cTính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và Â = 2àB... Cho tam giác ABC không cân nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O.. Chứng minh rằng a.y1
Trang 1Đề số 1
Bài 1 Cho biểu thức :
A
= + ữ ữ − ữữ
a.Rút gọn A
b.Tính A biết x= − 4 2 3.
c.Tìm x để A > 1
Bài 2 Cho hàm số : 2 2 .
1
x x y
x
−
=
− a.Chứng minh rằng : Đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thị tại hai điểm A
và B
b.Tìm k sao cho OA ⊥ OB
Bài 3 Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b ; AB = c Chứng minh rằng :
a)Nếu  = 2àB thì a2 = b2 + bc
b)Ngợc lại : nếu a2 = b2 + bc thì Â = 2àB
c)Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng số đo các cạnh là ba số
tự nhiên liên tiếp và Â = 2àB
Bài 4 Cho z≥ ≥ >y x 0. Chứng minh rằng :
.
+ + + ≤ + +
H ớng dẫn giải
Bài 1.a - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là : x≥ 0;x≠ ± 1.
- Rút gọn A từng phần ta đợc kết quả :
1 1
x x A
x
+ +
=
− b.Biến đổi : ( )2
x= + = +
- Thay vào và rút gọn A ta có : A= 2 3 3 +
c.Xét hiệu : 1 2 .
1
x A
x
+
− =
−
Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : x≥ 0 buộc : x− > ⇔ > 1 0 x 1.
Bài 2 a.ĐK : x≠ 1.
- Xét phơng trình : 2 2 .
1
x x
x k x
− = − +
−
x x x x k
Trang 22 1 d
b
a
⇔ 2x2 − +(k 3)x k+ = 0 (*).
Ta có : 2 ( )2
∆ = − + = + + > ∀x. Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt Chứng tỏ : y = -x + k luôn cắt 2 2
1
x x y
x
−
=
− tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ xA; xB
b Hệ số góc của OA : 1 A A .
y x k a
− +
= =
Hệ số góc của OB : 2 B B .
y x k a
− +
= =
Do OA ⊥ OB nên : a a1 2 = − 1 tức là : ( ) 2
1
A B
x x k x x k
x x
= − (**)
Theo Viet ta có : 3;
2
k
x +x = +
2
A B
k
x x =
Thay vào (**) ta có : k2 2k 1.
k
− = − Do k ≠0 nên : k - 2 = -1 ⇔k = 1.
Bài 3.
a)Kẻ phân giác AE (E ∈ BC)
Suy ra : Â1 =Â2 = àB1
Từ đó chỉ ra VABC đồng dạng với VEAC (g.g)
AC BC
EC AC
⇒ = ⇒ AC2 = EC BC hay b2 = a.EC (1)
Do AE là phân giác :
.
EC
EB = AB ⇒ EC EB =b c⇒ =b c
Thay (2) vào (1) ta có :
b2 = a ab
b c+ ⇒ a2 = b2 + bc.
b)Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB
a b c BC CD
+ V VBDC (c.g.c) ⇒ àB1 = àD, ãBAC = ãDBC mà VABD cân ở A ( do AD = AB) nên àB2 = àD Vậy : ãBAC = 2 àB
c)Theo câu a ta có : a2 = b(b + c) (1) ⇒ a > b mà a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có hai khả năng xẩy ra :
*a = b + 1 hoặc a = b + 2
Trang 3(b + 1)2 = b(b + c)
b2 + 2b +1 = b2 + bc
b(c - 2) = 1 Khi đó xẩy ra b = 1 ⇒ c - 2 = 1 ⇒ c = 3 ; a = 2 loại vì : a = b + c.
2 - Nếu a = b + 2 thì từ (1) ta có :
(b + 2)2 = b(b + c)
b2 + 4b +4 = b2 + bc
b(c - 4) = 4
Ta có các trờng hợp sau :
*b = 1 ; c - 4 = 4 ⇒ c = 8 ; a = 3 loại vì : a + b < c.
*b = 2 ; c - 4 = 2 ⇒ c = 6 ; a = 4 loại vì : c = a + b.
*b = 4 ; c - 4 = 1 ⇒ c = 5 ; a = 6 thoã mãn
Vậy ba cạnh của tam giác là : 4, 5, 6
Bài 4 - Xét hiệu : A = y 1 1 1(x z) 1 1 (x z).
+ + + − + +
- Rút gọn : (x z x y z y) ( ) ( ) 0
A
xyz
= ≤ do z≥ ≥ >y x 0.
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Đề Số 2
Bài 1 Cho biểu thức :
1.
P
a.Rút gọn P
b.Tìm m để P = 2.
c.Tìm m ∈ N để P ∈ N.
Bài 2 Cho phơng trình : x2 −x.cos α + sin α − = 1 0.
a.Chứng minh rằng : PT luôn có hai nghiệm x1 ; x2
b.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào α.
Bài 3 Cho tam giác ABC không cân nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Hai
đ-ờng cao AI và BE cắt nhau tại H
a.Chứng minh : CIHã =CBAã
b.Chứng minh : EI ⊥ CO
c.Cho ãACB= 60 0 Chứng minh : CH = CO
Bài 4.Giải hệ phơng trình :
Trang 430 35
x y y x
x x y y
H ớng dẫn giải
Bài 1.a ĐK : m≥ 0;m≠ 1.
- Biến đổi rút gọn : 1.
1
m P m
+
=
−
b P = 2.Ta có :
9
9
m
m
=
=
c Viết P dới dạng : 1 2 .
1
P
m
= +
− Suy ra : m− 1 là ớc của 2 Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9
Bài 2 a Tính : ( )2 ( ) 2 ( )
cos α 4 sin α 1 cos α 4 1 sin α
Vì sin α ≤ ⇒ ∆ > 1 0 ∀ α nên PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
b.Theo Viet ta có :
2
+ =
(x +x ) + (x x + 1) = cos α + sin α = 1
Hay : 2 2 2 2
x +x + x x +x x =
Bài 3 a CH cắt AB ở F ta có : CF ⊥ AB
CHI CBA= = −HCI.
b.Kẻ đờng kính CD Ta có :
BCD BAD ABE FCEã = ã = ã = ã = ãAIE.
Suy ra : ãAIE EIC BCD EIC+ã =ã +ã = 90 0 hay EI ⊥ CO
c.Chỉ ra : ∆CHE đồng dạng với ∆CDB Suy ra : CH CE
CD =CB
Do ãACB= 60 0 nên EBCã = 30 0 1 .
CB CH
CD
Bài 4 Đặt x m= ≥ 0; y = ≥n 0.
Ta có hệ :
3
30
35
mn m n
m n mn
m n mn m n
m n
+ =
+ =
5 6
m n mn
+ =
⇔ =
Vậy m, n là nghiệm của phơng trình : t2 -5t + 6 = 0
f
d
b c
a
Trang 54 9
x y
=
=
hoặc
9 4
x y
=
=
Đề Số 3
Bài 1 Cho biểu thức :
N
ab b ab a ab
+
a.Rút gọn N
b.Tính N khi a= 4 2 3+ ; b= 4 2 3−
c.Chứng minh : nếu 1
5
a a
b b
+
= + thì N có giá trị không đổi.
Bài 2 Cho hai hàm số :
y1 = -x
y2 = x2 - 2(m+2)x + m2 +3m
Chứng minh rằng
a.y1 luôn cắt y2 tại hai điểm phân biệt A và B
b.Khoảng cách AB không phụ thuộc vào m
Bài 3 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), M là một điểm trên cung BC không chứa A ( M không trùng với B,C ) Gọi H, I, K lần lợt là điểm đối xứng của
M qua AB, BC, CA MI cắt BC ở E, AB cắt HM ở F
a.Chứng minh: Bốn điểm B,E,M,F thuộc một đờng tròn
b.Chứng minh: H,I, K thẳng hàng
c.Tìm vị trí của M để HK lớn nhất
Bài 4 Tìm x , y ∈ N để :
1! + 2! +3! + … + x! = y2
H ớng dẫn giải
Bài 1 a ĐK : a , b ≠ 0 ; ab > 0 ; a ≠ b
- Rút gọn ta có kết quả :
.
a b A
a b
+
=
− b.Biến đổi : a= 4 2 3 + = ( 3 1) + 2 = 3 1 +
b= 4 2 3 − = ( 3 1) − 2 = 3 1 −
Ta đợc : N = - 3
c Ta có : 1 ( 1) 1 5
b a
Trang 6Thay vào ta có : 6 3.
a N a
= =
Bài 2 a Xét phơng trình :
x − m+ x m+ + m= −x
Hay : x2 − (2m+ 3)x m+ 2 + 3m= 0.
Ta có : ∆ = (2m+ 3) 2 − 4(m2 + 3 ) 9 0m = >
Chứng tỏ : y1 luôn cắt y2 tại hai điểm phân biệt A và B
b Ta có :
3.
2
A
m
x = + + = +m ; 2 3 9
2
B
m
x = + − =m
yA=- m ; yB = - m -3
Vậy : AB= (x B −x A) 2 + (y B −y A) 2 = 18 3 2 =
Bài 3 a Gọi D là trung điểm cua BM Do các tam giác BEM và BFM
vuông nên DE = DF = DB = DM Suy ra: B,E,M,F thuộc đờng tròn đờng kính BD
b.Chứng minh F,E, N thẳng hàng ( Dựa vào đờng trung bình của tam giác) Suy ra: H,I,K thẳng hàng
c.Chứng minh cho ãHAK =2BACã Do ãBAC cố định nên ãHAK cố định
Để HK lớn nhất thì AH lớn nhất mà AH = AM suy ra: AM lớn nhất khi nó là đờng kính
Bài 4 Ta có : 1! + 2! + 3! +4! = 33.
Nhận xét : x≥ ⇒ 5 x! có tận cùng là 0
Suy ra : 1! + 2! +3! + 4! + 5! +… + x! có tận cùng là 3 mà y2 không có tận cùng
là 3 Vậy : x < 5
Xét x = 1 , 2 , 3 , 4 ta đợc các cặp sau thoã mãn :
1 1
x y
=
=
và
3 3
x y
=
=
f
n
e m
k a