Phép dời hình và ứng dụng của nó trong En

Do đó tích của hai phép dời hình g  f là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình cótính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì d, Tích các phép dời hình có tính chất kết hợ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

****************

TRẦN THỊ THOA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

****************

TRẦN THỊ THOA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGHUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2012

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc biệt là sựhướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm đã giúp đỡ em trongsuốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lòng biết ơn chân thành nhất đếnthầy Nguyễn Năng Tâm, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của cácthầy, cô giáo trong tổ hình học và các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã giúp

đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nênkhóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong các thầy, cô cùng các bạnđọc nhận xét và góp ý kiến để em rút được kinh nghiệm và có hướng hoànthiện, phát triển khóa luận sau này

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Trần Thị Thoa

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìmhiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn NăngTâm cũng như các thầy, cô giáo trong tổ hình học của khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2

Bản khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu trùng

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Trần Thị Thoa

Mục lục

Trang

Phần mở đầu………1 Phần nội dung……… 1

1 Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin… ……… 1

2 Đại cương về phép dời hình ……… 2

1 Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán chứng minh trong hìnhhọc………10

2 Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán quỹ tích trong hình học… 20

3 Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán dựng hình trong hìnhhọc………27

4 Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán tính toán trong hình học….38

Kết luận ……… 45 Tài liệu tham khảo……… 46

của nó trong E n

”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Trình bày cơ sở lý thuyết về phép dời hình

2.2 Đề xuất phương pháp vận dụng phép dời hình để giải quyết một sốdạng bài toán hình học

2.3 Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập

3 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu có liên quan

Chương 1

1 Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin

1.1 Phép biến hình

- Giả sử K là một tập khác rỗng K sẽ được gọi là một không gian, các

phần tử của K gọi là một điểm, một phần tử khác rỗng của K được gọi là

biến hình của không gian K.

- Phép biến hình f của không gian K được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f 2

là đồng nhất

- Giả sử f là phép biến hình của không gian K , điểm M

điểm bất động đối với f nếu f M M

Hình H của không gian K được gọi là hình kép đối với f nếu

f H

hình H được gọi là hình bất động nếu với mọi điểm của H đều bất động.

1.2 Phép biến hình afin

- Định nghĩa: Phép biến hình của không gian E n

biến đường thẳng thànhđường thẳng được gọi là phép biến hình afin

- Định lý: Phép biến hình f của không gian E n

là phép biến hình afin khi

và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểmkhông thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

2 Đại cương về phép dời hình

2.1 Định nghĩa

ý được gọi là phép dời hình

bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy

hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phépdời hình biến một trong hai hình thành hình còn lại

2.2 Tính chất

a, Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảotồn thứ tự các điểm đó

Chứng minh:

Giả sử qua phép dời hình

f , cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C khi

AB BC AC Từ đó

AC.

Như vậy ba điểm A, B,C

thẳng hàng và điểm B nằm giữa A và C.

b, Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng

Chứng minh:

đường thẳng trong K đi qua

ảnh A, B của A, B. Nếu M thuộc d thì ảnh

M  của nó thuộc d và nếu M  thuộc d thì theo tính chất a, tạo ảnh của nó

Như vậy phép biến hình g  f đã biến điểm A thành điểm A,

AB.

Do đó tích của

hai phép dời hình g  f

là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình cótính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

d, Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp

Chứng minh:

A, B của mặt phẳng.

vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M  với

mọi điểm M bất kì trong mặt phẳng.

e, Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm đối với phép nhân ánh xạ

Chứng minh:

Do tích các phép dời hình là phép dời hình Như vậy tập hợp các phép dờihình đóng kín với phép toán đã cho Mặt khác ta thấy rằng tập hợp các phépdời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa trong tập hợp các phép dời hình cóphần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng

có phép dời hình đảo ngược của nó

Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì,

Cho tương ứng với M được xác định CM m am b

Với mỗi M ứng với bộ m1 , m2

đường thẳng cùng phương với v.

Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến, hơn nữa T T T 

một đường

làđường thẳng  Hình

T



n

qua Đ.

c, Phép đối xứng

tâm A, kí hiệu là Đ

A

là phép dời hình của không gian E

biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua A Phép đối xứng

tâm là một phép dời hình nên nó có các tính chất của phép dời hình, ngoài raphép đối xứng tâm biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đườngthẳng song song với đường thẳng đó và giữ bất biến các đường thẳng đi qua

được gọi là có tâm đối xứng A nếu Đ A

giữ bất biến hình H 

d , Cho điểm O và góc lượng giác  Phép quay tâm O

QO ,

biến O thành O và biến điểm M

khác O thành M sao cho OM 

.Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời

e, Phép đối xứng qua siêu phẳng

dời hình của không gian E n

biến mỗi điểm M thành M  được xác định: kẻ

qua M đường thẳng vuông góc với

O

d

của





1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A

B

đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là kết luận của bài toán.

là đúng, trong

Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh

đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic, dựa trên các địnhnghĩa, tính chất của các hình để dẫn đến kết luận

2 Giải bài toán chứng minh nhờ vào phép dời hình

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường trong giả thiết

A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua một phép dời hình

hay một tích các phép dời hình nào đó để nhờ những tính chất được bảo toànqua các phép dời hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy haythẳng hàng, quan hệ song song, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhaugiúp suy ra được điều cần chứng minh

Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp □ ABC Gọi H1 Đ BC H  Ta chứng

Tương tự ta chứng minh được O2O3 

vuông cân

Lời giải:

vuông cân tại O d, Ví dụ 4

H

Lời giải

Q

Giả sử hình hộp đã cho là ABCDABCD và O là giao điểm của các đường

( O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp H ) là một điểm thuộc hình hộp H 

Suy ra Đ O : H  H 

Vậy, giao điểm của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của nó

e, Ví dụ 5

Cho hai mặt phẳng

Rlà ảnh của Qqua phép biến

-Với M không thuộc

Bài tập 1: Chứng minh rằng một hình có hai tâm đối xứng phân biệt sẽ có

vô số tâm đối xứng

Bài tập 2: Cho phép quay quanh trục Qvà hai điểm

trục quay đồng quy hoặc đôi một song song

Bài tập 3: Cho f là phép dời hình có tập các điểm bất động đối với f

là đường thẳng  Chứng minh rằng f là phép đối xứng trục .Lời giải:

Do tích của ba phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm nên:

Vì AA/ / BBnên tồn tại RAA BB

Ta có: AABBlà hình thang cân (do

Gọi   d , I thì OA OA AAOI

, d nên ba giao tuyến này hoặc song song hoặc đồng quy tại một điểm.

2 Ứng dụng của phép dời hình để giải bài

toán qũy tích trong hình học

1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một hình) cótính chất cho trước

Quỹ tích điểm có tính chất cho trước có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm,tập vô hạn điểm

Để khẳng định những điểm có tính chất α phải thuộc hình nào đó ta phảithực hiện

- B1: (Phần thuận) Chứng minh mỗi điểm có tính chất phải thuộc hình (nói lên tính không thiếu của quỹ tích)

- B2: (Phần đảo) Chứng minh mỗi phần tử thuộc hình đều có tính chất α (nóilên tính không thừa của quỹ tích)

2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép dời hình

Do đó sử dụng phép dời hình thích hợp f biến điểm M thành M  sao cho

quỹ tích những điểm M  tìm được dễ dàng hơn để từ đó suy ra quỹ tích của điểm M

3 Các ví dụ

a, Ví dụ 1

Cho đường tròn

O

với đường kính AB cố định và đường kính MN thay

đổi Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q

Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác

các điểm H là đường tròn Olà ảnh của Oqua T

Tương tự, nếu K là trực tâm □

và điểm I không nằm trên đường tròn Với mỗi

điểm A trên O; Rta xét hình vuông ABCD có tâm là I.

C Đ I A

Mà tập hợp điểm A là đường tròn Onên :

- Tập hợp điểm B là ảnh của đường tròn Oqua QI ;90 .

- Tập hợp điểm D là ảnh của đường tròn Oqua

tại Lời giải:

tròn Olà ảnh của đường tròn Oqua phép tịnh tiến T



Q



B

Gọi a là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng AB và có độ dài bằng



Q cắt nhau Với mỗi điểm M bất kì trong

không gian ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua

M3 là điểm đối xứng với M 2 qua P

Tìm tập hợp trung điểm của đoạn

Nên J  J  là trung điểm của MM 3 .

Bài tập 1: Cho hai đường tròn

thẳng d quay quanh A cắt Ovà

Q Tìm tập hợp điểm M sao cho AM  PQ.1 

2

Bài tập 2: Cho đường tròn Ovà hai điểm A

và B Một điểm M thay đổi  trên đường tròn O Tìm tập hợp các điểm M  sao

cho

MM  MA

MB.

Bài tập 3: Cho đường tròn

điểm A thuộc

đoạn AB Tìm tập hợp điểm B khi A thay đổi.

Lời giải:

1) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AP và AQ

Gọi K là hình chiếu của O trên OJ

đường tròn Olà ảnh của đường tròn Oqua T .

3) Do phép đối xứng qua mặt phẳng biến đường tròn thành đường tròn cùngbán kính, nên đường tròn

qua ĐP Với mỗi điểm A thuộc

Vậy B sẽ là ảnh của A qua phép đối xứng qua mặt phẳng P.

Tóm lại: Quỹ tích điểm B khi thay A đổi là đường tròn

3 Ứng dụng của phép dời hình để giải bài toán

dựng hình trong hình học

1 Bài toán dựng hình

Thông thường bài toán dựng hình được giải theo bốn bước

- Bước 1: (Phân tích) Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố đã biết để suy ra cách dựng

- Bước 2: (Cách dựng) Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản cầnphải thực hiện để có hình cần dựng

- Bước 3: (Chứng minh) Là sự chỉ ra hình đã dựng ở bước 2 thỏa mãn yêucầu của bài toán

- Bước 4: (Biện luận) Khẳng định khi nào bài toán có nghiệm, khi nào bàitoán vô nghiệm, nếu có nghiệm thì bao nhiêu nghiệm

2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép dời hình

Phép dời hình tham gia trong bài toán dựng hình chủ yếu ở bước phân tích.Bước phân tích của bài toán dựng hình có thể tóm tắt theo sơ đồ sau:

H n phải là hình dễ dàng dựng được nhờ các phép dựng cơbản hoặc có thể là hình đã cho trong giả thiết Vấn đề là phải xác định được

phép dời hình f nói lên mối liên hệ giữa hình H cần dựng và hình H i nào

đó Sau đó căn cứ vào định nghĩa và tính chất của phép dời hình mà ta vẽ cácđường phụ.

- Dựng đường phân giác Ax của góc

- Dựng giao điểm K của BC và Ax

B□AC

- Dựng N thuộc cạnh AC sao cho

dựng một đường thẳng d đi qua A cắt O;

M1 sao cho A là trung điểm

Lời giải:

MM1

Phân tích:

A là trung điểm của MM1 M1 và M đối xứng nhau qua A

M1 thuộc đường tròn Olà ảnh của O

MM1 là đường thẳng cần dựng

- Bài toán luôn có một nghiệm hình

c, Ví dụ 3

đường thẳng d chứa phân giác trong của góc A

đối xứng với A qua N nên C dựng được, do đó BC dựng được.

Cách dựng:

- Dựng N  đối xứng với N qua d

- Dựng đường thẳng qua N và song song với MN , cắt d tại A

- Dựng điểm C đối xứng với A qua N

- Dựng cạnh AC

- Dựng đường thẳng qua C và M , cắt tại B , nối B và C

d

có đỉnh A thuộc, đỉnh B thuộc b , đỉnh C thuộc c

Lời giải:

e, Ví dụ 5

Cho hai mặt phẳng song song

phía khác nhau của mặt phẳng S , trong đó điểm A nằm trong miền giữa hai

Bài toán luôn thực hiện được (do

A, B khác phía nhau đối với S )

i tập 1: Cho đường tròn   , đường thẳng và hai điểm

tứ giác

ABCD là hình thang cân có hai đáy AB và CD

Bài tập 2: Cho góc xOy và hia điểm phân biệt A, B trong nó Hãy dựng điểm X trên Ox để XA, XB cắt Oy lần lượt tại Y , Z sao cho XY XZ

Bài tập 3: Cho điểm A và đường thẳng d không qua A Dựng hình lập

phương sao cho A là một điểm của nó và d qua tâm hai mặt song song với

- Dựng đường thẳng đối xứng với qua m

- Dựng C đối xứng với D qua m

Vậy X nằm trên cung chứa góc dựng trên CB nằm khác phía của O đối với

Giả sử đã dựng được hình lập phương ABCDABCDcó d qua hai tâm

O,Ocủa hai mặt ABCDvà A BCD Dễ dàng chứng minh d là trục

qua AC và vuông góc với d

tại Olà trung

4 Ứng dụng của phép dời hình để giải bài toán

tính toán trong hình học

1 Bài toán tính toán

Ta thường gặp một số bài toán tính toán như tính khoảng cách, tính số đogóc, tính diện tích…

Để giải bài toán tính toán ta phải thiết lập mối liên hệ giữa những cái đã biết

và cái cần tìm, sau đó tính toán theo yêu cầu bài ra

2 Giải bài toán tính toán nhờ phép dời hình

Dùng phép dời hình vào giải bài toán tính toán thực chất là sử dụng cácphép dời hình để di chuyển các yếu tố đã cho ở vị trí không thuận lợi về các vịtrí thuận lợi cho việc tính toán

nên nó biến phân giác

CK của tam giác AIC thành phân giác BK của tam giác AIB

Ngoài ra B□OK O□BC O□CB 10

Cho □ABC , trung

30

Gọi G là trọng tâm tam giác □ ABC Tính

góc Lời giải:

B□GC ?

Do góc □ABE □ACF F□BE E□CF

Từ đó suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC , có bán kính là R

Xét phép đối xứng tâm

Đ E : O  O1

Đ E :

C  A

Do đó tam giác AEF là tam giác đều

Suy ra tam giác ABC là tam giác đều

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và CB1

G là trọng tâm tam giác

AA1FE ta có GG / / EF GGQ

Gọi

E, F lần lượt là trung điểm AG, AG EFQ

Trong hình thang EFFE ta có GGlà đường trung bình nên

Trong hình thang GGA A có EFlà đường trung bình

Ax vuông góc với BM cắt BC tại H Gọi K là điểm đối xứng với C qua

H , kẻ tia Ky vuông góc với BM cắt AB tại I Tính góc □AI M .

Bài tập 2: Cho hình thang ABCD AB / /CD

giao điểm của các đường phân giác góc B và C Tính độ dài

2) Do M là giao điểm của các đường phân giác góc A và D nên M cách

đều hai đáy

AB, CD; N là giao điểm của các đường phân giác góc B và C