

1) Giả sử σ có một điểm tụ z0 trong D Từ giả thiết ta có hình tròn

Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảngcách cầu Khi đó F (z0) 6= ∞ là vô lý, bởi vì từ Định lý 1.2.5, F (z) là hữuhạn trong một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0 Do đó F (z0) = ∞

Từ Định lý 1.2.5, hàm 1

F (z) là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0.Khi đó các điểm của tâp σ là các không điểm của 1

Với 0 6 t 6 t0 Hiển nhiên tập T 6= ∅ Cho β(0 < β 6 b) là ràng buộcnhỏ nhất của T Khi đó (1.20) cố định với 0 6 t < β Điểm z∗ = p(β) làmột điểm tụ của tập σ, do đó có một hình tròn Γ∗ : |z − z∗| < r∗ trong đó

F (z) = ∞ Ta có β = b và F (z1) = ∞ Vì vậy F (z) là ∞

2) Giả sử tập σ không có điểm tụ trong D Xét một điểm z0 của D Nếu

F (z0) 6= ∞, khi đó từ Định lý 1.2.5, hàm F (z) là hàm chỉnh hình trongmột hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0 Nếu F (z0) = ∞ khi đó từ Định lý 1.2.5 ,hàm 1

F (z) là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0 Cho r00 là một sốsao cho 0 < r00 6 r0 và F (z) 6= ∞ với 0 < |z − z0| < r00 Khi đó trong hìnhtròn Γ00 : |z − z0| < r00 ta có thể viết F (z) = 1

G(z), trong đó hàm G(z) là

Định nghĩa 1.3.2 Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và

z0 là một điểm của D Ta nói rằng họ F là chuẩn tắc tại z0, nếu ta có thểtìm thấy một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho họ F là chuẩn tắctrong Γ Nếu F chuẩn tắc trong D thì F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D.Định lý 1.3.3 Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D Nếu họ

F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D, khi đó F chuẩn tắc trong D

Chứng minh Đầu tiên ta tìm được một dãy các điểm zj(j = 1, 2, · · · ) của

D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy zj(j = 1, 2, · · · ).Cách để có một chuỗi các điểm đó là có một tập các điểm a + ib (a, b là các

số hữu tỷ) của D Đây là một tập đếm được

Xét một điểm zj Từ giả thiết có một hình tròn |z − zj| < r thuộc D, trong

đó họ F chuẩn tắc Cho Rj là chặn trên nhỏ nhất của tập các điểm r cótính chất này Cho Γj là hình tròn |z − zj| < Rj

2 , nếu Rj < +∞ và hình

tròn |z − zj| < 1 nếu Rj = +∞ Γj thuộc D và họ F chuẩn tắc trong Γj.Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm của họ F Từ S ta trích rađược một dãy con S1 : fα1(z), fα2(z), · · · đó là một C0- dãy trong Γ1

Từ S1 ta có thể trích ra một dãy con S2 : fβ1(z), fβ2(z), · · · đó là một C0dãy của Γ2 Từ S2 ta có thể trích ra một dãy con S3 : fγ1(z), fγ2(z), · · ·

-đó là một C0- dãy của Γ3 Theo cách này ta có một dãy liên tiếp của dãy

Sp(p = 1, 2, · · · ) sao cho với mỗi p > 1, Sp là một C0- dãy trong Γp và Sp+1

là một dãy con của Sp Xét dãy đường chéo

S0 : fα1(z), fβ2(z), fγ3(z), · · · , fλk(z), · · ·

S0 là một dãy con fnk(k = 1, 2, · · · ) của S Khi đó với mỗi k, các số hạng

fnk(z), fnk+1(z), · · · đều thuộc dãy Sk Vì thế S0 là một C0- dãy trong mỗihình tròn Γj(j = 1, 2, · · · )

Xét một điểm z0 của D Từ giả thiết, có một hình tròn Υ : |z − z0| <ρ(0 < ρ < 1) thuộc D, sao cho họ F chuẩn tắc trong Υ Cho zj sao cho

Định nghĩa 1.3.4 Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và

z0 là một điểm củaD Ta nói rằng họ F là liên tục đều tại z0 đối với khoảngcách cầu nếu mỗi số dương ε tương ứng một số dương δ, sao cho hình tròn

Υ : |z − z0| < δ thuộc D và với mỗi hàm f (z) của họ F, bất đẳng thức:

đó S là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu

Chứng minh Giả sử có một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho dãy

S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu Cho một số dương ε, để N

là số nguyên dương sao cho khi n > N, m > N, ta có :

|fn(z), fm(z)| < ε

3,

trong Γ Tiếp theo cho Γ0 : |z − z0| < r0(0 < r0 < r) sao cho:

Định lý 1.3.6 Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D Để họ

F là chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là F liên tục đều trong D đốivới khoảng cách cầu

Chứng minh +) Điều kiện cần: Cho z0 là một điểm của D và giả sử Fkhông liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu Khi đó δn(n = 1, 2, · · · )

là một dãy các số dương sao cho:

trong đó Υn biểu thị hình tròn |z − z0| < δn Do F là chuẩn tắc trong D, ta

có thể trích ra từ dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · ) một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · )

là C0- dãy trong D Đặc biệt z0 là một C0- điểm của dãy fnk(k = 1, 2, · · · )

Từ Bổ đề 1.3.5 dãy fnk(k = 1, 2, · · · ) là liên tục đều tại z0 đối với khoảngcách cầu Điều này trái với (1.22) và (1.23) Vậy ta có mâu thuẫn

+) Điều kiện đủ: Cho ζp(p = 1, 2, · · · ) là một dãy các điểm của D

sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy ζp(p = 1, 2, · · · )

Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy của họ F Xét dãy các điểm

fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) của bC Rõ ràng ta có thể tìm được một dãy con

fαj(ζ1)(j = 1, 2, · · · ) của dãy fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) và một điểm w1 ∈ Cbsao cho:

lim

j→+∞|fαj(ζ1), w1| = 0

Tiếp theo ta có thể tìm một dãy confβl(ζ2)(l = 1, 2, · · · )của dãyfαj(ζ2)(j =

1, 2, · · · ) và một điểm w2 ∈ C sao cho:b

lim

l→+∞|fβl(ζ2), w2| = 0,

và v.v Cuối cùng trong dãy đường chéo, ta thu được một dãy confnk(z)(k =

1, 2, · · · ) của dãy S, sao cho với mỗi p > 1 ta có:

Xét một điểm z∗ ∈ Γ Vì họF là liên tục đều tại z∗ đối với khoảng cách cầu,

có một hình tròn Υz∗ : |z − z∗| < ρ thuộc D, sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F,bất đẳng thức:

Do đó mỗi điểm z∗ ∈ Γ tương ứng một hình tròn Υz∗ và một số nguyêndương Kz∗ Từ định lý phủ hữu hạn, ta có thể tìm một số hữu hạn các điểm

zj(j = 1, 2, · · · , m) của Γ sao cho:

Khi đó số nguyên dương K có tính chất cần tìm

Định nghĩa 1.3.7 Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong miền D Ta nóirằng F là bị chặn đều địa phương trong D, nếu cho mỗi điểm z0 của D, ta

có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M saocho đối với mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức:

cố định trong Γ

Hệ quả 1.3.8 Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong một miền D Nếu F

bị chặn đều địa phương trong D, khi đó F chuẩn tắc trong D

Chứng minh Xét một điểm z0 của D Từ giả thiết, ta có thể tìm một hình

Hệ quả 1.3.9 Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D Để

F chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là với mỗi điểm z0 của D, ta cóthể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M saocho mỗi hàm f (z) của F thỏa mãn một trong hai bất đẳng thức trong Γ:

|f (z)| < M, | 1

Chứng minh Giả sử họ F chuẩn tắc trong D Cho µ(1, 2) là số dương đượcxác đinh trong Bổ đề 1.1.3 tương ứng cho A = 1, B = 2 Xét một điểm z0

của D Từ Định lý 1.3.6, F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu Do

đó có hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho với mỗi hàm f (z) của F,bất đẳng thức:

một điểm của D Khi đó từ giả thiết, ta có thể tìm được một hình tròn

Γ : |z − z0| < r và một số dương M có tính chất được phát biểu trong hệquả Từ Định lý 1.3.3 suy ra họ F chuẩn tắc trong D Đặt F1 và F2 tươngứng là các họ con của F của các hàm f (z) thỏa mãn trong bất đẳng thứcthứ nhất và thứ hai của (1.26) Khi đó F1 là họ các hàm chỉnh hình bị chặnđều trong Γ Từ chứng minh của Hệ quả 1.3.8, F liên tục đều trong Γ đốivới khoảng cách cầu Tương tự ta suy ra điều này cũng đúng đối với F2 Vậy họ F liên tục đều trong Γ đối với khoảng cách cầu và do đó chuẩn tắctrong Γ do Định lý 1.3.6

Bổ đề 1.3.10 Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D và z0 làmột điểm của D Khi đó giới hạn:

∂(z0, f ) được gọi là đạo hàm cầu của hàm f (z) tại z0

Chứng minh Chia hai trường hợp:

1) f (z0) 6= ∞ Khi đó có một hình tròn |z − z0| < r thuộc D, trong đóhàm f (z) là chỉnh hình và theo công thức :

Bổ đề 1.3.11 Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D Cho

z1, z2(z1 6= z2) là hai điểm của D sao cho đoạn σ : z = z1 + t(z2 − z1)(0 6

|f (ζ), f (z2)| < (m + ε)|ζ − z2|, (1.33)

vì nếu không ta sẽ có:

|f (z1), f (z2)| 6 |f (z1), f (ζ)| + |f (ζ), f (z2)|

< (m + ε)(|z1 − ζ| + |ζ − z2|) = (m + ε)|z1 − z2|

Do đó ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1.32) và (1.33) không đúng

Kí hiệu các đoạn tương ứng bởi: σ1 : z1(1)z2(1) đó là một trong những đoạn

σ0 và σ00 Lại chia σ1 thành hai đoạn bởi trung điểm của nó và lặp lạiđối số tương tự, ta có đoạn σ2 : z1(2)z2(2) Tiếp tục theo cách này ta nhậnliên tiếp một dãy các đoạn σn : z1(n)z2(n)(n = 1, 2, · · · ; σ0 = σ) sao cho

σn+1 ⊂ σn(n = 0, 1, 2, · · · ) và:

|f (z1(n)), f (z2(n))| > (m + ε)|z1(n)− z2(n)|(n = 0, 1, 2, · · · ) (1.34)Cho z0 là một điểm sao cho z0 ∈ σn(n = 1, 2, · · · ) Khi đó

Định lý 1.3.12 Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D.

Để họ F chuẩn tắc trong D điều kiện cần và đủ là họ:

bị chặn đều địa phương trong D

Chứng minh Giả sử họ F∗ bị chặn đều địa phương trong D Cho z0 là mộtđiểm của D, khi đó có một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một sốdương M sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có:

Ngược lại, giả sử họ F chuẩn tắc trong D Cho z0 là một điểm của D và giả

sử ta không thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một

số dương M sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có (1.38) trong Γ Lấy haidãy số dương rn và Mn(n = 1, 2, · · · ) hội tụ tương ứng tới 0 và +∞ Khi

đó mỗi n tương ứng với một hàm fn(z) ∈ F sao cho:

sup

z∈Γ n

trong đó Γn kí hiệu là hình tròn |z − z0| < rn Từ dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · )

ta có thể trích ra một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0- dãy trong

D Đặc biệt z0 là một C0- điểm của dãy đó Cho F (z) là hàm giới hạn củadãy này đối với khoảng cách cầu Từ Định lý 1.2.5 tồn tại hai trường hợp:1) F (z) 6= ∞ Khi đó ta tìm được một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0(Γ0 ⊂D) và một số nguyên dương k0 sao cho hàm fnk(z)(k > k0) và F (z) chỉnhhình trong Γ0, khi k → +∞, fnk(z) hội tụ đều trong Γ0 đến F (z) Khi đóvới k > k0, z ∈ Γ0 ta có:

∂(z, fnk) = |fn0k(z)|

1 + |fnk(z)|2 6 |fn0k(z)|,

rõ ràng ta có thể tìm một số dương A sao cho khi k > k0 ta có:

Vậy họ F∗ bị chặn đều địa phương trong D

Ta bắt đầu với hàm đếm của một divisor

Định nghĩa 1.4.1 Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C, có nghĩa

ν là một ánh xạ từ C vào Z sao cho {z : ν(z) 6= 0} là rời rạc Hàm đếm của

ν được định nghĩa bởi

N (r, ν) =

Z r 1

n(t, ν)

t dt, (r > 1),

ở đó n(t, ν) := P

|z|<tν(z)

Cho k là một số nguyên dương (hoặc k = +∞) Khi đó, hàm đếm của ν

với bội được ngắt bởi k, được định nghĩa bởi

N[k](r, ν) =

Z r 1

n[k](t, ν)

t dt, (r > 1),

và với bội được được ngắt bởi k.

Định nghĩa 1.4.2 Cho f là một hàm phân hình trên C, f 6≡ 0 Hàm xấp

xỉ của f (ứng với giá trị ∞) được định nghĩa bởi

m(r, f ) = 1

2π

Z 2π 0

log+|f (reiθ)|dθ, r > 1,

ở đây log+x = max{0, log x} đối với x ∈ R.

Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng Nevanlinna được định nghĩa bởi

Tf(r) = N1

f(r) + m(r, f ), r > 1

Định lý 1.4.4 (Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm phân hình) Cho f

là một hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và q điểm a1, , aq

phân biệt trong bC Khi đó

Định lý 2.1.1 Cho D là một miền và a, b (a 6= b) là hai số phức Cho F

là họ các hàm f (z) chỉnh hình trong D và sao cho mỗi phương trình:

f (z) = a, f (z) = b,

không có nghiệm trong D Khi đó họ F chuẩn tắc trong D

Chứng minh Xét trường hợp: a = 0, b = 1 Cho z0 là một điểm của D vàhình tròn Γ : |z − z0| < ρ thuộc D Cho f (z) là một hàm của họ F và chiahai trường hợp:

trong D Xét trường hợp tổng quát, cho fn(z)(n = 1, 2, ) là một dãy cáchàm của F Đặt:

Chứng minh Cho E là một tập đóng bị chặn của các điểm thuộc D Giả

sử F không bị chặn đều trong E Khi đó mỗi số nguyên dương n tương ứngvới một hàm fn(z) ∈ F sao cho:

max

Xét một dãy confnk(z)(k = 1, 2, )của dãyfn(z)(n = 1, 2, ) Từ (2.1),(2.2) khi k → +∞, fnk(z) không thể hội tụ đều địa phương đến một hàmchỉnh hình hoặc đến ∞trong D Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là một

họ chuẩn tắc

Trong đó tập σ thường bao gồm một điểm duy nhất

Định lý 2.1.3 Cho f (z) là một hàm nguyên khác hằng Khi đó họ củahàm nguyên:

không chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2

Chứng minh Giả sử họ (2.3) là chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2 Khi đó

fn(0) = f (0)(n = 1, 2, ), từ Bổ đề 2.1.2, họ (2.3) bị chặn đều trong hìnhtròn |z| 6 1 Có một số dương M sao cho với mỗi n ta có:

Hệ quả 2.1.4 (Định lý Picard trên hàm nguyên)

Nếu f (z) là một hàm nguyên khác hằng, khi đó f (z) lấy mọi giá trị hữuhạn, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn

Nếu f (z) không lấy 2 giá trị hữu hạn a và b(a 6= b), khi đó từ định lý 2.1.1,

họ (2.3) chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2, không tương thích với định lý2.1.3

Định lý 2.1.5 Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một miền D: 0 <

|z| < ρ sao cho điểm z = 0 là một điểm kì dị cốt yếu của f (z) Cho r làmột số sao cho 0 < 2r < ρ Khi đó họ các hàm chỉnh hình trong D:

fn(z) = f ( z

không chuẩn tắc trong miền d: r

4 < |z| < 2r.

Chứng minh Giả sử họ (2.4) chuẩn tắc trong miềnd Từ định lý Weierstrass,

có một dãy các điểm ζm(m = 1, 2, ) của D sao cho: