Tập giá trị của hàm số và ứng dụng.PDF

Đối với hàm số thực trong toán học cao cấp, trong [1], Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đã đề cập đến vấn đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua

ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thăng Long - Năm 2015

ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS VŨ HOÀI AN

Thăng Long - Năm 2015

Mục lục

Các kí hiệu và Danh mục các từ viết tắt ii

1.1 Hàm số liên tục 5

1.1.1 Các định lí của hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị 5

1.1.2 Các định lí cơ bản của hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá trị 8

1.1.3 Bài tập áp dụng 10

1.2 Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực 13

1.2.1 Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng 13

1.2.2 Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng 18

1.2.3 Phương pháp thứ ba và ví dụ áp dụng 23

2 Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương trình, bất phương trình 28 2.1 Ứng dụng vào phương trình 29

2.1.1 Các phương pháp ứng dụng 29

2.1.2 Ví dụ áp dụng 30

2.2 Ứng dụng vào bất phương trình 42

2.2.1 Các phương pháp ứng dụng 43

2.2.2 Ví dụ ứng dụng 432.3 Bài tập tổng hợp 49

Các kí hiệu

• R: Tập số thực.

• f: Hàm số thực

• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b

• (a;b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b

Giả sử A, B là hai tập khác rỗng, f là ánh xạ từ A đến B và b ∈ B Khi

đó, phương trình f (x) = b có nghiệm trong A?

Đối với toán học phổ thông, ta thường gặp vấn đề sau:

Vấn đề C

Cho bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham

số m Tìm m để bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

thỏa mãn điều kiện nào đó của nghiệm.

Vấn đề B, Vấn đề C thường xuyên xuất hiện trong Báo Toán học vàTuổi trẻ, trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi họcsinh giỏi môn toán, trong các tài liệu toán nâng cao dành cho học sinh,giáo viên toán trung học cơ sở, trung học phổ thông

Đối với hàm số thực trong toán học cao cấp, trong [1], Nguyễn Văn Khuê

- Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đã đề cập đến vấn

đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua các định lý về hàm liên tục

và hàm khả vi Các định lý này là cơ sở để giải quyết Vấn đề B, Vấn đề CQuy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:

- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phươngtrình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

- Bước 2 Xác định f (A)

- Bước 3 Cho b ∈ f (A)

Quy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:

- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phươngtrình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

- Bước 2 Xác định f (A)

- Bước 3 Cho Cho m ∈ f (A)

Chú ý rằng, trong Bước 1, nhiều khi phải đặt ẩn phụ Khi đó, cần tìm điềukiện cho ẩn phụ thông qua việc tìm tập giá trị của hàm số

Với cách tiếp cận trên đây, chúng ta thấy rằng: Trong toán học phổ thông,các vấn đề của phương trình với ẩn số thực được gắn kết với các vấn đềcủa hàm số thực dưới góc độ của Lý thuyết phân bố giá trị

Theo hướng tiếp cận trên đây, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề:

Tập giá trị của hàm số và Ứng dụngĐây là một trong những vấn đề cơ bản của Toán học sơ cấp.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn tổng hợp và trình bày các định lý của hàm số thực liên quanđến Tập giá trị của nó; tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tậpgiá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông cùng các ứng dụng vàophương trình, bất phương trình Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo, tài liệu

ôn tập, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông dành cho học sinh trunghọc phổ thông, giáo viên toán trung học phổ thông, trung học cơ sở, họcviên cao học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu:

- Tập giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là:

- Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông vàophương trình, bất phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu: Sách giáo khoa giải tích 12, Báo toán học và tuổitrẻ, các đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học môn toán, các tài liệu thamkhảo môn toán nâng cao

II NỘI DUNG

Luận văn được chia thành 2 chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo

Chương 1: Tập giá trị của hàm số

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu Vấn đề A, Vấn đề B Mục tiêu là

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu Vấn đề C Mục tiêu là tổng hợp

và trình bày các ứng dụng Tập giá trị của hàm số của hàm số thực trongtoán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình

Trong quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp

đỡ tận tình của TS Vũ Hoài An Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc nhất đến thầy.Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học toánkhóa 1 của trường Đại học Thăng Long đã mang đến cho tôi nhiều kiếnthức bổ ích trong khoa học và cuộc sống

Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thăng Long đã tạođiều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ luận vănthạc sĩ, nên chắc chắn trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi saisót, tác giả rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các quý thầy,

cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2015Tác giả: Phạm Tuấn Khương

Chương 1

Tập giá trị của hàm số

Trước tiên chúng tôi trình bày lại các định lý về hàm liên tục và hàm khả

vi ở trong [1] Các định lý này là cơ sở để giải quyết vấn đề nhận giá trịcủa hàm số thực.Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập giá trịcủa hàm số của hàm số thực trong toán học phổ thông và kèm theo một

số Ví dụ minh họa

1.1 Hàm số liên tục

1.1.1 Các định lí của hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị

Định nghĩa 1.1 Cho hàm f : A −→ R; x0 ∈ A

Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0,sao cho ∀x ∈ A : |x − x0| < δ : |f (x) − f (x0)| < ε

thì ta nói f liên tục tại điểm x0

Nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A

Nếu f không liên tục tại điểm x0 ∈ A thì ta nói f gián đoạn tại điểm x0

Nhận xét 1.2

1 f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi lân cận V của f (x0) bao giờ cũngtồn tại một lân cận U của x0 sao cho: f (U ∩ A) ⊂ V

2 Nếu x0 ∈ A và là điểm cô lập thì f liên tục tại x0

Định lý 1.3 Điều kiên cần và đủ để f liên tục tại x0 là mọi dãy {xn} ⊂ A

mà x −→ x0 thì lim

n−→∞f (xn) = f (x0)

x0 ∈ A thì f+g; a.f (với a là hằng số); f.g đều là những hàm số liên tục tại

x0 Nếu g(x) 6= 0 thì f

g cũng liên tục tại x0.

Định lý 1.5 Một hàm liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng

Giả sử hàm f liên tục trên [a;b] nhưng không bị chặn Khi đó ∀n ∈

N, ∃xn ∈ [a,b] sao cho |f (xn)| > n Ta có thể xem{xn}là dãy phân biệt vì

nó là dãy bị chặn trên Ta trích ra dãy con {xnk} hội tụ đến x0 ∈[a,b].Vì[a,b] là một tập đóng nên : lim

k−→∞|f (xnk)| = +∞ khác |f (x0)| Điều nàytrái với giả thiết f liên tục tại x0 Vậy f phải bị chặn

Định lý 1.6 Nếu f liên tục trên [a; b] thì nó đạt cân trên đúng và cậndưới đúng , tức là tồn tại hai số x0 và x00 thuộc [a; b] sao cho :

f (x0) = max f (x) và f (x00) = min f (x).Chứng minh ĐặtM = sup f (x) < +∞.Vìf bị chặn trên [a,b] nên theođịnh nghĩa supremum:∃ {xn} ⊂[a;b] sao cho :M = lim

n−→∞f (xn)

Từ dãy{xn} ta trích ra dãy con{xnk}hội tụ : xnk −→ x0 Do a ≤ xnk ≤ b

nên x0 ∈[a,b] và M = lim

k−→∞f (xnk) = f (x0)

Tương tự : ∃x00 ∈ [a, b] sao cho : f (x00) = inf(f (x)) ⇔ f (x00) = min f (x)

Định lý 1.7 (Định lí về không điểm)

Nếu f liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ [a; b] sao cho f (c) = 0

Chứng minh Ta xét trường hợp f (a) > 0, f (b) < 0 ,trường hợp còn lại

f (t∗) = lim

n−→∞tn ≥ 0

Do f (b) < 0 nên t∗ 6= b ⇒ t∗ < b Nếu f (t∗) > 0 thì theo tính liên tục của

f tại t∗ sẽ ∃δ > 0 sao cho f (x) > 0, ∀x ∈ [t∗ − δ; t∗+ δ] ⊂ [a; b] trái vớitính Sup A = t∗ Vậy f (t∗) = 0

Định lý 1.8 (Định lí về quan hệ giữa tính đơn điệu và tính liên tục)

Cho f là một hàm đơn điệu Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục trên

[a; b] là miền giá trị của nó là một đoạn với hai đầu mút là f (a) và f (b).Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp f là hàm tăng, trường hợp

f là hàm giảm chứng minh tương tự

Điều kiện cần: Nếu f tăng trên [a; b], ta cần chứng minh:f ([a; b]) =[f (a); f (b)] Lấy x ∈ [a; b] , khi đó a ≤ x ≤ b.Vì f là hàm tăng nên

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) ⇒ f ([a; b]) ⊂ [f (a); f (b)]

Ngược lại, với λ ∈ [f (a); f (b)] Vì f liên tục trên [a; b] nên ∃c ∈ [a; b] :

λ = f (c) ⇒ [f (a); f (b)] ⊂ f ([a; b]) Vậy f ([a; b]) = [f (a); f (b)]

Điều kiện đủ: Giả sử f là hàm tăng trên [a; b] và có miền giá trị là

[f (a); f (b)], ta sẽ chứng minh f liên tục trên [a; b]

Giả sử f không liên tục trên [a; b] và x0 ∈ [a; b] là điểm gián đoạn của nó.Khi đó gọi α = sup f (x); β = inf f (x)

Dof tăng và gián đoạn tạix0, nếuα < f (x0)hoặc β > f (x0) trong trườnghợp đầuf ([a; b])không chứa(α; f (x0)) Còn trường hợp sauf ([a; b])khôngchứa (f (x0); β) Điều này mâu thẫu với giả thiết f ([a; b]) = [f (a); f (b)]

Do đó f phải liên tục trên [a; b]

Ví dụ 1.9

Hàm y = x liên tục tại mọi điểm mọi điểm trên R

Thật vậy, lấy x0 ∈ R bất kì ,∀ε > 0 chọn δ = ε thì khi |x − x0| < δ ta có

|f (x) − f (x0)| < ε

Ví dụ 1.10

Hàm y = sin x liên tục tại mọi điểm mọi điểm trên R

nên | sin x − sin x0| < ε.

Nhận xét: Tính liên tục của hàm y = cosx, ta chứng minh tương tự

1.1.2 Các định lí cơ bản của hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá

trị.

Định nghĩa 1.11 Ta nói hàm f có cực đại địa phương (hay cực tiểu địaphương)tại điểm x0 nếu f xác định trong một lân cận (a, b) của x0 và tồntại số δ > 0 đủ bé sao cho

f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ (x0−δ; x0+δ) (hayf (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ (x0−δ; x0+δ)).Điểm mà tại đó đạt cực đại hay cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Nếu f (x) < f (x0)∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x 6= x0 thì x0 gọi là điểm cực đạiđịa phương thực sự

Nếu f (x) > f (x0)∀x ∈ (x0− δ; x0 + δ), x 6= x0 thì x0 gọi là điểm cực tiểuđịa phương thực sự

Định lý 1.12 (Định lí Ferma)

Giả sử f : (a; b) −→ R Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm c ∈ (a; b) và f

có đạo hàm tại điểm c thì f0(c) = 0

Chứng minh Xét trường hợp f đạt cực đại tại c Khi đó ∀h > 0 đủ nhỏ

Định lý 1.13 (Định lí Rolle).

Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất

i f liên tục trên [a; b]

ii f khả vi trên (a; b).iii.f (a) = f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f0(c) = 0

Chứng minh Do f liên tục [a; b] nên lấy x1, x2 ∈ [a, b] sao cho f (x1) =sup f = M và f (x2) = inf f = m Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra :Trường hợp 1: M=m

Khi đó f (x) = m ∀x ∈ [a; b] nên f0(x) = 0 ∀x ∈ [a; b]

Trường hợp 2: M>m

Vìf (a) = f (b)nên xảy ra f (x1) 6= f (a) = f (b)hoặcf (x2) 6= f (a) = f (b)

Nếu f (x1) 6= f (a) thì a < x1 < b theo Định lí Rolle thì f0(x1) = 0

Nếu f (x2) 6= f (a) thì a < x2 < b theo Định lí Rolle thì f0(x2) = 0

Định lý 1.14 (Định lí Lagrange) Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất

i) f liên tục trên [a; b]

ii) f khả vi trên (a; b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

ii) f và g đều khả vi trên (a; b).

iii) g0(x) 6= 0∀x ∈ (a; b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c). (∗)

Chứng minh Xét hàm h(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x)

Hàm h(x) có h(a) = h(b) và thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle nên

tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

H H H H

6

74

P P

PPP P

P P

PPP

H H H H H H H

√2

h0(t) = 0 ⇔ 4t3 − 4t = 0 ⇔ t = −1; t = 0; t = 1.

Bảng biến thiên:

t

h0(t)h(t)

Vậy tập giá trị của hàm g là: [−4; −3]

2) Tìm tập giá trị của g◦f trên B = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 0}

Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của g◦f trên B là [−4; −3]

Sau đây chúng tôi nêu một số phương pháp xác định tập giá trị củahàm số thực

1.2 Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực

Ví dụ 1.17 Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

Nếu y = 2 thì phương trình (1) có nghiệm x = -1

Nếu y 6= 2 thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

(2y − 7)2 − 4 (y − 2) (10y − 23) > 0 ⇔ 4y2 − 16y + 156 0

.2) Phương trình

y = cosx

sinx + cosx + 2 ⇔ cosx = y (sinx + cosx + 2)

⇔ (1 − y) cosx − ysinx = 2y,vì sinx + cosx + 2 > 0, ∀x ∈ R.

Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi

(1 − y)2 + y2 > 4y2 ⇔ 2y2 + 2y − 16 0 ⇔ −1 −√3

2 6 y 6 −1 +

√3

#.3) Phương trình

y = cosx + sinx

sinx + cosx + 2 ⇔ cosx + sinx = y (sinx + cosx + 2)

⇔ (1 − y) cosx+ (1 − y) sinx = 2y,vì sinx + cosx + 2 > 0, ∀x ∈R.

Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi

2(1 − y)2 > 4y2 ⇔ 2y2 + 4y − 26 0 ⇔ −1 −√

2 6 y 6 −1 + √2.Vậy tập giá trị của hàm số là T3 =

h

−1 −√2; −1 +√

2

i.4) Phương trình

y = 2sinx + cosx + 1

sinx − 2cosx + 3 ⇔ 2sinx + cosx + 1 = y (sinx − 2cosx + 3)

⇔ (y − 2) sinx− (2y + 1) cosx = 1 − 3y,vì sinx − 2cosx + 3 > 0, ∀x ∈ R.

Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi

Ví dụ 1.18 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Do |sin 2α + cos2α|6 √2,∀α ∈ [0; 2π]⇒ sin 2α + cos2α + 2 > 0,

Ví dụ 1.19 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = x + 2y + 1

x2 + y2 + 7 biết x, y là hai số thực tùy ý.

Lời giải.

Xét phương trìnhP = x + 2y + 1

x2 + y2 + 7 ⇔ P x2−x+P y2−2y+7P −1 = 0 (1).Nếu P = 0 thì (1) có dạng x + 2y + 1 = 0 ta thấy x = −1, y = 0 thỏamãn Vậy P = 0 là một giá trị của biểu thức

Nếu P 6= 0 Vì (1) có nghiệm nên ta xét

2

+



y + 145

Ví dụ 1.21 Cho f hàm số thực với tập xác định là D Hãy xác định cáctập sau

1) A1 = z ∈ D|z = x2 + y2, x + y = 1, x > 0, y > 0

2) A2 = z ∈ D|z = 2x + 3y, 2x2 + 3y2 6 5

3) A3 = z ∈ D|z = sin42x + cos42x

4) A4 = nz ∈ D|z = 4sin2x+ 4cos2xo

(2x + 3y)2 =

√

2.√2x +√

3.√3y

Ta lại có 4sin2x− 1 > 0, 4cos2x− 1 > 0 ⇒ 4sin2x− 1 4cos2x− 1 > 0

⇒ 4sin2x+ 4cos2x 6 5 Dấu bằng xảy ra khi cosx = 0 hoặc sinx = 0 (2)

1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số fi, i = 1, 2, 3.

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm fi, i = 1, 2, 3 trên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0)

A A A

A A A A

-5

Dựa vào BBT ta có các kết luận sau

+ Trên tập A4 = [0; 3] ta có max f2(x) = f2(3) = 15

2 ;min f2(x) = f2(0) = 3

3.Tìm tập giá trị của hàm số fi với i =1,2,3 trên các tập Aj, j = 1, 2, 3, 4.

+ Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f1(x) là [−4; 50]

+ Trên tập A3 = [1; 4] ta có tập giá trị của hàm f2(x) là



4; 475

.+ Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f2(x) là



3; 152



+ Trên tập A3 = [1; 4] ta có tập giá trị của hàm f3(x) là [0; 225]

+ Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f3(x) là [0; 64]

4.

2 ⇔ x = π

6.min

Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa, bảng biến thiên và các định

lí về hàm liên tục để tìm tập giá trị của hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số fi với i = 1, 2, 3

2) Tìm GTLN;GTNN của các hàm số fi với i = 1, 2, 3 trên các tập Aj với

j = 1, 2, 3

3) Tìm y biết y thuộc tập giá trị của f1



2 sin x + cos x + 1sin x − 2 cos x + 3



4) Xác định các tập A

P P P

Dựa vào BBT ta có các kết luận sau

+ Trên tập A1 = [−1; 3] không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củacác hàm số f2(x)

+ Trên tập A2 = [0; 4] không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củacác hàm số f2(x)

Chương 2

Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương trình, bất phương trình.

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tổng hợp và trình bày các ứngdụng Tập giá trị của hàm số của hàm số thực trong toán học phổ thông vàophương trình, bất phương trình.Cụ thể là xét phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình dạng cơ bản sau:

Có hai cách tiếp cận đôi với các hệ nói trên:

Cách 1: Xác định hàm hợp f0g và dùng các định lý về hàm số liên tục.Cách 2: Gồm 3 bước

Bước 1: Đặt y = g(x) Khi đó các hệ trên trở thành:

Bước 3: Dùng các định lý của hàm số thực liên tục để xét f (y) = m

Ở cách 2, Bước 2 là bước then chốt.Thực tế cho thấy rằng, giải bài toánkiểu này thường sai ở Bước 2

Định lý 2.1 Giả sử f là hàm số liên tục trên D, D là tập con của R Khi

đó phương trình f (x) = m có nghiệm trên D khi và chỉ khi m thuộc vàotập giá trị của f (x) với x ∈ D

Từ Định lí 2.1 và các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số tacó:

Ba phương pháp ứng dụng đối với phương trình f (x) = m và f (g(x)) =

m, ∀x ∈ D, trong đó D là tập con của R

- Phương pháp thứ nhất: Dùng Định lí 2.1 và phương pháp thứ nhất củavấn đề tìm tập giá trị của hàm số

- Phương pháp thứ hai: Dùng Định lí 2.1 và phương pháp thứ hai của vấn

đề tìm tập giá trị của hàm số

Ta có f0(x) = 2x

2 − 10x + 8(2x − 5)2 , f

0(x) = 0 ⇔ 2x

2 − 10x + 8(2x − 5)2 ⇔ x = 4 hoặc

P

PPP P P P P

+∞

Từ bảng biến thiên ta có m > 3 thì phương trình có nghiệm thực

Ví dụ 2.3 Tìm m để phương trình: 3√

1−x2 − 2√x3 + 2x2 + 1 = m cónghiệm thực duy nhất thuộc [−1; 1]

Lời giải

x3 + 2x2 + 1

,

f0(x) = 0 ⇔ x = 0 vì 3

√1−x2 + √ 3x + 4

H −4

Dựa vào bảng biến thiên ta có: m = 1; −4 6 m < −2√

2 thỏa mãn đềbài

Ví dụ 2.4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1)



2sinx + cosx + 1sinx − 2cosx + 3

3

+ 3



2sinx + cosx + 1sinx − 2cosx + 3

2

− 4 = m

2)

cosx + sinxsinx + cosx + 2 + 3cosx + sinx

4

− 2



2sinx + cosx + 1sinx − 2cosx + 3

Bài toán quy về tìm m để phương trình t3 + 3t2 − 4 = m có nghiệm

H H H H

−2−√2

2+ √ 2

−2+√2

H H H H H H H H H H H

H H H H H H H H1

Dựa vào bảng biến thiên ta được m ∈

Bài toán quy về tìm m để phương trình t4 − 2t2 + 4 = m có nghiệm

H H H H

hoặc t = 2

A A A

A A A A

0



5) Ta có 2 sin4x + cos4x
+ cos4x + 2 sin 2x + m = 0

P P P P P P P P

4 − x +√

2x − 2.Xét hàm số f (x) = √

4 − x +√

2x − 2, x ∈ [1; 4]