Phép dời hình và ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng” nhằm hệ thống định nghĩa, tính chất, phân loại và viết phương trình của các phép dời hình trên cơ sở sử dụng các kiến thức về t

Trờng đại học vinh Khoa TOÁN HỌC

LỜI NÓI ĐẦU

Phép dời hình trong hình học phổ thông là phép biến hình cơ bản và có nhiều ứng dụng để giải các bài toán trong hình học Ơclit Đặc biệt đối với các bài toán trong hình học sơ cấp thì việc dùng phép dời hình là rất hữu ích

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng” nhằm hệ

thống định nghĩa, tính chất, phân loại và viết phương trình của các phép dời hình trên cơ sở sử dụng các kiến thức về tích vô hướng, không gian Ơclit, phép biến đổi trực giao… Ngoài việc trình bày lí thuyết, chúng tôi cũng đã đưa ra một số ứng dụng của phép dời hình vào việc giải các bài toán hình học phổ thông

Trong khóa luận này, chúng tôi đã trình bày một số nội dung như sau:

§1 Không gian Ơclit Chúng tôi trình bày về các khái niệm và tính chất cơ

bản của tích vô hướng, không gian Ơclit, các phẳng vuông góc trong En và phương trình của phẳng trong En

§2 Phép dời hình trong không gian Ơclit Chúng tôi trình bày sơ lược về

ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính chất, phân loại và phương trình của phép dời hình

§3 Các phép dời hình ở phổ thông và ứng dụng Chúng tôi trình bày định

nghĩa,tính chất, phương trình và ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp

Khóa luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn, giúp của PGS.TS

Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân

thành đến thầy

Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến các thầy, cô trong tổ hình học cũng như các thầy, cô trong toàn khoa toán đã giảng dạy, trang bị kiến thức cho chúng tôi trong suốt thời gian qua.

Sau cùng, chúng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của tất cả các bạn sinh viên

Xin chân thành cảm ơn!

Nghệ An, tháng 05 năm 2012.

Tác giả.

§1 Không gian Ơclit

Trong mục này, ta luôn giả giả thiết rằng: Vn là không gian vectơ trên trường số thực, n- chiều Cũng trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của tích vô hướng, không gian vectơ Ơclit, không gian Ơclit, các phẳng vuông góc trong En…

I.Không gian vectơ Ơclit

b)Trên Rn, ánh xạ ϕ: Rn ×Rn → R được cho bởi

((x1, x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)) a x1y1+x2y2+…+xnyn

là một tích vô hướng, gọi là tích vô hướng chính tắc trên Rn

(a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ≤ (a12 +a22 + +an2)(b12 + b22 + + bn2)

1.6 Định lý (Pytago) (Xem tài liệu [ ]7 )

Giả sử xr và yur là hai vectơ trực giao ( x yrur=0) Khi đó:

1.7 Biến đổi trực giao.

Cho 2 không gian vectơ Ơclit urE E,uur' Một ánh xạ tuyến tính ϕ: E →E' đượ gọi là ánh xạ trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng giữa hai vector bất kì

của Eur tức là ( ) ( )ϕ xr ϕ ury =rurx y với ∀x y Er ur, ∈

1.8 Mệnh đề ( Xem tài liệu [ ]6 )

Giả sử :ϕ urE n →Eurn là một ánh xạ tuyến tính của n

II Không gian Ơclit

i) Với mọi điểm A a a a( , , )1 2 3 ∈O yx và mọi vectơ ' ' '

M a −a b −b c −c ∈ y sao cho AM uuuuur r=

ii) Với 3 điểm A a a a B b b b C c c c( , , ), ( , , ), ( , , )1 2 3 1 2 3 1 2 3 ∈O yx bất kì, ta có:

AB BC ACuuur uuur uuur+ =

Do đó Oxy là không gian Afin

⊕ uuuruuurABCD= uuur uuurAB CD cos(uuur uuurAB CD, ) là tích vô hướng trong không gian vectơ 3 chiều thông thường

b) Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều cới cấu trúc Afin chính tắc là một không gian Ơclit, chẳng hạn như Rn

c) Các không gian Afin thực n- chiều đều có thể trở thành không gian Ơclit n- chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian vectơ liên kết với không gian Afin đã cho

d) Nếu E là không gian Ơclit có nền là Eur thì mỗi phẳng α của nó cũng là

không gian Ơclit liên kết với αur (Trong αur xét tích vô hướng cảm sinh từ tích

ur

III Các phẳng vuông góc trong E n

Trong không gian Afin, ta đã xét các vấn đề về vị trí tương đối của các phẳng như: cắt nhau, song song, chéo nhau… Trong không gian Ơclit chúng

ta sẽ xét thêm quan hệ vuông góc giữa các phẳng

1.11 Định nghĩa

Trong En cho phẳng α có phương αur, phẳng β có phương βur Hai phẳng α

và β được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu α β⊥ , nếu 2 không gian vector αur và βur trực giao với nhau

1.12 Định lí ( Xem tài liệu [ ]5 )

Hai phẳng vuông góc với nhau có không quá một điểm chung Hai phẳng

bù vuông góc có một điểm chung duy nhất

Chứng minh:

Giả sử α vàβ là hai cái phẳng trong E , n α β⊥ Nếu có hai điểm M,N thuộc α β∩ thì MNuuuur ur∈ ∩α βur, tức là MNuuuur ur∈α và MNuuuur ur∈β Mặt khác, α βur⊥ur

nên =0 hay M≡N

Nếu α và β bù vuông góc thì Eurn = ⊕α βur ur Do đó, nếu giả sử α β∩ = ∅

thì dim(α β+ )= dimα +dimβ −dim (α βur∩uur) 1+ = n 0 1− + = +n 1 (vô lý)

Hệ quả 1: Nếu α và β bù vuông góc với nhau thì tổng của chúng là En

Chứng minh: Vì α bù vuông góc với β nên α β∩ tại một điểm duy nhất, tức là α β∩ ≠ ∅.Do đó theo định lí về số chiều trong không gian afin ta có: dim(α β+ ) =dimα +dimβ −dim(α β∩ ) (1)

Vì α β∩ là một điểm duy nhất nên:

dim (α β∩ ) 0= (2)

Mặt khác, nếu gọi phương của α và β lần lượt là αur và βur thì:

α bù vuông góc với β nên αur bù vuông góc với βur

⇒dimα +ur dimβ =ur n

⇒dimα +dimβ =n (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra dim(α β+ ) =n hay α β+ = E n

Hệ quả 2: Trong E n, qua một điểm đã cho có một và chỉ một phẳng bù vuông góc với phẳng đã cho ( Nghĩa là phương trình của phẳng này hoàn toàn xác định)

Chứng minh: Giả sử trong En cho phẳng α và điểm A Ta chứng minh tồn tại duy nhất phẳng β qua A và bù vuông góc với α.

- Chứng minh sự tồn tại: Gọi αurphương của α Giả sử βur là không gian con trong Euurn và bù vuông góc với αur Khi đó, β là phẳng bù vuông góc với phẳng α

- Chứng minh sự duy nhất: Giả sử β' cũng là phẳng qua A và bù vuông góc với α , suy ra β' cũng có phương là βur(do αur bù vuông góc với βur và do định nghĩa sự bù vuông góc của các phẳng) Như vậy β' cũng là phẳng qua A và

có phương αur, tức là β' trùng với β

1.13 Định lí ( Xem tài liệu [ ]5 )

Nếu phẳng α vuông góc với phẳng β và phẳng γ bù vuông góc với

phẳng β thì α cùng phương với γ

Chứng minh: Gọi , ,α β γuurur r lần lượt là phương của các phẳng , ,α β γ Vì αur

trực giao với βur còn γr là phần bù trực giao của βur trong n

E

ur nên suy ra α βur⊂ur

Vậy α cùng phương với β

Hệ quả: Hai phẳng phân biệt cùng bù vuông góc với phẳng thứ ba thì song

song với nhau và có cùng số chiều

i) Nếu n m k= + thì theo định lý về số chiều suy ra dim(α βur ur+ ) = + =m k n

vì α βur∩ur=0r Do đó, αur và βur bù trực giao, tức hai cái phẳng α và β bù

vuông góc

ii) Vì k- phẳng 'β song song với β nên 'βuur ur=β

Vậy β vuông góc với α .

1.15 Phương trình của phẳng trong E n

a) Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một siêu phẳng

Trong không gian Ơ clit En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho siêu phẳng P có phương trình: a1x1+a2x2+…+anxn+b=b

Viết phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm

Mn(x0

1,x0

2,…,x0

n) và vuông góc với siêu phẳng P

Giải: Lấy một điểm M(m1,m2,…,mn) thuộc siêu phẳng P

Với X là một điểm bất kì thuộc P, X=( x1,x2,…,xn ) ,X≠M , ta có:

Đường thẳng d đi qua điểm Mn(x0

1,x0

2,…,x0

n) và vuông góc với siêu phẳng P

sẽ nhận vecto pháp tuyến ar của siêu phẳng P làm vectơ chỉ phương, tức là:

Hệ (**) là phương trình tổng quát của đường thẳng d

b) Bài toán 2: Viết phương trình của phẳng đi qua một điểm, bù vuông góc với m – phẳng

Trong không gian Ơclit n- chiều En với mục tiêu trực chuẩn, cho m- phẳng

P xác định bởi hệ n-m phương trình

Giải: Vì Q bù trực giao với P cho nên phương Qur của Q chứa các auurk

(k =1,n m− ) Như vậy, Q là (n-m)- phẳng đi qua A( , , , )1o 2o o

§2: Phép dời trong không gian Ơclit

Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính

chất, phân loại và phương trình của phép dời

Lấy I E∈ và I'∈ f I( ) Xét ánh xạ :ϕ urE→Euur' xác định như sau:

Giả sử u Er ur∈ ta lấy điểm M ∈E sao cho IM uuuur r= và đặt ϕ( )ur =I Muuuuur' 'với M'= f M( ) Ta chứng minh ϕ không thay đổi tích vô hướng của hai

vectơ bất kì của Eur Lấy thêm vr bất kì thuộc Eur và lấy điểm N thuộc E sao

cho IN vuur r= , khi đó: ϕ( )vr =I Nuuuur' ' với N'= f N( )

Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M,N)=d(M’,N’)

' ' ' '

IN IM I N I M

⇒uuuruuur uuuuuruuuuur= ,tức là u vr r =ϕ( ) ( )ur ϕ vr

Vì ϕ bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ ,u vr r bất kì nên ϕ là ánh xạ

tuyến tính trực giao và rõ ràng là nền của f Vậyϕ là ánh xạ đẳng cự.

2.7 Định lí ( Xem tài liệu [ ]6 )

Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

Chứng minh: Cho hai phép dời hình f và g Ta hãy xét tính chất của phép

biến hình go f Giả sử A,B là hai điểm bất kì và ta có AB= A Bv A B' à' ' ' =A B'' '' Như vậy go f đã biến điểm A thành điểmA , biến điểm " B thành điểm B "

thỏa mãn điều kiện A B" "= AB Do đó tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

2.8 Định lí ( Xem tài liệu [ ]6 )

Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp

Chứng minh: Giả sử g, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh (g o

h)o f=go (ho f) Thật vậy:

Giả sử f biến M thành M’, h biến M’ thành M" và g biến M" thành M’’’

Ta có go h là một phép dời hình biến M’ thành M’’’ và do đó (go h)o f biến M thành M’’’

Mặt khác, ho f biến M thành M’’ và go (ho f) biến M thành M’’’

Vậy ( g f fo ) =go(h fo ) vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M’’’

với mọi điểm M bất kì

2.9 Định lí ( Xem tài liệu [ ]6 )

Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình

Chứng minh: Theo định lí 2.7 thì tích hai phép dới hình là một phép dời hình

Vì vậy, tập hợp các phép dời hình khép kín với phép toán đã cho Mặt khác, theo định lí 2.8 tập hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa, trong tập hợp các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất

và bất cứ phép dời hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó

Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì, f− 1 là phép dời hình đảo ngược của

nó, e là phép đồng nhất ta luôn có fo f− 1= e.

2.10 Nhận xét

i) Các tính chất afin ( những tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi afin ) cũng là các tính chất của phép dời hình

ii) Hình học Ơclit trên En

rộng hơn hình học afin trên En

2.11 Phân loại phép dời hình và phương trình của phép dời hình

a) Phân loại phép dời hình

Với mục tiêu trực chuẩn {O e e; , , ,uurur1 2 eurn} trong En, cho phép biến đổi afin f: En→En có phương trình:

Vì A là ma trận trực giao nên detA= ±1

- Nếu A là ma trận trực giao và detA 1= thì f được gọi là phép dời hình loại 1 hay phép dời hình thuận

- Nếu a là ma trận trực giao và detA= −1 thì f được gọi là phép dời hình loại 2 hay phép dời hình nghịch

b) Phương trình của phép dời hình

Định lí ( Xem tài liệu [ ]5 )

Phương trình của phép dời hình trong En đối với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, có dạng:

Ngược lại: Mỗi phương trình có dạng   = x' A x[ ] [ ]+ b trong đó A là

ma trận trực giao cấp n đều là phương trình của phép dời hình trong En đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn

b) Phép dời hình bảo tồn tính song song

Cho hai phẳng M,N và M’=f(M), N’=f(N), f là phép dời hình Khi đó, nếu M và N song song thì M’ và N’ cũng song song

c) Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ số đơn

Chứng minh: Giả sử f là phép dời hình và A,B,C là ba điểm phân biệt thẳng hàng, B nằm giữa A và C, A’= f(A), B’= f(B), C’= f(C) Ta chứng minh ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng và (A,B,C) = (A’,B’,C’) Thật vậy:

Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên ta có: AB = A’B’, BC = B’C’,

AC =A’C’ Vì B nằm giữa A và C nên AB + AC = AC.Do đó, A’B’+B’C’ =

A’C’ Suy ra ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’.Từ đó ta cũng có (A,B,C) = (A’,B’,C’) Vậy phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ

số đơn

d) Phép dời hình bảo tồn khoảng cách: Phép dời hình bảo tồn độ dài đoạn thẳng nên biến một tam giác thành một tam giác bằng nó Thật vậy:

Nếu tam giác ABC biến thành tam giác A’B’C’ thì ta có AB = A’B’,

BC = B’C’, AC=A’C’ Vì vây, hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp c-c-c

e) Phép dời hình bảo tồn góc:

Qua phép dời, góc được bảo tồn Thật vậy:

Giả sử phép dời hình f biến góc xOy thành góc x’O’y’ Lấy A,B lần lượt thuộc Ox,Oy mà A,B khác O

Gọi A’,B’,O’ lần lượt là ảnh của A,B,O qua f: A’= f(A), B’= f(B),

O’= f(O) Khi đó A’,B’ lần lượt thuộc O’x’,O’y’

Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên tam giác AOB và A’O’B’ bằng nhau Do đó, hai góc xOy và x’O’y’ bằng nhau

f) Phép dời hình biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn, biến một mục tiêu trực chuẩn thành một mục tiêu trực chuẩn

Cho đường thẳng d trong mặt phẳng Phép biến hình mà biến mỗi điểm

M thành M’; sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ thì phép biến hình đó được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

3.2 Định lí ( Xem tài liệu [ ]6 )

Phép đối xứng trục là một phép dời hình

Chứng minh:

Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và phép đối xứng trục Đd

biến các điểm M, N thành các điểm M’, N' Khi đó, các đoạn thẳng MM', NN

'

cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H,K của chúng

Mặt khác: MN MH HK KNuuuur uuuur uuur uuur= + +

⇒MNuuuur2 =MHuuuur2 +HKuuur2 +KNuuur2+2MH KNuuuur uuur.

(còn MH HKuuuur uuur. =0 và HK KNuuur uuur. =0)

Tương tự: M Nuuuuuur' '2 =M Huuuuur' 2 +HKuuur2 +uuuurKN'2 +2M H KNuuuuur uuuur' '

Do đó: M Nuuuuuur' ' = MNuuuur hay MN M N= ' '

Vậy phép đối xứng trục là phép dời hình

3.3 Phương trình của phép đối xứng trục

a) Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng a Viết phương trình phép đối xứng qua a

c) Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.

d) Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó

và chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d, các điểm khác của a đều không phải là điểm kép

e) Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối xứng d của nó.

3.5 Áp dụng phép đối xứng trục để giải toán

a) Dấu hiệu sử dụng:

- Đối với phép đối xứng trục thì điểm kép nằm trên trục đối xứng

- Chúng ta thường sử dụng phép đối xứng trục trong các bài toán có các đoạn thẳng nhận một đường thẳng cố định làm đường trung trực hoặc bài toán có giả thiết là tia phân giác của một góc

- Các hình có trục đối xứng: đoạn thẳng Tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật, đường tròn

b) Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng

bờ là đường thẳng x cho trước Hãy tìm trên đường thẳng x một điểm M sao cho tổng hai đoạn thẳng AM + MB là ngắn nhất

A M' ' +M B A B AM' > ' = +MB

Do đó: AM' +M B AM' > +MB

Vậy điểm M cần tìm là giao của đường thẳngA B với đường thẳng x '

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và CD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh rằng:

⇒O là điểm kép hay O ∈∆ ⇒I,J,O thẳng hàng.

b) Giả sử d cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M,N

Do d // AB suy ra d⊥ ∆ Gọi M’ là ảnh của M qua Đ∆

M ∈d ⇒ Đ∆: M →M’∈d

Mặt khác M∈AD, mà Đ∆: AD → BC ⇒M’∈ BC

⇒ M’ = BC ∩ d hay M’ ≡ N

Do tính chất đối xứng nên OM = ON

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác Hãy dựng

tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC và có hai đỉnh lần lượt nằm trên hai cạnh AB,AC của tam giác ABC cho trước

- Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc BC

- Dựng ảnh của cạnh AC là A’C’ qua phép đối xứng nhận d làm trục