PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A... Hơn nữa, hàm số mũ luơn nhận giá trị dương với mọi x.
Trang 1Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
I LUỸ THỪA
Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực
Bài 1: Tính các biểu thức :
a) 4 3 2
81
109
B
c) 1 10 3 4 2 1 1 9
C
6 12
5 11
3 2
5 25 3 18
3 2
ĐS: A 0;B 0;C 8;D 13
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :
3
2
1 1
a
ĐS: 2
Bài 3 : Cho biểu thức :
.
a b ab A
a b
Tính A khi a = 5 ; b = 2 ĐS: 5 2
Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa
Phương pháp:
- Hàm số yx có tập xác định dựa vào Cụ thể:
Khi *
N
thì hàm số xác định với mọi x
Khi N thì hàm số xác định với mọi x 0
Khi Z thì hàm số xác định với mọi x 0
- Hàm số yx có đạo hàm với mọi x > 0 và ' 1
x x
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
a) 2 3
2
y x Giải
a) Vì 3Znên hàm số xác định khi 2 2
0
x
x
Vậy tập xác định D ;0 2;
Đạo hàm 3 1 3 1
b) Hàm số xác định khi 2x 6 0 x 3
Vậy tập xác định D3;
Đạo hàm
3 3
'
x y
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
CHUONG II: HÀM S? LUY TH?A - HÀM S? MU VÀ HÀM LÔGARIT
Trang 2a) 8
1
y x d) 5 3
1
x y x
g) 3
1
2 5 4
4
y x
II LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit
log
1) log
2) log 1 0
4) a
N a
a
a
b
a
5) log ( ) log log 6) log log log
1 7) log log 8) log log
log 9) log 10) log log log
log
N
N
c
c
b
c
N b
a
Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức
a)
2
log 3
1
8
A
3
1 log 343 log 49 log
7
Giải
2 2
log 3
3
2
3 3
1
7
Ví dụ mẫu:
a) Cho log 52 a Tính log 12504 theo a
b) Cho log 202 b Tính log 520 theo b
Giải
2
log 2.5
log 1250
a
b)
2
20
20 log
log 5
b b
Bài tập luyện tập:
Trang 3Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Bài 1: Tính các lơgarít sau:
a)log 273 b) 1
9
log 3 c)
3 2
1 3
1 log
81 d) log 2 5
16
e)
5
log 3
1
25
g) 2
4 log
a a h)
3
2 1 log
a
a i)ln 1
e Bài 2: Rút gọn biểu thức:
3
1
2
a A
b B
c C
d D
3 2
9 8
4
log 2 log 3
log 2 log 27
1
25
e E
f F
g G
h H
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) 3 3 27
1 log 2 log 3log 4
16 81
A b) 5 5 2008
1 log 4 2log 3log 1
2 5
B c)
1
1 log 2 log 3log 4 2
16 2
a
C
a
d) 1 log 4 9 2 log 3 2 3 2log 4 5
Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b :
1) Cho alog 52 , blog 32 Tính log 452 theo a và b
2) Cho alog 53 , blog 32 Tính log 1003 theo a và b
3) Cho 1
2 log 3
a , blog 52 Tính log2 0,3 theo a và b
4) Cho log 330 a; log 530 b Tính log 830 theo a và b
5) Cho log 35 = a Tính 3
5
27 log
25 theo a và b
Bài 5:
1) Chứng minh rằng log 1 log
log
a
a ab
N
b
N với a, b, N > 0, ab 1
2) Chứng minh rằng
2
2
loga loga loga n 2 loga
với a, x > 0, a, x 1
3) Cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit
Phương pháp:
- Hàm số y loga x với a 0,a 1 xác định khi x 0
- Hàm số y loga x với a 0,a 1 cĩ đạo hàm với mọi x > 0 và ' 1
log
.ln
a x
x a
Trang 4Đặc biệt ' 1
ln x
x
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
a) 2
3
log
1
x y
x
Giải
a) Hàm số xác định khi 2 1
0
0
x
x
Vậy tập xác định D ;0 1;
Đạo hàm
2
'
y
b) Hàm số xác định khi 2 4 0 2 1
1
x
x x
Vậy tập xác định D 2;1
Đạo hàm
'
2
1
1
x
x x
y
x
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = 2
log x 3x 4 b) y = 1
3
2 log
1
x x
2 2 log
4
x
d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) e)y = 4 2
1 2 log x 3x 4 - logx f) y = 2
ln x 3x
III Hàm số mũ
Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ
Phương pháp:
- Hàm số x
ya với a 0,a 1 xác định với mọi x
- Hàm số x
ya với a 0,a 1 có đạo hàm với mọi x và '
ln
Đặc biệt x ' x
e e
Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số
a) 2 3 1
2x x
ye
Giải a) Đạo hàm 2 3 1 2 2 3 1
' 2x x ln 2 3 1 ' 2 3 2x x ln 2
b) Đạo hàm sin sin
Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x e) y = etanx f) y = x2 3x 2
e g) y = 3x + 5x h) y = 2 1
5x
Trang 5Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A Phương trình mũ
Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số
Phương pháp:
( )
( ) log , 0, 1, 0 ( ) ( ), 0, 1
f x
a
f x g x
Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau
a) 1 1
2x x 4 x
Giải a) Ta có : 1 1
6
x
x
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất log615
2
x b) Ta có:
2
2
8 2(1 3 )
2
2
8 2(1 3 )
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 254x = 53x – 1 b) 2 3 4 1
3x x 9x c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2
ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; c) x = 0; d) x = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8
c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60
ĐS a) x = 2; b) x = 4 c) x = 1; x = 3 d) x = 1
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Phương trình 2
Phương trình .a x.ax 0 Đặt t a t x, 0 ta được .t 0
t
Phương trình 2 2
x
a
b
ta được
2
Phương trình .a x.b x 0 với a b 1 Đặt ta t x, 0 ta được .t 0
t
Ví dụ mẫu: Giải các phương trình:
a) 9x 12.3x 27 0 b) 1 1
10x 10x 99 c) 5.49x 12.35x 7.25x 0
Trang 6Giải a) Ta có : 2
9x12.3x27 0 3x 12.3x270
Đặt t3x, t > 0
Ta được phương trình: 2 3
9
t
t
Với t = 3 thì 3x 3 x 1
Với t = 9 thì 3x 9 x 2
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1;x2
10
x
Đặt t 10x, t > 0
Ta được phương trình: 10 2 10
0,1 ( )
t
t
Với t = 10 thì 10x 10 x 1
Phương trình có nghiệm duy nhất: x 1
c) Ta có
2
Đặt 7 , 0
5
x
t t
Ta được phương trình: 2
1
5
t
t
Với t = 1 thì 7 1 0
5
x
x
Với t = 7
5 thì 7 7 1
x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0;x 1
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Giải phương trình :
a) 49x + 4.7x – 5 = 0 (ĐS: x = 0) b) 3x+2 + 9x+1 = 4 (ĐS: x = -1)
c) 22x + 1 +3 2x = 2 (ĐS: x = -1) d) 92x +2 - 4.32x + 1 + 3 = 0 (ĐS: PTVN)
e) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 (ĐS: x = -1) f) 2 3 3 2 5 0
(ĐS: x = 0, x =1)
g) 1
3x 2.3x 5 0 (ĐS: x = 1; x = log 3 2) h) 6 3
e e (ĐS: x = 0, x = ln3
2)
Bài 2 : Giải các phương trình :
a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 (ĐS: x = 1) b)27x 12x 2.8x (ĐS: x = 0)
c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 (ĐS: x = -2) d) 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0 (ĐS: x = 1)
Bài 3 : Giải các phương trình :
a) 2 3 x 2 3x 4 (ĐS: x = 1) b) 6 35 6 35 12
Trang 7Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Vấn đề 3 : Lôgarit hoá
2x 5x x
Giải
Vì hai vế của phương trình đề dương nên lấy logarit cơ số 5 ở 2 vế ta được PT:
2
5
x x x x1 log 2 5 x1x2 x 1 x 2 log 25
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 + log52
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình
a) 3 2x x2 1 (ĐS: x = 0; x= -log 2 3) b) 5 8 1 100
x
x x (ĐS: x = 2; x= -log 5 2-1)
c)
1
x
x x
(ĐS: x = 5; x= -log 5 2) d) 3 8 1 36
x
x x (ĐS: x = 2; x= -log 3 2 +1)
Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu
Phương pháp:
- Phương trình f x( ) a với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì có không quá 1 nghiệm trên D
- Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v) u = v với u, v D
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x 11 x
Giải
Ta có: 2x 11 x 2x x 11
Vì 2xx' 2 ln 2 1 0,x xnên hàm số f x( ) 2xx tăng trên R
Mặt khác x = 3 là một nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài tập luyện tập Giải các phương trình :
a) 3x + 4x = 5x b)5x = 1 – 3x
c) 2 32 1
x
B Phương trình lôgarit :
Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số
Phương pháp: với a > 0, a 1 ta luôn có log ( ) ( )
b a
Ví dụ mẫu: Giải các phương trình
a) log2x log4x log8x 11 b) log5x log25x log 5 3
Giải a) Điều kiện: x > 0
Khi đó:
Trang 82 3
2
2 6
11
6
x x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64
b) Điều kiện: x > 0
Khi đó:
2
1 2
5
2 3
2
3
3
2
2
3
3
x
x
x
x
Vậy phương trình có nghiệm 3
9
x
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình :
a) log2 log4 log8 33
6
x x x b)log4log2xlog2log4x2
c) log (2 x 3) log (2 x 1) log 52 d) 2
log (x 3) log 5 2 log (x 1) log (x 1)
e) 2 2
log (x1) log x 2x 1 6
ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = 2 e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
1) Giải các phương trình :
a) 2
log x4log x 3 0
6
e)
2 2
8
x
3
x
Hướng dẫn
a) Điều kiện: x > 0 Khi đó đặt t = log3x ta được phương trình t2
– 4t + 3 = 0 b) Điều kiện: x > 0 Khi đó đặt t = log5x ta được phương trình t2 – 2t – 3 = 0
c) Điều kiện: x > 0, x 1 Chú ý rằng
5
1 log 5
log
x
x
Trang 9Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
e) Điều kiện: x > 0 Chú ý rằng 2 2
log (4 )x 2 log x ;
f) Điều kiện: x > 0, x 1/3 Chú ý rằng
3
3 3
3 log
1 log 3
log
x
x x
2) Giải các phương trình :
a) 1 2 1
5 lgx1 lgx
1
4 lnx 2 lnx
c) 1
log (3x 1) log (3x 3) 6
Hướng dẫn
a) Điều kiện: x > 0, x 105, x 10-1 Khi đĩ đặt t = logx ta được phương trình 1 2 1
5 t 1 t
d) Điều kiện: x > 0 Khi đĩ 1
log (3x 1) log (3x 3) 6 log (3x 1) 1 log (3 x 1) 6
Vấn đề 3 : Mũ hố
Giải các phương trình :
a) log5x (x + 4) = 1 b) 2
2 x 3log 2 log (3x 5 x)
Hướng dẫn
IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = a x
tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1 Hơn nữa, hàm số
mũ luơn nhận giá trị dương với mọi x
Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)
a) 16x – 4 ≥ 8 b) 1 2 5 9
3
x
d) 2 6
4x x 1 e)
2
4 15 4
3 4 1
2
x x
x
f) 52x + 2 > 3 5x
Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 1 1 1 2
4x 2x 3
d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = log a x với x > 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1
Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
a) log2
2 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2
Trang 10c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d) 1 1 1
1 logxlogx
2
1
x
x
BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO Bài 1: Giải các phương trình sau
2x 2x 2x 3x 3x 3) 2 3x+1 – 6 3x-1 – 3x = 9
4) 1
3 1
8
x
x
2
5 7
9
3
x
x x
10 3 x x 19 6 10 x 7) 2 8 5
e e 9) 3x2 2x 1 3x2 2x
2 9 2
10) 8x2.4x2x 2 0 11) 3.8x4.12x18x2.27x0 12) 27 12x x 2 8 x
13) 4.9x12x 3.16x 14) 25x15.10x50.4x0 15) 15.25x2 34.15x2 15.9x2 0
16) 2 2 1 2 2
7 x x 7 x x 8 0 17)5 x 51 x 40
18) 2 3 2 3 2
3x x 3 x x 10 0
19) 5 21 5 21 5.22
x
2 5
3 16 5
21) 7 4 3 x 3 2 3x 2 0 22) 2 2 8 2
1 1
x
2 3x x 8
25) 2 1 9
3
x
x
28) 9x 2 (x 2 ) 3x 2x 5 0 29) 8 2 23 0
x
x x x 30) 3.9x 4 3x x 4x 3 0
31)2x1 3x 6x 2 32)10 15 3 5 5 2x x x 33)21 3x 4x 225x 42 2x2 3x 31
34) 2x 2 x 2 cos2x2x 35) 2x2 3x2 5x2 6x2 41 x2 36)
2 3x x 4x 2 2x x
Bài 2: Giải các phương trình sau
1) log 7x 2 log 7x 2 1 log 72x 7 2) log42log 1 log (1 3log3 2 2 x) 1 3) 6 lg x xlg 6 12
4)2log x 5log 9x32 3 3 0 5) lg4(x – 1)2 + lg2(x – 1)3 = 25 6) 2log x5 log 125 1 0x
7) log (2 x2 4) x 3 log (2 x2) 8) log ( 3 )log
log
2
2
10) log22x(x1) log2x2x 6 0 11) log (25 x 1) (x5) log (5 x 1 16 0)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
1)3x 9.3x 10 0 2)5.4x 2.25x 7.10x 0 3)
3 1 1 3
5
log x 6x 8 2 log x4 0 5) 2
3
log log x 5 0
8 log x 4x 3 1