Chuyên đề Toán sơ cấp - Giải tích tổ hợp

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.. Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chậ[r]

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG

KHOA SƯ PHẠM



! "# $% &

&%'( ) & *+

5, 2010

! " #

/ " 89 8 :;< => # < - ?& # 4 # &' @

$ GB # $ 5 &' E < - 9 ,- E F 4 H % # & IE <

PHẦN I : CƠ BẢN

A LÝ THUYẾT :

I HAI QUI TẮC CƠ BẢN :

1 Qui tắc cộng :

- Một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương

án A hoặc B Nếu phương án A có m cách thực hiện , phương án B có n

cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện

- Tổng quát :

Một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án

1, , ,2 3 k

thể thực hiện theo n cách,…, phương án 2 A có thể thực hiện theo k n cách k

Các phương án ở các cách không trùng nhau

Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n n n1 2  3  n k cách

Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy Cần chọn một đường để đi từ A đến B Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy

Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn

Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn

Và 2 phương án này độc lập với nhau Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả:

3 + 2 = 5 cách chọn

Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải Thực khách có 3 phương án chọn :

Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn

Hoặc chọn bia : 4 cách chọn

Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn

Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn 1 loại thức uống

2 Qui tắc nhân :

- Một công việc nào đó có thể bao gồm 2 công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự hiện

- Tổng quát :

Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn A A A1, , ,2 3 A k

Nếu công đoạn A có 1 n cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công 1

đoạn A có 1 n cách thực hiện công đoạn 2 A , ứng với mỗi cách trong công 2

đoạn A có 2 n cách thực hiện công đoạn 3 A ,…, ứng với mỗi cách trong 3

công đoạn A k1có nk cách thực hiện công đoạn A k

Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n n n n cách 1 2 3 k

Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa Từ Huế đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có bao nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ?

Giải

Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau :

Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi

Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2

Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả :3.4 12 cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ?

Giải

Số cần lập có dạng :a a a a  , để lập được số như thế ta thực hiện 1 2 3,( 1 0) các giai đoạn sau :

Chọn a : có 4 cách chọn 1

Chọn a : với mỗi cách chọn 2 a có 3 cách chọn 1 a a1  2

Chọn a : với mỗi cách chọn 3 a có 2 cách chọn 2 a a1 2 a3

Vậy theo nguyên tác nhân có tất cả : 4.3.2 24 số thỏa yêu cầu bài toán

II HOÁN VỊ :

- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n  Mỗi kết quả của sự 1

sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần

tử đó

- Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau

- Số các hoán vị : Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử : n

-1 2.1 !

n

Thật vậy để có một hoán vị ta có thể chọn phần tử đứng đầu theo n

cách, sau đó ta chọn phần tử thứ 2 theo (n-1) cách,…, chọn phần tử n theo

1 cách duy nhất Do đó ta có tổng số hoán vị là : n.(n-1)…2.1

- Qui ước : 0! 1

Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi ?

Giải Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử,

có tất cảP 3 1.2.3 3! 6  cách sắp

Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Ví dụ : Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số

2, 6, 7, 9 ?

Giải Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử Vậy ta có tất cả là :

4 4! 24

P   (số)

- Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử n  Mỗi kết quả 1

của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó

- Số hoán vị vòng của n phần tử là :

n

Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ?

Giải

Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL,

BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không

có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất Vậy số cách sắp xếp là :

  -1

! -1 !

n

Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?

Giải

Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là :

2n 2

n

III CHỈNH HỢP :

- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n  Kết quả của việc lấy 1

k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ

tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

- Số các chỉnh hợp : Kí hiệu Ak

n là số chỉnh hợp chập k của n phần tử

1 k n  

-1 - 1

- !

k

n k

Thật vậy để lập một chỉnh hợp chập k của n phần tử ta chọn phần tử đứng đầu theo n cách, sau đó chọn phần tử thứ hai theo ( n - 1) cách,…, phần tử thứ k theo n - ( k-1) cách Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chập k của n phần tử là n n -1 -  n k  1

- Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó Vì vậy :

n

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, … 9 ?

Giải Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ

số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định Mỗi

số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9

Vậy số các số đó là : 5

IV TỔ HỢP :

- Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử n  Mỗi 1 tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

- Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n  Tuy vậy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng

- Số các tổ hợp : Kí hiệu k

n

0 k n  , ta có :

! - !

k n

n C

k n k



Đểtính tổng số tổ hợp ta lập luận như sau : Giả sử từ n phần tử đã cho ta tạo nên k

n

C chỉnh hợp Đem mỗi tổ hợp chập k này hoàn vị theo mọi

cách sẽ có k! chỉnh hợp chập k Do đó toàn bộ k

n

C tổ hợp chập k của n phần

tử sẽ ứng với k! k

n

C chỉnh hợp chập k Do đó :

! k k

- Tính chất của các số k

n

C :

 

1

, 0





Ví dụ : Cho tập A 1,2,3,4,5 Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A ? Liệt kê chúng

Giải

Có tất cả

3

3! 5 3 !

 tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A

Các tổ hợp đó là :

1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 ; 2,3,4 ; 2,3,5 ; 3,4,5 ; 1,3,4 , 1,3,5 ; 2,3,4 , 1,4,5                   

Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách lập ?

b) Có bao nhiêu cách lập đoàn dại biểu trong đó có 3 nam, 2 nữ ?

Giải a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 Vì vậy số đoàn đại biểu có thể có là : 5

5!(10 - 5)!

b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có 3

6

C cách chọn

Chọn 2 người từ 4 người nữ : có 2

4

C cách chọn

Theo nguyên tắc nhân có tất cả 3 2

V CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP :

1 Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… )

2 Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :

Hoán vị Tổ hợp Chỉnh hợp

- Các phần tử chỉ xuất

hiện một lần

- Lấy ra hết n phần tử

để sắp xếp

- Các phần tử xếp có

thứ tự

- Các phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp

- Các phần tử xếp có thứ tự

- Các phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp

- Các phần tử xếp không có thứ tự

3 Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp xếp có thứ tự hay không Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên

ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp

án , nếu :

 Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  tổ hợp

 Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  chỉnh hợp

Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3 người để :

a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ

Phân tích

Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C

Đối với câu a : nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn không thay đổi so với tổ ban đầutổ hợp

Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầuchỉnh hợp

4 Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : k ! k

A k C ta còn

có thể giải bài toán đếm bằng cách " chọn và sắp "

Lấy lại ví dụ ở trên : Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để : a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ

Giải a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3

37

C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất

Vậy ta có tất cả : 1 3

37

C = 7770 (cách)

b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3

37

C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp

Vậy ta có tất cả : 3! 3

37

C = 46620 (cách)

5 Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :

 Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra

 Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí

“ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm ( phức tạp) ”

Các từ cần lưu ý : “có ít nhất 1”, "có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"…

Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao cho A không đứng cạnh B ?

Phân tích Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5

Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ xuất hiện nhiều trường hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn

Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem như A, B là một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được kết quả bài toán Việc đếm gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều

Giải

Xem A và B như một chỗ, ta có 4! = 24cách xếp Nhưng A có thể đứng bên trái hoặc bên phải B nên ta có 24.2 = 48cách xếp A đứng cạnh B

Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp

Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách

VI MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN :

1 Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp

* Bài toán 1 :

"Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam Cần chọn ra 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? "

Lời giải 1 :

- Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3

A  cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3

A  cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 720.1320 950400 cách

Lời giải 2 :

- Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3

C  cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3

C  cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 120.220 26400 cách

Lời giải 3 :

- Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3

C  cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3

C  cách

Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400 cách

Vì một đôi gồm 2 bạn ( 1 nam, 1 nữ ) nên chọn ra 1 bạn nam ( trong 3 bạn nam ) và một bạn nữ ( trong 3 bạn nữ ) có : 3.3 = 9 cách

Vậy có tất cả là : 3 3

10 12

Lời giải 4 :

- Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3

C  cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3

C  cách

Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400 cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là

số hoán vị 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ )

Vậy có tất cả là : 3 3

10 12

3! .C C 6.120.220 158400 cách

Phân tích Lời giải 1 : là lời giải sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh

Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi

Lời giải 3 : lời giải sai nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam

và nữ ( đề bài yêu cầu chọn ra 3 đôi )

2 Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại :

* Bài toán 2 :

" Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E Cần chọn ra 3 bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn ?"

Lời giải 1 :

- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn

- Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn

- Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn

Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn

Lời giải 2 :

- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn

- Chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại : có 2

C  cách chọn

Vậy ta có tất cả : 2

4

5.C 5.6 30 cách chọn

Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử

Số cách chọn là : 3

C  cách

Phân tích

Lời giải 1 : đây là lời giải sai, ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3 bạn trong khi đề bài không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví

dụ :

Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn

- Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả

3 bạn được chọn là A, B, C

- Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả

3 bạn được chọn là B, A, C Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng

Lời giải 2 :lời giải sai, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp

là chính xác nhưng ở đây ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai

Lời giải 3 : lời giải đúng

* Bài toán 3 :

"Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Chọn ra 6 học sinh sao cho có ít nhất 6 học sinh nữ được chọn ?"

Lời giải 1 : Tính trực tiếp :

- Trường hợp 1 : 2 nữ, 4 nam có : 2 4

15 30

C C cách chọn

- Trường hợp 2 : 3 nữ, 3 nam có : 3 3

15 30

C C cách chọn

- Trường hợp 3 : 4 nữ, 2 nam có : 4 2

15 30

C C cách chọn

- Trường hợp 4 : 5 nữ, 1 nam có : 5 1

15 30

C C cách chọn

- Trường hợp 5 : 6 nữ có : 6

15

C cách chọn