Bài toán định vị và một số ứng dụng.PDF

LỜI NÓI ĐẦU Một vấn đề quan trọng trong hình học là xác định vị trí của điểm, một ứng dụng quan trọng từ bài toán xác định vị trí của điểm là xác định vị trí một cơ sở cần được xây dựng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

Phạm Thị Hồi

BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả luận văn xin cam đoan về tính hợp pháp và tính đúng đắn của luận văn Dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Luận văn đã tổng hợp các kiến thức lý thuyết và kết quả nghiên cứu mới đây về bài toán định vị và không trùng lặp với các luận văn khác

Học viên

Phạm Thị Hồi

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý Thầy Cô đã giảng dạy trong chương trình Cao học Toán ứng dụng khóa 1 – Trường Đại học Thăng Long, những người đã truyền đạt kiến thức hữu ích về ngành Toán ứng dụng làm cơ sở cho tôi hoàn thành luận văn này

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn, đồng thời còn là người giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn

bè thân thiết là những người luôn sát cánh bên tôi, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập, cũng như khi tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không tránh khỏi có những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các anh chị học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Hải Phòng, tháng 07 năm 2015

Học viên thực hiện

Phạm Thị Hồi

MỤC LỤC

Bản cam đoan i

Lời cảm ơn ii

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 3

1.1.Tập lồi 3

1.2 Tập a-phin 4

1.3 Tập lồi đa diện và định lý tách các tập lồi đa diện 5

1.4 Bao lồi 7

1.5 Hàm lồi và cực trị của hàm lồi 9

1.6 Bài toán quy hoạch lồi 14

1.7 Toán tử chiếu 16

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG 21

2.1 Giới thiệu bài toán 21

2.2 Phương pháp tối ưu giải một bài toán định vị 26

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

LỜI NÓI ĐẦU

Một vấn đề quan trọng trong hình học là xác định vị trí của điểm, một ứng dụng quan trọng từ bài toán xác định vị trí của điểm là xác định vị trí một

cơ sở cần được xây dựng Khi chúng ta cần xây dựng một bệnh viện, một nhà máy, một trạm xăng, một bến xe, hay một hệ thống giao thông nối các điểm quan trọng với nhau thì câu hỏi đặt ra là vị trí xây dựng như thế nào là tối ưu, thuận tiện nhất sao cho đảm bảo việc thỏa mãn nhu cầu của người sử dụng là tốt nhất để đem lại sự thu hút và lợi ích nhiều nhất Ví dụ như khi xây dựng một trạm đổ xăng hay bến xe cần tính toán sao cho khoảng cách tới các khu dân cư đông đúc là ngắn nhất, thuận tiện đường nhất, …, cũng như vậy khi xây dựng một hệ thống giao thông thì xây dựng thế nào để hệ thống giao thông đó có độ dài ngắn nhất, tiết kiệm chi phí xây dựng, thuận tiện cho việc

sử dụng sau này Bài toán xác định vị trí của một điểm, một cơ quan…là một

ví dụ của bài toán định vị

Bài toán này không chỉ thu hẹp trong phạm vi những điểm lân cận mà còn được mở rộng sao cho đạt được sự tối ưu với các điểm ở biên, ví dụ như khi ta xây dựng một trạm phát sóng hay một trạm điện trong một thị trấn thì vấn đề đặt ra là vị trí xây dựng ở đâu để những hộ dân hay cơ quan xa nhất cũng nhận được tốt nhất

Bài toán định vị được gặp và áp dụng nhiều từ những bài toán tìm cực trị của một điểm đến những bài toán xác định nghiệm tối ưu kèm theo những điều kiện ràng buộc để giải quyết vấn đề tìm vị trí của một điểm sao cho đạt được sự tối ưu Đây là đề tài đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Bài toán định vị và một số ứng dụng

Luận văn trình bày một cách có hệ thống bài toán định vị trong đó đi sâu vào các bài toán có hàm mục tiêu minimax và ứng dụng của bài toán này

Luận văn gồm hai chương Chương 1: Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, cực trị của hàm lồi, bài toán quy hoạch lồi, toán tử chiếu là những kiến thức nền tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu và giải quyết bài toán định vị

Chương 2: Bài toán định vị và ứng dụng

Chương này trình bày một cách tổng quan hơn về một bài toán định vị

là bài toán tìm một điểm (hay một vị trí) trong một miền xác định sao cho khoảng cách lớn nhất từ điểm (vị trí) đó tới các điểm (vị trí) cho trước là nhỏ nhất

Xét một số ví dụ từ quá trình được nghiên cứu và giải bằng phương pháp hình học đến ví dụ áp dụng một thuật toán giải cho bài toán phức tạp hơn

Trình bày một thuật toán được coi như cải biên của thuật toán dưới vi phân để giải bài toán định vị trong trường hợp số điểm cho trước có thể rất lớn

Định nghĩa 1.1 Một tập C là một tập lồi nếu C chứa đoạn thẳng

đi qua hai điểm bất kỳ , x y C , tức là

( ) ,  x y C    ,  0,1  x   1  y C  (1.1)

Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x1, , xk nếu

1

, 0 1

k j

j 

Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của

các điểm của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi

  k N, 1, , k> 0:

k j

j  x



 C

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa

Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm

Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi

và tổ hợp lồi

Giả sử mệnh đề đúng với k−1 điểm Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm

Giả sử x1, , xk C là tổ hợp lồi của k điểm Tức là

C

k j j

Từ định nghĩa cho thấy tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi Các không gian con, các siêu phẳng vv là các trường hợp riêng của tập a-phin

Một ví dụ về tập a-phin là siêu phẳng được định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.3 Siêu phẳng trong không gian n là một tập hợp các điểm có dạng

 x  n| aT x   

trong đó a n là một véc-tơ khác 0 và 

Véc-tơ a thường được gọi là véc-tơ pháp tuyến của siêu phẳng

1.3 Tập lồi đa diện và định lý tách các tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.4 Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của

một số hữu hạn các nửa không gian đóng

Quy ƣớc: Giao của một họ rỗng các nửa không gian đóng là n

Định nghĩa 1.5 Nửa không gian là một tập hợp có dạng

 x | aT x   

trong đó a  0và 

Tập trên là nửa không gian đóng

Tập  x | aT x    là nửa không gian mở

Nhận xét 1.1

(i) n, là các tập lồi đa diện

(ii) Tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau:

D   x  a x   b j  m ,

ở đó j n, j 1, , , j 1,

j

Hoặc nếu ký hiệu A là ma trận có m-hàng là các véc tơ aj với j = 1, ,

m và véc-tơ b T (b , , b )1 m , thì hệ trên được viết là:

Định nghĩa 1.6 Cho D D1, 2 là hai tập khác rỗng

(i) Ta nói siêu phẳng H tách D1 và D2 nếu D1 nằm trong nửa không gian đóng xác định bởi H, còn D2 nằm trong nửa không gian đóng kia

(ii) Ta nói siêu phẳng H tách thực sự D1 và D2 nếu D1 và D2không đồng thời thuộc H

(iii) Ta nói siêu phẳng H tách mạnh D1 và D2 nếu tồn tại ε >0 sao cho tập D1B n nằm trong nửa không gian mở xác định bởi H, còn

riD  riD , ở đó riD ký hiệu cho phần trong tương đối của D

Định lí 1.3 (Định lý minimax) Cho hàm f C D:   với C m ,

n

D là các tập lồi đóng khác rỗng f (u, v) là hàm lồi theo biến u, lõm

theo biến v, xác định và liên tục trên C × D Nếu một trong hai tập C và D là

Định nghĩa 1.7 Cho P là tập hữu hạn k-điểm trong n , giao của tất

cả các tập lồi chứa P được gọi là bao lồi của P Ta kí hiệu bao lồi của P là conv(P)

Nhận xét 1.3 Bao lồi của tập S là tập lồi nhỏ nhất chứa S Bao lồi của

một tập hữu hạn điểm P n là một đa diện lồi trong n

Định nghĩa 1.8 Mỗi pP thỏa mãn p conv P  ( \   p ) được gọi là một đỉnh của conv(P)

Định lí 1.4 (Định lí Caratheodory) Nếu dim X=m thì mọi điểm

x ConvX có thể biểu diễn bằng tổ hợp lồi của không quá m+1 điểm thuộc

là tổ hợp lồi có số véctơ k nhỏ nhất có thể được của x

Ta sẽ chứng minh k  m 1 Thật vậy, giả sử ngược lại k  m 1, các vectơ { , ,x1 x k} không thể độc lập affine vì dim X m, như vậy các véctơ

{x x , ,x k x} không thể độc lập tuyến tính Tức là, tồn tại bộ

số 2, ,k0 sao cho

1 2

( ) 0.

k

i i i

thì số hệ số dương trong tổ hợp lồi sẽ ít hơn số hệ số dương trong tổ hợp ban

đầu, mâu thuẫn với giả thiết k là nhỏ nhất có thể được

1.5 Hàm lồi và cực trị của hàm lồi

Định nghĩa 1.9 Cho hàm f xác định trên tập lồi D Hàm f được gọi là

hàm lồi trên D nếu

f x x a là lồi mạnh với modun  1 trên toàn không gian n

(ii) Cho J là tập chỉ số hữu hạn khác rỗng, X là tập lồi và gj là hàm lồi mạnh trên X với modun j với mọi jJ Khi đó, hàm gmaxj J g j là lồi mạnh trên X với modun  minj J j .

Định nghĩa 1.10 Cho f : n     là hàm lồi Vector v được gọi là dưới gradient của f tại x nếu với mọi  n

1.5.1 Cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục

Định nghĩa 1.12 Giả sử f : n   [ , ] là hàm số tùy ý và

thì x0được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của f x  trên C

Nếu tồn tại lân cận U x( 0) của x0 sao cho 0  

Do min f x{  :xC} max{f x :xC} nên lý thuyết cực tiểu (hay cực đại) hàm lồi cũng chính là lý thuyết cực đại (hay cực tiểu) hàm lõm

1.5.2 Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm)

Định lý 1.6 Cho f : n  là hàm lồi và C là tập lồi, khác rỗng trong n Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục Tập Argmin x C f x  là tập lồi của C

Từ đây suy ra bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm

trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục Tập tất cả các điểm cực đại của một hàm lõm trên tập lồi là lồi

Định lý 1.7 Với mọi hàm lồi chính thường f:

a) Cực đại của f trên một đoạn thẳng bất kỳ đạt tại một đầu mút của

Hệ quả 1.1 Với các giả thiết như trong Mệnh đề 1.3, điểm trong

Mệnh đề 1.5 Muốn cho điểm x* của tập lồi đóng C là điểm cực tiểu

của hàm lồi khả vi f x  trên C, điều kiện cần và đủ là x*  p y( *), trong đó

( )

y  x   f x và  0 là một số bất kỳ

1.5.3 Cực tiểu của hàm lồi mạnh

Sau đây ta xét một lớp hàm luôn có cực tiểu trên mọi tập đóng khác rỗng Hơn nữa, giống như hàm lồi chặt, cực tiểu này là duy nhất nếu tập đó là lồi

Định nghĩa 1.13 Hàm f x  xác định trên tập lồi C  n được gọi

là lồi mạnh, nếu tồn tại hằng số 0 đủ nhỏ (hằng số lồi mạnh) sao cho với

a) Tồn tại duy nhất điểm x* C sao cho f x( )minf x( ) :x C .

Mệnh đề 1.7 Giả sử f x  lồi mạnh trên tập lồi đóng C và x0 là điểm

cực tiểu của f trên C Khi đó, với mọi xC ta có

0 2

1.5.4 Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm)

Mệnh đề 1.8 Giả sử C  n là tập lồi và f C:  là hàm lồi Nếu

 

f x đạt cực đại trên C tại điểm trong tương đối x0của 0

)(

C x riC thì

 

f x bằng hằng số trên C Tập Argmax x C f x  là hợp của một số diện của C

Mệnh đề 1.9 Giả sử C là tập lồi, đóng và f C:  là hàm lồi Nếu

C không chứa đường thẳng nào và f x  bị chặn trên trên mọi nửa đường thẳng trong C thì

sup f x x C sup f x x V C

trong đó V C  là tập các điểm cực biên của C , nghĩa là nếu cực đại của

 

f x đạt được trên C thì cực đại cũng đạt được trên V C 

Hệ quả 1.2 Hàm lồi thực f x  trên tập lồi đa diện D, không chứa đường thẳng nào, hoặc không bị chặn trên trên một cạnh vô hạn nào đó của

D, hoặc đạt cực đại tại một đỉnh của D

Hệ quả 1.3 Hàm lồi thực f x  trên tập lồi compact C đạt cực đại tại một điểm cực biên của C

1.6 Bài toán quy hoạch lồi 1.6.1 Bài toán và định nghĩa

Cho D n và f : n  Xét bài toán quy hoạch toán học

toán (P) Tập D được gọi là miền (tập) chấp nhận được, f được gọi là hàm

mục tiêu của bài toán (P) Thông thường, tập D được cho như là tập nghiệm

Bài toán (P) với D cho bởi (1.9) gọi là trơn nếu cả hàm mục tiêu và các

ràng buộc đều trơn (khả vi)

Bài toán (P) có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau

Định nghĩa1.14 Điểm xD được gọi là lời giải tối ưu địa phương của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho

1.6.2 Sự tồn tại nghiệm tối ƣu

Xét bài toán tối ưu toàn cục (P) Có 4 trường hợp tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán này

x D f x   nhưng giá trị cực tiểu không đạt được trên D

• Tồn tại xD sao cho ( ) min ( )

F    D

đóng và bị chặn dưới

Định lí 1.9 (Weierstrass) Nếu D là tập compact và f nửa liên tục dưới

trên D thì bài toán (P) có nghiệm tối ưu

Định lí 1.10 Nếu f nửa liên tục dưới trên D và thỏa mãn điều kiện bức

sau

f x   khi x D x   

thì f có điểm cực tiểu trên D

1.6.3 Điều kiện tối ƣu

Xét bài toán (P) định nghĩa bởi

trong đó   X  n và f g h, j, i : n  (j i, ) Ta gọi bài toán (P) là bài toán lồi nếu X là tập lồi đóng và các hàm f g, j là lồi, h i là hàm affine

Định lí 1.11 (Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử (P) là bài toán lồi Nếu x*

là một nghiệm tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại *  

Từ định nghĩa này hình chiếu PC(y) của y trên C là nghiệm của bài toán tối ưu

2

1min2

x C  x y 

   Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm 2

xy trên C

Mệnh đề 1.10 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

n , khi đó với mọi x  n , hình chiếu P xC( ) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất

Chứng minh: Giả sử x  n, y C  ta có dC( ) x   y x , suy ra tồn tại dãy ( ) xn n trong C sao cho

Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì

x y N y x z N     Tức là,

Cộng hai vế của bất đẳng thức này ta suy ra y z   0 và do đó yz

Mệnh đề 1.11 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

thường gặp trong các ví dụ dưới đây

Ví dụ 1.1 Chiếu xuống hình cầu đóng

Cho C là hình cầu bán kính R tâm A(a ,1 a2, ,a n)T n được định nghĩa bởi

1 2 2 1

CHƯƠNG 2

BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này giới thiệu về bài toán định vị, trình bày một thuật toán được coi như cải biên của thuật toán dưới vi phân và ví dụ áp dụng Các kết quả trình bày trong chương này được tổng hợp từ các tài liệu [4],[5], [6]

2.1 Giới thiệu bài toán

Bài toán định vị xét trong chương này có thể mô tả như sau

Giả sử trong không gian 2 cho tập C gồm p điểm v1, v , , v2 p và một tập D 2 cho trước, D  Bài toán yêu cầu tìm một điểm trong tập D sao cho khoảng cách (theo một nghĩa nào đó) đối với các điểm trong tập C là nhỏ nhất Khoảng cách ở đây có thể lấy theo chuẩn Euclid hoặc có thể được định nghĩa một cách tổng quát phù hợp với yêu cầu cụ thể của từng bài toán Trong nhiều trường hợp người ta có thể thay khoảng cách bằng một hàm chi phí nào

đó phụ thuộc vào điểm cần tìm

Một trường hợp riêng được xét là tổng khoảng cách từ điểm cần tìm tới các điểm khác là nhỏ nhất

Một trường hợp riêng khác là khoảng cách xa nhất từ điểm cần tìm đến các điểm khác là nhỏ nhất

Gọi c x v( , ) là chi phí (hay khoảng cách) liên quan đến điểm x,v Khi đó

mô hình toán học cho bài toán tìm vị trí xD sao cho tổng chi phí c x v( , ),