Một số đồng nhất thức của số Fibonacci và ứng dụng.PDF

Số Fibonacci nằm trong chương trình toán trung học phổ thông, dễ dàng dạy cho học sinh hiểu được các số Fibonacci có rất nhiều tính chất đại số và số học đẹp đẽ.. Một số đồng nhất thức c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

ĐỖ THỊ HƯƠNG - Mã HV: C00268

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ

FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: T OÁN VÀ THỐNG KÊ

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS, TS: Vũ Thế Khôi

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS-TS Vũ Thế Khôi - Viện Toán Học Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy Cô giáo trong Trường Đại HọcThăng Long đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao Học Toán khóa 3 Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Cao Bá Quát Quốc Oai đã tạo điều kiện cho tôi tham gia học tập và hoàn thành khóa học

Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè, tập thể lớp Cao Học Toán khóa 3 trường Đại học Thăng Long Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vừa qua

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân, nên trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và bạn bè đồng nghiệp

Hà Nội, ngày… tháng… năm 2016

Tác giả

Đỗ Thị Hương

MỤC LỤC

Một số ký hiệu 3

MỞ ĐẦU. 4

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 7

1.1 TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC FIBONACCI 7

1.2 BÀI TOÁN CÁC CẶP THỎ 9

1.3 ĐỊNH NGHĨA TRUY HỒI 12

1.4 SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM 14

1.5 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA SỐ FIBONACCI 16

1.5.1 Tỷ số vàng. 16

1.5.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci 16

1.6 MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ FIBONACCI 18

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ FIBONACCI 26

2.1 TẬP CON CỦA Sn KHÔNG CHỨA HAI SỐ NGUYÊN LIÊN TIẾP 26

2.2: SỐ LƯỢNG CÁC TẬP HỢP SINH CỦA Sn 1 28

2.3: CHUỖI NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI n KHÔNG CÓ HAI SỐ 1 LIÊN TIẾP 30

2.4: SỐ LƯỢNG CÁC HOÁN VỊ CỦA Sn 31

2.5: SỐ LƯỢNG CÁC TẬP CON LUÂN PHIÊN CỦA Sn 33

2.6 SỐ LƯỢNG CÁC TẬP CON BÉO CỦA Sn 34

2.7 TẬP CON A CỦA SnCÓ PHẦN TỬ NHỎ NHẤT BẰNG A 36

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG 38

KẾT LUẬN. 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

6 (ab) c hay ab (mod c) Hiệu a-b chia hết cho c

7 x  Số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x

8 x  Số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài luận văn

Số Fibonacci nằm trong chương trình toán trung học phổ thông, dễ dàng dạy cho học sinh hiểu được các số Fibonacci có rất nhiều tính chất đại số và

số học đẹp đẽ Một số đồng nhất thức của số Fibonacci có vai trò quan trọng trong kiến thức của thực tiễn nói riêng, có ứng dụng trong các bài toán dãy số- tổ hợp, có ứng dụng trong thực tế: toán kinh tế … Do đó việc nắm vững vấn đề này là nội dung quan trọng đối với việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên trung học phổ thông

Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “một phần là

từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci, còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), và rất nhiều tính chất của dãy số trên đã được mang tên các nhà Khoa học này Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci, cùng với các tính chất, ứng dụng chưa có nhiều và còn tản mạn

Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci với các tính chất

và ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và sự hiểu biết của con người Căn cứ vào những lí do trên nên tôi chọn đề tài:

“ Một số đồng nhất thức của số Fibonacci và ứng dụng”

Bản luận văn “ Một số đồng nhất thức của số Fibonacci và ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2015 chủ yếu dựa trên tài liệu tham khảo:

5

Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John

Wiley & Sons, 2012

2 Mục đích của đề tài luận văn

Học tập, giới thiệu và tìm hiểu lịch sử của nhà khoa học Fibonacci, một

số đồng nhất thức của số Fibonacci, dãy Fibonacci cùng với các tính chất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữa chúng Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci trong bài tập

+ Phát triển khả năng tư duy logic, phân tích các bài toán sử dụng dãy

số Fibonacci

3 Bố cục của luận văn

Bản luận văn“ Một số đồng nhất thức của số Fibonacci và ứng dụng” gồm

có:

+ Mở đầu

+ Nội dung ba chương

+ Kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Giới thiệu

Trong chương này, trình bày tiểu sử của nhà toán học Fibonacci Bài

toán các cặp thỏ Định nghĩa truy hồi của dãy Fibonacci, một số tính chất số học của dãy Fibonacci, công thức tổng quát của số Fibonacci Một số đồng nhất thức của số Fibonacci Khác với nhiều tài liệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giản

Chương 2 Một số ứng dụng của số Fibonacci

Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toán học Sự xuất hiện của dãy Fibonacci trong một số ví dụ ứng dụng quan trọng Chương 3 Một số bài tập áp dụng

Trong chương này, trình bày một số bài tập dạng chứng minh các đẳng thức, đồng nhất thức của số Fibonacci Các bài tập dạng dãy số cần áp dụng các kiến thức của dãy số Fibonacci đã được trình bày ở chương 1 và chương 2

Kết luận và tài liệu tham khảo

7

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

Trong chương này trình bày tiểu sử nhà toán học Fibonacci, bài toán các cặp thỏ, định nghĩa truy hồi, một số đồng nhất thức của số Fibonacci dựa trên tài liệu tham khảo [1], [3], [4]

1.1 TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC FIBONACCI

Leonardo Pisano Bogollo sinh ra vào những năm 1170 (khoảng 1170 –1240) Ông còn được biết

đến với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất

dưới cái tên Fibonacci Ông là một nhà toán học

người Ý và ông được một số người xem là “nhà

toán học tài ba nhất thời Trung Cổ” Fibonacci nổi

tiếng trong thế giới hiện đại vì có công truyền bá hệ

thống số Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông Dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm

1202

con của thương gia phát đạt Guglielmo, ông đã hướng con trai ông theo nghiệp của mình Vì vậy, khi Guglielmo được bổ nhiệm là người thu hải quan của thành phố Algerian ở Bugia (nay là Bejaia), vào khoảng năm 1190, ông mang Leonardo theo mình Đó là nơi chàng trai trẻ học với một thầy giáo người Hồi giáo Thầy giáo đó đã giới thiệu ông đến với hệ thống số Hindu-Arabic, cùng với các phương pháp tính toán Hindu- Arabic Sau đó, ông lại tiếp tục cuộc sống của mình với nghề buôn bán kinh doanh Leonardo tìm thấy chính mình khi đến các nước Constantinople, Ai Cập, Pháp, Hy Lạp, Rome và Syria Đó là những nơi ông tiếp tục nghiên cứu các hệ thống số học

khác nhau mà sau đó được sử dụng Vì vậy, Ông nhận được sự chào đón nhiệt tình khi trở về quê hương Pisa vào khoảng những năm 1200 Leonardo ưa thích và ủng hộ sự đơn giản, tao nhã, và tính thực tiễn của hệ thống số La Mã Đặc biệt, khi so sánh lợi ích thực tế của hệ thống chữ số Hindu-Arabic, cùng với hệ thống chữ số La Mã sau đó được sử dụng ở Ý Kết quả là, tính đến thời điểm ông qua đời vào khoảng năm 1240, nhà buôn người Ý bắt đầu nhận ra giá trị của hệ thống chữ số Hindu –Arabic, và dần dần bắt đầu sử dụng nó cho các giao dịch kinh doanh Đến cuối thế kỷ thứ mười sáu, hầu hết các quốc gia ở châu Âu đã điều chỉnh theo hệ thống này

Năm 1202, Leonardo công bố kiệt tác đầu tiên của mình, cuốn Liber Abaci ( Cuốn sách về Tính Toán hay cuốn sách về Bàn Tính) Trong đó ông

đã giới thiệu hệ thống chữ số Hindu-Arabic và các thuật toán số học với lục địa châu Âu Leonardo bắt đầu công việc của mình với sự ra đời của các chữ

số Hindu-Arabic: Chín con số Hindu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cùng với con số 0,

mà người Ả Rập gọi là "Zephirum" (mật mã) Sau đó, ông giải quyết bài toán, giá trị của một hệ thống chữ số các số nguyên Giá trị đó phụ thuộc vào vị trí của các trị số được sắp xếp trong hệ thống số nguyên đó Cùng với sự phát triển của cuốn sách, nhiều bài toán được giải quyết, bao gồm cả một loạt các

hệ phương trình tuyến tính xác định và không xác định có hơn hai ẩn, và bài toán khác là số hoàn thiện (có nghĩa là, một số nguyên dương có giá trị bằng tổng các giá trị của tất cả các ước của nó mà nhỏ hơn nó, ví dụ, 6 = 1 + 2 + 3

và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) Kín đáo giấu giữa hai vấn đề này là một bài toán

mà rất nhiều học sinh và giáo viên toán biết, bài toán nổi tiếng "Bài toán các cặp Thỏ."

Trước khi tiếp tục với bài toán này, hãy để chúng tôi giới thiệu thêm những thành tựu của Leonardo là: Khi Leonardo được biết tới do cuốn sách

1.2 BÀI TOÁN CÁC CẶP THỎ

Bây giờ quay trở lại bài toán nổi tiếng " Bài toán các cặp Thỏ ", Leonardo giới thiệu bài toán có một cặp thỏ sơ sinh – một con đực, một con cái Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánh đồng Chúng ta quan tâm tới việc xác định số cặp thỏ có thể được nhân giống (bao gồm cả cặp ban đầu) trong một năm nếu:

(1) Mỗi cặp mới sinh, một đực và một cái, phát triển đến trưởng thành và sau đó bắt đầu sinh sản;

(2) Bắt đầu được hai tháng tuổi, mỗi tháng sau đó, một cặp trưởng thành

sẽ sinh sản được một cặp thỏ (sơ sinh), gồm một đực và một cái;

(3) Không có thỏ chết trong giai đoạn một năm đó

Nếu chúng ta bắt đầu kiểm tra tình hình này vào ngày đầu tiên của năm Câu

đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ?, chúng ta sẽ tìm ra kết quả ở mô phỏng sau,

Hình 1

• Chúng ta cần nhớ rằng vào cuối mỗi tháng, một cặp mới sinh (sinh ra vào đầu tháng) phát triển đến trưởng thành, không phụ thuộc vào số ngày của tháng đó Điều này cho ta số cặp trưởng thành mới bằng tổng số cặp trưởng thành trước cộng thêm số cặp mới sinh trước đó Như vậy,

• Vào cuối tháng thứ hai, một cặp trưởng thành bây giờ sinh sản vào đầu mỗi tháng sau tạo ra một cặp thỏ mới, vì vậy bây giờ có 1 + 1 = 2 (cặp)

• Vào cuối tháng thứ ba, một cặp trưởng thành bây giờ sinh sản vào đầu mỗi tháng sau tạo ra một cặp thỏ nữa, ta có số lượng các cặp thỏ lúc này là 2 + 1 =

11

Ta có kết quả trong bảng 1

Bảng 1:

Số lượng các cặp thỏ mới sinh

Số lượng các cặp thỏ trưởng thành

Tổng số các cặp thỏ

Từ cột thứ ba trong bảng 1, chúng ta thấy rằng vào cuối năm, người đó bắt đầu với một cặp thỏ sơ sinh, bây giờ đã có tổng cộng 233 cặp thỏ, kể cả các cặp thỏ ban đầu

Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp thỏ trong tháng n2, cộng với số lượng các cặp thỏ trong tháng n1 Đây là

mô tả dãy số, nhưng ông đã xuất bản nó trong cuốn sách Liber Abaci, chính

cuốn sách này đã giới thiệu dãy số Fibonacci đến với phương Tây

Dãy số Fibonacci đã được chứng minh là một trong những dãy số thú

vị , và phổ biến nhất trong cả bộ môn toán Thật không như mong đợi, từ khi những con số này xuất hiện đến nay, có quá nhiều học sinh, và thậm chí là cả giáo viên toán, chỉ nhận thức được sự kết nối giữa con số và "Bài toán các cặp Thỏ" Tuy nhiên, như người đọc sẽ tìm hiểu, những con số này có nhiều tính chất thú vị và xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau

13

1.3 ĐỊNH NGHĨA TRUY HỒI

Sau khi phân tích dãy số trong cột giữa của bảng 1, chúng ta thấy rằng sau hai số đầu tiên, mỗi số sau là tổng của hai số liền trước

Ví dụ như:

1 = 1 + 0, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, , 55 = 34 + 21

Vì vậy, chúng ta có thể xác định số sau trong dãy số khi chúng ta biết được giá trị các số trước đó trong dãy số Đặc tính này bây giờ cho phép chúng ta xác định được các con số Fibonacci từ nay về sau chúng ta sẽ xem xét Do đó, dãy số Fibonacci được định nghĩa, theo một cách hệ thống, như sau:

Định nghĩa 1.3.1 : Dãy {Fn } các số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thức truy hồi sau: Với n ≥ 0, nếu chúng ta cho F là số Fibonacci thứ n, ta có n

(1) F0  0,F1 1 (điều kiện ban đầu)

(2) Fn  Fn 1  Fn 2 , n ≥ 2 (Mối quan hệ Truy hồi) (1.1)

Do đó, các giá trị F , F , F , F , 0 1 2 3 xuất hiện ở cột giữa bảng 1, cụ thể là

0

F , từ dãy F , F , F , 1 2 3 xuất hiện trong cột thứ ba của bảng 1 Dãy số

0 1 2 3

F , F , F , F , bây giờ được coi là định nghĩa chuẩn về dãy số Fibonacci Nó

là một trong những ví dụ sớm nhất của một dãy số truy hồi trong toán học Nhiều người cảm thấy rằng Fibonacci đã chắc chắn nhận thức được bản chất truy hồi của dãy số Tuy nhiên, phải tới tận năm 1634, khi ký hiệu toán học đã

đủ tiên tiến, nhà toán học người Hà Lan Albert Girard (1595-1632) mới viết công thức này trong tác phẩm được xuất bản sau khi mất của mình là

L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges

Sử dụng định nghĩa truy hồi ở trên, ta tìm ra được 25 số Fibonacci đầu tiên trong bảng 2

Bảng 2:

0

F  0 F5  5 F10  55 F15  610 F20 6765 1

F  1 F6  8 F11 89 F16  987 F21 10946 2

F  1 F7  13 F12 144 F17  1597 F22 17711 3

F  2 F8  21 F13 233 F18  2584 F23 28657 4

F  3 F9  34 F14  377 F19  4181 F24 46368

1.4 SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM

Từ công thức truy hồi (1.1), ta có công thức

F   ( 1)  F Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có

F (k 1) F (k 1)Fk  ( 1) Fk k 1  ( 1)k 1 Fk  ( 1)k 2 Fk ( 1)k 2 Fk 1  ( 1)k 2 (FkF )k 1  ( 1)k 2 Fk 1 □

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh

1.5 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA SỐ FIBONACCI

1.5.1 Tỷ số vàng

Tỷ số vàng φ (phi) được định nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b)

1.5.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci

Các số Fibonacci có công thức truy hồi:

1a

 n

n n

Ta thấy rằng ước số chung lớn nhất của F55 và F6 8 là 1 Vì các

Giả sử có một số nguyên dương d thỏa mãn d 1  và d là ước số chung của

Mà Fk 2 FkFk 1 suy ra Fk cũng chia hết cho d

Điều này lại mâu thuẫn với giả thiết gcd (F , Fk k 2 ) 1.

Những kết quả này cho ta những tính chất dưới đây:

Tính chất 1.6.3 Tổng của sáu số Fibonacci liên tiếp bất kỳ chia hết cho 4

0 2 1

F  F F

Fn 1 Fn 1 Fn

Fn Fn 2 Fn 1 Cộng tất cả các đẳng thức ở vế bên trái cho chúng ta kết quả: nr 0 F ,r tổng tất

cả các đẳng thức ở vế phải cho ta kết quả là:

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 (≥ 1),

r 1 F    F F F  F

Chứng minh

Ta có:

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ FIBONACCI

Chương này sẽ cung cấp một số ứng dụng mà các số Fibonacci xuất hiện, dựa trên tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5], [7]

2.1 TẬP CON CỦA Sn KHÔNG CHỨA HAI SỐ NGUYÊN LIÊN

TIẾP

Với n ≥ 1, cho Sn 1, 2, 3, ., n, và cho S0  , là tập hợp rỗng Vậy số lượng các tập con của S là n 2n Tìm số lượng các tập con của S không chứa nhai số nguyên liên tiếp Với n ≥ 0, gọi a là số lượng các tập con của n S không nchứa hai số nguyên liên tiếp Xét trường hợp với n = 3, 4, và 5 Ta có các tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp với ba trường hợp cụ thể dưới đây:

Do đó,

a F , n 0

2.2 SỐ LƯỢNG CÁC TẬP HỢP SINH CỦA Sn 1

Cho S = {1, 2, 3, , n}, với n ≥ 1 Với bất kỳ tập con A khác rỗng ncủa S , ta định nghĩa n A 1 {a 1   | aA}. Do đó, với n ≥ 1, ta gọi g là số nlượng các tập con A khác rỗng của S sao cho n A(A 1) S  n 1 Những tập con A khác rỗng của S có tính chất như trên được gọi là tập hợp sinh của n

29

Do đó: g43

Tương tự với n = 5 ta có các tập hợp sinh của S6 là:

{1, 3, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}

Ở đây ta thấy khi n = 5 ta có các tập hợp sinh của S6 được tạo nên bằng cách đặt 5 vào trong mỗi tập hợp sinh của S5 và S4

Do đó: g5   g4 g3 và trường hợp cụ thể này khái quát hóa cho ta cách xác định số lượng tập hợp sinh gn bằng cách đặt số n vào trong mỗi tập hợp sinh của Sn và Sn-1