Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLẠI THANH LOAN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... LẠI THANH LOANVẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LẠI THANH LOAN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH

CHUNG NHAU BA TẬP HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

LẠI THANH LOAN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kì công trình nào khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảmbảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữutrí tuệ

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Lại Thanh Loan

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người thầy tận tìnhhướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quantrọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báutrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đãgiúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Lại Thanh Loan

Mục lục

1.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 3

1.1.1 Các hàm Nevanlinna và tính chất 3

1.1.2 Hai định lí cơ bản và quan hệ số khuyết 7

1.2 Hàm phân hình chung nhau ba giá trị 9

1.2.1 Khái niệm mở đầu 9

1.2.2 Một số tính chất 10

2 Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp 13 2.1 Hàm phân hình chung nhau ba giá trị 13

2.1.1 Chung nhau kể cả bội 13

2.1.2 Chung nhau có trọng số 23

2.2 Hàm phân hình chung nhau ba tập hợp 28

2.2.1 Một số bổ đề liên quan 28

2.2.2 Vấn đề duy nhất 30

Cho f là một hàm phân hình, a ∈ C∪ {∞} Kí hiệu E(a, f ) là tập cáckhông điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệtcủa f − a Cho S ⊂ C∪ {∞} là tập hợp các phần tử khác nhau Kí hiệu

Ef (S) = ∪a∈SE(a, f ); Ef (S) = ∪a∈SE(a, f )

R Nevanlinna đã chứng minh, nếu hai hàm phân hình khác hằng f , gthỏa mãn

E (ai, f ) = E (ai, g) ∀i = 1, 5,trong đó ai là các giá trị phân biệt, thì f và g phải trùng nhau

Vào năm 1976, H Yi ([15]) đã đặt ra câu hỏi: Có thể tìm thấy haykhông ba tập hữu hạn Sj (j = 1, 2, 3) sao cho bất kì hai hàm phân hìnhthỏa mãn E (Sj, f ) = E (Sj, g) với j = (1, 2, 3) thì f ≡ g? Vào năm 1994,

H Yi ([15]) đã đưa ra một số kết quả để trả lời cho câu hỏi đặt ra

Với mục đích tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu theo hướng này, chúngtôi chọn đề tài "Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau

ba tập hợp" Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một số kếtquả nghiên cứu của H Yi ([16], [20]), W C Lin và H Yi ([6]) về các điềukiện xác định duy nhất hàm phân hình chung nhau ba giá trị, ba tập hợp.Luận văn chia thành hai chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ sở,cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong Chương 2 như: lýthuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình chung nhau ba giátrị, ba tập hợp.

Chương 2: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tậphợp, trình bày về hàm phân hình chung nhau ba giá trị kể cả bội và chungnhau có trọng số; trình bày lại chứng minh một số điều kiện đủ về tínhduy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp

∂D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r},lần lượt là hình tròn, hình tròn đóng, đường tròn tâm z0, bán kính r > 0.Đặc biệt, khi z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn

DR = D(0, R); DR = D(0, R)

Cho f là hàm chỉnh hình trên mặt phẳng phức C, điểm z0 được gọi làkhông điểm bội k của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h(z) không triệttiêu trong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm f đượcbiểu diễn dưới dạng:

f (z) = (z − z0)kh(z)

Điều này kéo theo f (z0) = f0(z0) = = f(k−1)(z0) = 0 và f(k)(z0) 6= 0.Với z ∈ C, khi z là không điểm bội k của hàm f thì ta kí hiệuordf(z) = k, trong các trường hợp khác ordf(z) = 0

Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C, khi đó f = f1

f2,trong đó f1, f2 là các hàm chỉnh hình Một điểm z0 gọi là không điểm bội

k của f nếu z0 là không điểm bội k của f1, z0 gọi là cực điểm bội k của fnếu z0 là không điểm bội k của f2

Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:

log+x = max{log x, 0}

Khi đó log x = log+x − log+ 1x

Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng của mộthàm phân hình Cho f là một hàm phân hình trên DR và một số thực

1

f (reiϕ)

Cho k là một số nguyên dương, ta kí hiệu n(r, 1/f ) là số không điểm

kể cả bội của f ; n(r, 1/f ) là số không điểm không kể bội của f ; n(r, f ) là

số cực điểm kể cả bội của f ; n(r, f ) là số cực điểm không kể bội của f ;

nk(r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k của f (tức là cực điểm bội l > kchỉ được tính k lần trong tổng nk(r, f )) trong Dr

t dt + n(0, f ) log r,

được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cựcđiểm) Hàm

kể cả bội; n(k+1 r,f −a1  là hàm đếm số không điểm của f − a trong Dr

mà bội của không điểm lớn hơn k và chỉ đếm một lần Kí hiệu

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ),gọi là hàm đặc trưng của hàm f

Định lý sau đây cho thấy một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàmđếm, hàm đặc trưng:

Định lý 1.1 Cho các hàm phân hình f1, f2, , fp, khi đó

1.1.2 Hai định lí cơ bản và quan hệ số khuyết

Định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai

Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f 6≡ 0 là một hàm phânhình khác hằng trên Cp, với mọi a ∈Cp ta có

m(r, 1

f − a) + N (r,

1

f − a) = T (r, f ) + O(1),tương đương với

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình kháchằng trên C, a1, , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt Đặt

δ = mini6=j {1, |ai − aj|} , A = max{1, |ai|},

(q − 1) T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

q

X

j=1N

Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard

Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪ {∞} và k là một sốnguyên dương Ta kí hiệu:

δf(a) = lim inf

2 Nếu N (r, 1

f − a) = o(T (r, f )) khi đó δf(a) = 1 Như vậy số khuyếtbằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó

3 Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0 6 δf(a) 6 δfk(a) 6 Θf(a) 6 1

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ

Định nghĩa 1.5 Cho f là một hàm phân hình trên C Một phần tử

a ∈ C∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Picard của f nếu a /∈ f (C)

Để ý rằng, nếu a là một điểm bỏ được Picard thì N r,f −a1  = 0, do

đó δf (a) = 1 Bởi vậy một hàm nguyên có duy nhất một giá trị bỏ đượcPicard là ∞

Định lý 1.5 Mỗi hàm phân hình trên C có nhiều nhất là hai điểm bỏđược Picard

1.2 Hàm phân hình chung nhau ba giá trị

Cho f là một hàm phân hình, a ∈ C∪ {∞} Kí hiệu E(a, f ) là tập cáckhông điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệtcủa f − a Cho S ⊂ C∪ {∞} là tập hợp các phần tử khác nhau Kí hiệu

Ef (S) = ∪a∈SE(a, f ); Ef (S) = ∪a∈SE(a, f )

Định nghĩa 1.6 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếuE(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau giá trị a CM, nếu E(a, f ) =

E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau giá trị a IM Nếu Ef (S) = Eg(S)thì ta nói f và g chung nhau tập hợp S CM Nếu Ef (S) = Eg(S) thì tanói f và g chung nhau tập hợp S IM.

Định nghĩa 1.7 Cho k là một số tự nhiên hoặc ∞, a là một số phức

Ta kí hiệu Ek(a, f ) là tập tất cả các không điểm của f − a với một khôngđiểm bội m được tính m lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k

Cho S ⊂ C ∪ {∞}, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng Ta địnhnghĩa Ef(S, k) như sau

Ef (S, k) = ∪

a∈SEk(a, f ),với k là một số tự nhiên hoặc ∞

Định nghĩa 1.8 Cho k là một số tự nhiên hoặc ∞, a là một số phức.Nếu Ek(a, f ) = Ek(a, g), thì f và g chung nhau a- giá trị với trọng số k.Định nghĩa hàm ý rằng, nếu f và g chung nhau a giá trị với trọng số k,thì z0 là không điểm của f − a với bội m(≤ k) khi và chỉ khi z0 là khôngđiểm của g − a với bội m(≤ k) và z0 là không điểm của f − a với bộim(> k) khi và chỉ khi z0 là không điểm của g − a với bội n(> k), với mkhông nhất thiết phải bằng n

Ta viết f và g chung nhau (a, k) có nghĩa là f và g chung nhau a vớitrọng số k Rõ ràng, nếu f và g chung nhau (a, k) thì f và g chung nhau(a, p) với tất cả số nguyên p: 0 ≤ p < k Từ định nghĩa ta thấy f và gchung nhau a giá trị CM khi và chỉ khi f và g chung (a, ∞); f và g chungnhau a giá trị IM khi và chỉ khi f và g chung (a, 0)

1.2.2 Một số tính chất

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số bổ đề về tính chất của cáchàm phân hình khi chung nhau ba giá trị hoặc tập hợp Các bổ đề nàycần thiết cho việc chứng minh các kết quả trong Chương 2

Bổ đề 1.1 ([16]) Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng, với

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM Khi đó

T (r, g) + T (r, ep) + T (r, eq) = O (T (r, f )) (r /∈ E)

Bổ đề 1.2 ([16]) Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng và

c1, c2, c3 là ba hằng số khác không Nếu

c1f + c2g ≡ c3,thì

T (r, f ) < N



r, 1f



+ N



r,1g

Các hàm N2r,f1 và N2r,f −11  được định nghĩa tương tự

Bổ đề 1.4 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, với f và

g chung nhau 0, 1, ∞ CM Khi đó

N2(r, f ) + N2



r, 1f

Bổ đề 1.6 ([3]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung (0, 0),(∞, 0) và (1, 0) Khi đó

T (r, f ) = O (T (r, g)) (r /∈ E) (1.5)và

k1k2k3 > k1 + k2 + k3 + 2, (1.9)thì

N(2 (r, 0, f ) + N(2 (r, f ) + N(2 (r, 1, f ) = S(r) (1.10)

Chương 2

Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp

2.1 Hàm phân hình chung nhau ba giá trị

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả về vấn đềduy nhất cho các hàm phân hình chung nhau ba giá trị được một số tácgiả chứng minh trong thời gian gần đây

Năm 1980, H Ueda đã chứng minh

Định lý 2.1 ([9]) Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằngsao cho f và g chung nhau 0, 1 CM , cho a 6= 0, 1 là một số phức hữuhạn Nếu a là số khuyết của f thì (1 − a) là số khuyết của g và

(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a)

Chú ý rằng, hai hàm nguyên luôn chung nhau giá trị ∞ Năm 1988, H

Yi đã mở rộng Định lý 2.1 và thu được kết quả sau

Định lý 2.2 ([11]) Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằngsao cho f và g chung nhau 0, 1 CM , cho a 6= 0, 1 là một số phức hữu hạn.Nếu δ(a, f ) > 1/3, thì a và 1 − a lần lượt là các giá trị bỏ được Picard của

f và g, hơn nữa (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a)

Năm 1992, S Z Ye mở rộng các định lí trên của hàm phân hình và thuđược các kết quả sau

Định lý 2.3 ([7]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho f

và g chung nhau 0, 1, ∞ CM Cho a 6= 0, 1 là một số phức hữu hạn Nếu

δ (a, f ) + δ (∞, f ) > 4/3,thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ; 1 − a, ∞ là các giá trị bỏ đượcPicard của g và

(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a)

Định lý 2.4 ([7]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM Cho a1, a2, , ap là p (≥ 1) số phức hữuhạn phân biệt, aj 6= 0, (j = 1, 2, , p) Nếu

(f − ak) (g + ak− 1) ≡ ak(1 − ak)

Năm 1995, H Yi đã chứng minh các định lý sau

Định lý 2.5 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM Cho a 6= 0, 1 là một số phức hữu hạn.Nếu

N (r, f ) 6= T (r, f ) + S(r, f ),thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ; 1 − a, ∞ là các giá trị bỏ đượcPicard của g và

(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a)

Chứng minh Từ giả thiết và Bổ đề 1.1 ta có

và c = (a − 1)/a

Mặt khác từ (2.1) ta được

f = a − aeqvà

Vì vậy N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ), đó là mâu thuẫn.

Trường hợp 4: Giả sử không có một ep, eq, eq−p là hằng số

Rõ ràng là p0 6≡ 0, q0 6≡ 0, p0 6≡ q0 Từ Bổ đề 1.1 và Bổ đề 1.3 ta có

T (r, p0) + T (r, q0) = S(r, f ) (2.5)Đặt

c1 + e−q = c2e−p,trong đó c2 là hằng số, c2 6= 0 Vì vậy

c2e−p − e−q = c1

Từ Bổ đề 1.2 ta được

T r, e−p
= S(r, e−p),

điều đó là không thể xảy ra Vì thế



+ S (r, f ) = S (r, f ) (2.10)và

Định lý 2.6 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM , cho a 6= 0, 1 là một số phức hữu hạn.Nếu δ(a, f ) > 0, δ(∞, f ) > 0 thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ;

1 − a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của g và

(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a)

và δ (a, f ) = 0 (f − a) (g + a − 1) 6≡ a (1 − a) là hiển nhiên.

Định lý sau đây là một mở rộng của Định lí 2.5

Định lý 2.7 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM Cho a 6= 0, 1 là một số phức hữu hạn.Nếu

thì a là một giá trị bỏ được Picard của f , hơn nữa f và g thỏa mãn mộttrong các điều kiện sau:

(i) (f − a) (g + a − 1) ≡ a (1 − a), điều này chỉ xảy ra khi ∞ là một giátrị bỏ được Picard của f Trong trường hợp này, 1 − a và ∞ là giá trị

bỏ được Picard của g

(ii) f + (a − 1) g ≡ a, điều này chỉ xảy ra khi 0 là một giá trị bỏ đượcPicard của f Trong trường hợp này, a/(a − 1) và 0 là giá trị bỏ đượcPicard của g

(iii) f ≡ ag, điều này chỉ xảy ra khi 1 là giá trị bỏ được Picard của f Trong trường hợp này, 1/a và 1 là giá trị bỏ được Picard của g.Chứng minh Tương tự như trong chứng minh của Định lí 2.5, ta cóđược (2.1) Ta xét bốn trường hợp sau:

a) Giả sử ep ≡ c (6= 0, 1) Tương tự như trong chứng minh của Định

lí 2.5 ta có điều kiện (i) và a, ∞ là giá trị bỏ được Picard của f và 1 − a,

∞ là giá trị bỏ được Picard của g

b) Giả sử eq ≡ c (6= 0, 1) Từ (2.1) ta có

f = c − 1

ep− 1và

p(a − 1) (ep− 1).

Vì vậy, ta có điều kiện (ii) và a, 0 là giá trị bỏ được Picard của f ; a/(a − 1)

và 0 là giá trị bỏ được Picard của g

c) Giả sử eq−p ≡ c (6= 0, 1) Từ (2.1) ta có

f = ce

p− 1

ep− 1và

f = ae

p− 1

ep− 1và

g = ae

p− 1

a (ep− 1).

Vì vậy, ta có điều kiện (iii) và a, 1 là giá trị bỏ được Picard của f ; 1/a và

1 là giá trị bỏ được Picard của g

d) Giả sử các hàm ep, eq, eq−p đều khác hằng số Tương tự như trongchứng minh của Định lí 2.5, ta thấy mâu thuẫn

Như vậy Định lí 2.7 được chứng minh trong tất cả các trường hợp 

Từ Định lí 2.7, ta có hệ quả sau đây cho một điều kiện đại số để haihàm phân hình là bằng nhau

Hệ quả 2.1 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, với f

và g chung nhau 0, 1, ∞ CM và cho a là một số phức hữu hạn, a 6= 0, 1.Nếu

Định lý 2.8 ([19]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chungnhau 0, 1, ∞ CM Nếu

limr→∞

Vào năm 2001, I Lahiri đã chứng minh

Định lý 2.9 ([5]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung(0, 1), (∞, ∞) và (1, ∞) Nếu

N1)(r, 0, f ) + N1)(r, f ) < (λ + O (1)) T (r),với r ∈ I và 0 < λ < 1/2, thì f ≡ g hoặc f.g ≡ 1

Ta chứng minh các kết quả sau

Định lý 2.10 ([20]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chungnhau (0, k1), (∞, k2) và (1, k3), với kj (j = 1, 2, 3) là số nguyên dươngthỏa mãn

k1k2k3 > k1 + k2 + k3 + 2 (2.21)Nếu

limr→∞

Rõ ràng, nếu kj (j = 1, 2, 3) là số nguyên dương thỏa mãn (2.21) thì

kjki > 1 (j 6= i, j, i = 1, 2, 3) (2.23)Chứng minh Giả sử f 6≡ g Từ f và g chung (0, k1), (∞, k2) và (1, k3),với kj (j = 1, 2, 3) thỏa mãn (2.21), từ Bổ đề 1.10 ta được (1.10) Cho Hxác định bởi (1.3), nếu H 6≡ 0, từ Bổ đề 1.7 và (1.10) ta được (1.8), mâu

thuẫn với (2.22) Do đó H ≡ 0 Từ Bổ đề 1.8 ta thấy f và g chung (0, ∞),(∞, ∞) và (1, ∞) Mặt khác, từ Định lí 2.8 ta có được kết luận của định

Định lý 2.11 ([20]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung(0, k1), (∞, k2) và (1, k3), với kj (j = 1, 2, 3) là những số nguyên dươngthỏa mãn (2.21) Nếu

N1)(r, 0, f ) + N1)(r, f ) < (λ + O (1)) T (r), (2.24)với r ∈ I và 0 < λ < 1/2, thì f ≡ g hoặc f.g ≡ 1

Nếu I2 là tập độ đo tuyến tính vô hạn, với f và g chung nhau (0, k1) và(∞, k2), từ (2.24) và (2.25) ta được

limr→∞

Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp< /h2>

2.1 Hàm phân hình chung ba giá trị

Trong phần này, chúng tơi trình bày lại số kết vấn đ? ?duy cho hàm phân hình chung ba giá trị... g chungnhau a giá trị IM f g chung (a, 0)

1.2.2 Một số tính chất

Trong phần này, giới thiệu số bổ đề tính chất cáchàm phân hình chung ba giá trị tập hợp Các bổ đề. .. Bởi hàm nguyên có giá trị bỏ đượcPicard ∞

Định lý 1.5 Mỗi hàm phân hình C có nhiều hai điểm bỏđược Picard

1.2 Hàm phân hình chung ba giá trị

Cho f hàm phân hình,