Chuyen de Toan hoc 2011

Đặc biệt, đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa họctrừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung vàdạy toán trong nhà trường THCS nói riêng đã được đị

CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN

Trong thời kì cả nước đang tiến nhanh trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại

hoá đất nước Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội, côngnghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triển khôngngừng, nhất là đổi mới về phương pháp dạy học (PPDH) - một vấn đề đang được đề cập,nghiên cứu và bàn luận sôi nổi Đặc biệt, đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa họctrừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung vàdạy toán trong nhà trường THCS nói riêng đã được định hướng pháp chế hoá trong luậtgiáo dục đó là: “PPDH phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phùhợp với đặc điểm của từng lớp, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tậpcho HS,…” Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tậpthụ động vốn có của đa số HS trong nhà trường THCS

Trong quá trình giảng dạy, việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy, hay khảnăng tiếp thu kiến thức của HS đối với bộ môn toán chủ yếu thông qua giải bài tập.Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện kh¾c sâu nâng cao (ở mức độ chophép) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải, nguyên t¾c giảitoán Đối với HS lớp 9 ngoài việc truyền đạt cho HS những kiến thức, kĩ năng toán họctheo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồidưỡng cho một bộ phận HS khá, giỏi Đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến

hành thường xuyên ở trong các nhà trường thcs Nhằm tạo điều kiện để cho HS pháthuy được năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồidưỡng đội ngũ HSG các cấp, phát triển nhân tài cho đất nước.

Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với HS lớp 9 cần nắm vững đó

là giải bài tập về “Giải phương trình” nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 9môn đại số mới chỉ quan tâm hướng dẫn HS cách giải phương trình bậc hai, nhữngphương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ

do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra Chưađáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ năng của những em HS có năng lựchọc tập khá, giỏi Vì vậy, chúng ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho HSlớp 9 cách giải các phương trình có thể quy về phương trình bậc hai Những phươngtrình quy về phương trình bậc hai này không mới, nhưng nó có thể mới với nhiều thầy

cô, nhất là đối với các em HS Bởi vì dạy giải những phương tr×nh quy về phương trìnhbậc hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng Lí thuyết chỉ dạy về phương trìnhbậc hai nhưng ở đây dạy giải những phương trình ở các dạng khác có thể đưa về phươngtrình trung gian là những phương trình bậc hai thường gặp trong chương trình lớp 9,những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn HSG, thi vào trườngchuyên

Về hệ thống bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai trong SGK vàSBT có nhiều đề cập tới nhưng chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có sự hướng dẫn cụ thểnên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người học tiếp thu và nghiên cứu

Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chương trình dạy học của môn Đ¹i

số 9 Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, tổ khoa học tự nhiên trường

THCS Yên Bình xây dựng chuyên đề “Hướng dẫn HS giải một số phương trình quy

về phương trình bậc hai” Chuyên đề này hi vọng có thể làm tài liệu nghiên cứu, tham

khảo cho GV và HS, giúp người thầy đổi mới PPDH, giúp các em HS tự tin và thêm yêumôn toán và học toán ngày càng có kết quả tốt hơn

II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 MỤC TIÊU:

-Về giáo dục: Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi mới phương pháp là phát

huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS

-Về toán học: Góp phần rèn luyện các hoạt động trí tuệ của HS như phân tích,

tổng hợp, so sánh Tạo cho HS niền hứng thú say mê tìm tòi khai thác khám phá nhữngvấn đề mới trong toán học Đóng góp một phần vào nguồn tư liệu tham khảo tri thứctoán học

-Về chuyên đề: Nhằm hệ thống hoá, phân loại các dạng phương trình quy về

phương trình bậc hai Giúp HS biết cách giải một số dạng phương trình đặc biệt, thườnggặp bằng cách quy về phương trình bậc hai Từ đó thấy được cái hay cái đẹp của toánhọc nói chung và bộ môn đại số nói riêng

- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy

- Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng dạy nóichung

- Nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cơ bản, dễ hiểu khoa học, chính xác mẫu mực cho

HS noi theo

- Rèn luyện cho HS nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tư duy,phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo Cũng thông qua đó giáo dục cho HSgiá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho các em cáckiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng đồng và thực tiễn địa phương, có kĩnăng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề

thường gặp trong cuộc sống của bản thân, gia đình và cộng đồng Đồng thời giúp các em

tự tin giải toán trong các kì thi cử

3 PHƯƠNG PHÁP:

Trong quá trình nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải một số

phương trình quy về phương trình bậc hai”, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp

sau:

- Nghiên cứu lí luận

- Tham khảo thu thập tài liệu

- Thông qua các hoạt động học tập của HS “Cách tốt nhất để hiểu là làm” (theo Kant), tựlực khám phá những điều mình chưa biết, làm phát huy tính tích cực chủ động của HS

- Phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tratrực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu kiến thức của HS, từ

đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các PPDH

- Trưng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những GV trực tiếp giảngdạy toán lớp 9 để hoàn thiện thêm kiến thức, phương pháp

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

về phương trình bậc hai để giải

- Chuyên đề cũng chỉ đề cập nghiên cứu đối với các phương trình một ẩn số

có môn học nào thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.

Trong chương trình toán THCS, với sự đa dạng của các loại phương trình thì việc

hệ thống, tổng hợp, xâu chuỗi, phân loại các dạng phương trình là rất cần thiết và là mộtvấn đề rất quan trọng Với thời lượng ít ỏi dành cho một tiết luyện tập thì việc hướngdẫn cho HS cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai là rất khó khăn Vì vậygiáo viên thường ít quan tâm hướng dẫn HS giải phương trình quy về phương trình bậchai đặc biệt là các phương trình bậc cao, phương trình có dạng đặc biệt

Qua quá trình công tác, giảng dạy và bồi dưỡng chuyên môn, chúng tôi thấy:

- Đa số HS biết rất ít các dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải

Từ đó dẫn đến không hứng thú, thậm trí còn ngại và “sợ” khi gặp dạng toán giải phươngtrình

- HS yếu toán nói chung và yếu giải phương trình, đặc biệt là yếu về giải phương trìnhquy về phương trình bậc hai nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học,lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập Không ít HS thực sự chăm học nhưngchưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nênhiệu quả học tập chưa cao

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố và khắc sâu kiếnthức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới Do đó năng lực

cá nhân không được phát huy hết

- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc hệ thống, hướng dẫn HS giải các dạngphương trình quy về phương trình bậc hai

Việc tổng hợp, hệ thống hoá được các loại phương trình quy về phương trình bậchai và hướng dẫn HS giải sẽ giúp cho HS nẵm vững được một dạng bài tập toán quantrọng trong chương trình toán THCS, nhất là với HS lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10 Quantrọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi họctoán.

Trước thực trạng trên đòi hỏi người giáo viên phải hướng dẫn HS giải và hệ thốngđược các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai để khắc phục các điểm yếu của

HS, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu giáo dục

B NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:

I CÁC YÊU CẦU VÀ CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP:

1 Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập:

1.1 Hệ thống bài tập đưa ra phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho HS nắm vững bản chất

các kiến thức đã học, rèn luyện cho HS khả năng độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo và khảnăng suy luận

- Hệ thống bài tập đầy đủ là hệ thống không những đầy đủ về nội dung mà còn phải đầy

đủ về loại hình

- Các bài tập đưa ra cả đơn giản lẫn phức tạp Có bài thuần tuý toán học và có cả nhữngbài mang nội dung thực tế

1.2 Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học.

- Hệ thống bài tập chọn phải củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản - vì kiến thức cơ bản là

cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan Có nắm vững kiến thức cơ bản mới cóhướng để vận dụng vào thực tế giải bài tập

- Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho HS một cách có hệ thống, chínhxác Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho HS

- Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho HS, giúp HS thấy rõ vaitrò của toán học với thực tiễn, làm cho HS yêu thích và có hứng thú học tập đối với môntoán.

1.3 Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng HS Phải

làm cho HS thấy cần thiết và có khả năng giải các bài tập đã ra Nếu ra bài tập quá khó

sẽ gây tâm lí lo ngại cho HS Vì vậy, khi ra bài tập để áp dụng cho phù hợp, chúng ta cóthể chia ra thành 3 loại bài tập sau:

Loại 1: Bài tập có tính chất củng cố lí thuyết Loại bài này đòi hỏi tư duy ít phức

tạp Loại bài tập này nên ra với HS trung bình, yếu

Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bước đầu các hình thức tư duy, áp dụng lí thuyết

có tính chất phức tạp không nhiều nhưng cũng không quá đơn giản Loại này thường ravới HS trung bình, khá

Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tư duy khéo léo,

mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường là không trực diện Loại bài nàythường ra đối với đối tượng HS khá, giỏi, HS lớp chọn, lớp chuyên

1.4 Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với hoàn

cảnh, quy định của chương trình, nhưng sao cho HS phải nỗ lực mới hoàn thành được.Đồng thời nên giao cho HS những bài tập có gắn với thực tiễn (Ví dụ như bài toán vềdân số, lãi suất, năng suất công việc,…)

1.5 Phải phát huy được năng lực tư duy của HS, lựa chọn những loại bài tập mà HS

phải tư duy suy nghĩ, tìm tòi mới ra hướng giải

2 Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập:

2.1 Căn cứ vào mục đích dạy học:

Với bài tập về phương trình bậc hai giúp HS giải tốt phương trình bậc hai, biếtcách đưa các phương trình bậc cao hoặc các dạng khác về phương trình bậc hai trunggian

Bồi dưỡng cho HS những kỹ năng và thói quen giải bài toán trong thực tế Giúpcho HS phát huy, phát triển tư duy ở khía cạnh tính toán biến đổi, có những thao tác tưduy mềm dẻo

2.2 Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS:

- Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS về năng lực nổi lên rất rõ: số HS họcchuyên, học chăm chỉ chiếm tỉ lệ không lớn, số HS khá giỏi không nhiều Hơn nữa ởnhững nơi có điều kiện tự học và học thêm thì có chất lượng học tập cao hơn

- Căn cứ vào thực tế dạy học phần này ở THCS chưa nhiều Đội ngũ GV chưa đượcnghiên cứu thường xuyên

- Về hệ thống bài tập của SGK, SBT chưa đáp ứng được nhu cầu học tập, giảng dạycủa GV và HS Khi soạn giảng phần này đòi hỏi GV phải tự tìm tòi tài liệu, biên soạnlấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chưa thống nhất chung được

- SGK và chương trình hiện hành đã đưa ra cho HS một số loại phương trình quy vềphương trình bậc hai nhưng mới chỉ dừng lại ở việc nhận dạng, biết giải các phươngtrình đơn giản ở diện HS đại trà

- Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù hợp vớiđặc điểm của tiết học ấy Chẳng hạn mới học xong lí thuyết ta có thể đưa ra cho HSnhững bài tập áp dụng đơn giản trực tiếp về những phương trình có thể quy về phươngtrình bậc hai như: phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùngphương,

II MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT

1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ

2 Các quy tắc tính toán, biến đổi biểu thức đại số.

3 Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.

4 Hai quy tắc cơ bản biến đổi tương đương phương trình:

a, Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này

sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b, Quy tắc nhân với một số:

-Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

-Hoặc: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

*Chú ý: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số, ta

luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

5 Các phép biến đổi phương trình khác:

Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình đó thành các phương trìnhtương đương với nó Tuy nhiên, nhiều khi để giải phương trình, ta phải thực hiện nhữngphép biến đổi khác Do đó cần chú ý có những phép biến đổi có thể làm mất nghiệmhoặc làm xuất hiện thêm nghiệm (nghiệm ngoại lai) của phương trình Các phép biến đổi

không tương đương đó cùng với cách giải quyết được hệ thống ở bảng sau:

mẫu chứa ẩn

Phải đặt ĐK cho phân thức

có nghĩa (tìm ĐKXĐ của phương trình), hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩnNhân 2 vế của

phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn

Phải đặt ĐK cho đa thức khác 0, hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩn

Bình phương (hoặc lấy luỹ thừa chẵn) 2 vế của phương trình

Phải thử lại giá trị tìm được của ẩn

Phép biến đổi

có thể làm mất nghiệm

Chia 2 vế của phương trình cho cùng một đa thức chứa ẩn

Phải đặt ĐK cho đa thứckhác 0, rồi xét trường hợp

đa thức bằng 0, hoặc đưa về phương trình tích

Bỏ luỹ thừa chẵn (hoặc khai căn bặc chẵn) của phương trình dạng [f(x)]2n = [g(x)]2n

6 Kĩ năng giải phương trình dạng ax + b = 0 và phương trình bậc hai một ẩn.

7 Phép biến đổi, đặt ẩn phụ với biểu thức đại số và khi giải phương trình.

III HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:

Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai đểgiải sau đây:

Dạng 6 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m ≠0

Dạng 7 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m ≠0.

Dạng 8 Phương trình đối xứng

Dạng 9 Phương trình hồi quy.

IV CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:

1 Phương trình tích : là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của

các nhân tử chứa ẩn

1.1 Cách giải: Áp dụng công thức:

1 2

Ta giải n phương trình (1), (2), , (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

1.2 Ví dụ 1 (Bài 36, trang 56 SGK Toán 9): Giải các phương trình

a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 b) (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1

Giải: a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

2 2

x - 4 = 0 3x - 5x + 1 0

13 5

2

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 2;2;5 13 5; 13

⇔(2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0

⇔(2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 0 ⇔

2 2

2x +3x - 5 = 0 (1) 2x - x - 3 = 0 (2)

- Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax3+ bx2+ cx + d = 0

Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có một nghiệm x = -1

- Đa thức bậc n có các hệ số nguyên Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải

là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ

Loại phương trình này, HS cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là mộtdạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS.

2.1 Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước sau:Bước 1 Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình;

Bước 2 Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;

Bước 3 Giải phương trình nhận được;

Bước 4 Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãnĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho

2.2 Ví dụ: Giải phương trình:

2 2

-Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả tử và mẫu của mỗi

phân thức cho x ≠0, ta được:

• Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc hai bằng cáchđặt ẩn phụ x2 = t (t ≥ 0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = 0

• Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t Nếu nhữnggiá trị tìm được của t thoả mãn t ≥ 0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình banđầu

3t + 10t+ = ⇔ 3 0 (đều không thoả mãn ĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

-Chú ý: Có thể giải bằng cách đánh giá 3x4 + 10x2 + 3 ≥ 3 với mọi x => (2) vô nghiệm.

t t

 = −



