Thi HSG giỏi Máy tính cầm tay 1

tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩnĐể giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2 sau đó nhập các mẫu số liệu x1, x2, .... Ta phải xoá các số liệu cũ còn lu trong máy ấn

Giải toán theo phơng pháp tính

Sơ đồ Hoóc-ne:

Tính giá trị đa thức P(x) ứng với một giá trị biến số x

Giả sử ta cần tính giá trị đa thức bậc ba tại

x = k Đây là bài toán ta đã biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểuthức vào máy tuy nhiên cách làm này trở nên cồng kềnh khi bậc đathức hoặc k có giá trị lớn Trong trờng hợp đó phơng pháp tính đóngvai trò hữu hiệu hơn

Đối với bài toán cụ thể này, ta viết đa thức đã cho dới dạng:

Cách tính này thực chất là qui tắc đợc lặp đilặp lại nhiều lần

Cách tính này đợc trình bày dới dạng sơ đồ Hoóc-ne (tên nhà toánhọc Anh Horner 1786 -1837), và đợc minh hoạ qua ví dụ sau:

Bài 13 Tính giá trị của với x = 4

0 6

T×m th¬ng vµ d trong phÐp chia ®a thøc cho (x - α)

Khi chia ®a thøc cho nhÞ thøc (x α)

th-¬ng sÏ lµ mét ®a thøc bËc hai vµ d lµ h»ng sè r, côthÓ:

- Biến đổi tơng đơng phơng trình f(x) = 0 (1) về phơngtrình dạng x = g(x) (2)

- áp dụng phơng pháp lặp vào phơng trình (2):

+ Lấy một giá trị x1 nào đó, coi nó là nghiệm gần đúng đầu tiên

và thay vào (2); nói chung x1 khác g(x1)

+ Đặt x2 = g(x1) đợc nghiệm gần đúng thứ hai x2

+ Đặt x3 = g(x2) đợc nghiệm gần đúng thứ ba x3

+ Tiếp tục lặp nh vậy đến bớc thứ n+1 ta đợc xn+1 = g(xn)

Dãy x1, x2, x3, , xn, xn+1, là dãy những giá trị gần đúng củanghiệm phơng trình x = g(x), tức cũng là nghiệm của phơng trìnhf(x) = 0

Bài 15 Tìm một nghiệm dơng gần đúng của phơng trình

tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn

Để giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2

sau đó nhập các mẫu số liệu x1, x2, , xn ta ấn phím nh sau:

x1 DT x2 DT xn DT

nếu mỗi mẫu số liệu xi có tần số thì ta ấn phím

nh sau:

x1 SHIFT ; n1 DT x2 SHIFT ; n2 DT xm SHIFT ; nm DT

Sau khi nhập số liệu xong ta tính số trung bình x, độ lệch chuẩn

s, và phơng sai s2 nh sau:

Tính số trung bình ta ấn SHIFT S – VAR 1 =

Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S – VAR 2 =

Tính phơng sai s2 bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn SHIFT S – VAR 1 = s2 =

Ví dụ 1:

Kết quả học tập cuối năm của An và Bình nh sau

Sau khi xoá các số liệu cũ còn lu trong máy

Ta vào chơng trình MODE 2 để tính số trung bình, phơng sai,

độ lệch chuẩn điểm các môn học của An

Ta nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các mônhọc nh sau: 8 DT 7,5 DT

7,8 DT 8,3 DT 7 DT 8 DT 8,2 DT 9 DT 8 DT 8,3 DT 9 DT Tính số trung bình ta ấn SHIFT S – VAR 1 =  = 8,1Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S – VAR 2 =  s 0,555959449

Tính phơng sai s2 bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn SHIFT S – VAR 2 = x2 =  s2  0,309090909

Để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các mônhọc của Bình Ta phải xoá các số liệu cũ còn lu trong máy (ấn cácphím SHIFT CLR 1 = ) về điểm trung bình môn năm của các mônhọc của An, sau đó vào chơng trình MODE 2 và nhập các số liệu

về điểm trung bình môn năm của các môn học của Bình nh sau: 8,5

a) Tính điểm trung bình môn Toán của tổ đó

b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai đối với tổ đó

a) Tính điểm trung bình của xạ thủ đó.

Chú ý 14 Đối với bài toán trên, còn có thể tính kích thớc mẫu (tổng

tần số), tổng các số liệu, tổng bình phơng các liệu bằng cách ấn phím tơng ứng sau:

Thoát khỏi chơng trình thống kê bằng cách ấn 2 =

Ta ấn MODE MODE MODE 2 33 0 ’” 45 0 ’” SHIFT DRG 1 = 0,589048622

Ví dụ 4: Đổi 3/4 rađian ra độ

Ta ấn MODE MODE MODE 1 ( 3  4 ) SHIFT DRG 2 =   420

c) ấn 3 ab/c 4 180 MODE 4 , 1 KQ:  4258'18''

Bài 20

a) Tính sin, côsin và tang của

b) Tính tan biết sin và

c) Cho sin Tìm các giá trị lợng giác của 2

Lời giải.

a) ấn MODE 4 , 2 5ab/c12ì SHIFT π

KQ: sin  0,9659 (chỉ lấy 4 chữ số thậpphân).

ấn (tiếp) KQ: cot 2   0,2917

Trong hai phần đầu của bài toán trên, đơn vị đo góc là rađian

Do đó lúc đầu phải ấn MODE 4 , 2 Vì giá trị ngợc sin-1 nằm giữa

và mà góc  ở phần b) lại nằm giữa và , nên  =   sin-1 Đối vớiphần c) có thể tuỳ chọn đơn vị đo góc là độ hay rađian Việc xác

định dấu của các hàm số lợng giác của 2 không thể dựa đơn thuầnvào máy mà phải dựa vào các công thức biến đổi lợng giác

Bài 21 Tính sin 4012'; cos 5254'37''; tan 7842'25''; cot 3810' Lời giải

Vào mode MODE 4 , 1

a) sin 4012' ấn 40 12 KQ: 0,6455

b) cos 5254'37'' ấn 52 54 37 KQ: 0,6031

c) tan 7842'25'' ấn 78 42 25 KQ: 5,0077.d) cot 3810' ấn 38 10 KQ: 1,2723

Chú ý 12 Khi cần tính toán với đơn vị đo góc là độ (hoặc rađian), phải ấn MODE 4 ,1 (hoặc MODE 4 , 2) Nếu chỉ muốn để 4 chữ số thập phân ở kết quả thì ấn thêm MODE 5 , 1, 4.

Bµi 22 TÝnh cos ; sin ; tan

19 Cho gãc nhän  mµ sin = TÝnh cos vµ tan.

20 Cho tanx = 2 TÝnh sinx vµ cosx

HÖ thøc lîng trong tam gi¸c Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh AB = 21cm, AC = 28cm, BC =

Bµi 24 C¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ AB = c = 23cm, AC = b = 24cm,

BC = a = 7cm TÝnh gãc A vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c

Lêi gi¶i.

a) cos A

19 Đối với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A = (1; 1), B = (2; 4), C =

(10; 2) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A Tính tích vô hớng

, cosB và cosC

20 a) Tam giác ABC, có b = 7; c = 5; cosA = 3/5 Tính ha và bánkính đờng tròn ngoại tiếp R

b) Tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 6 Tính ha và ma

21 Giải tam giác ABC biết:

B( 2; 3) và C(0; 4) Tính diện tích tam giác ABC.

ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: b =

ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: c = 

Vậy đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C đã cho có phơng trình

Thay biểu thức của y vào phơng trình elip ta đợc phơng trìnhxác định hoành độ giao điểm: 145x2 - 270x - 351 = 0.

ấn MODE 3 ,1, 2 145 = () 270 = () 351 = KQ: x1 2,744185018

ấn (tiếp) = KQ: x2 - 0,882116052

ấn ( 5 - 3 ì ALPHA X ) 4

ấn (tiếp) CALC 2,744185018 = KQ: y1 - 0,808138763

ấn (tiếp) CALC () 0,882116052 = KQ: y2 1,911587039

Vậy hai giao điểm có toạ độ gần đúng là A(2,744185018; 0,808138763) và B(- 0,882116052; 1,911587039)

Bài 29 Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu số với 3 chữ số

đ-ợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho, biết rằng

Bài 30 Có 18 đội bóng đá tham gia tranh giải vô địch Hỏi có

bao nhiêu cách trao huy chơng vàng, bạc, đồng, nếu mỗi đội chỉ cóthể nhận nhiều nhất một huy chơng?

Ên MODE 3 , 1, 2, 2 = 1 = 15 = SHIFT d/c KQ: u1 =

Ên (tiÕp) = SHIFT d/c KQ: d = -

Ên 50 × ( 2 × 800 ab/c 103 - 99 × 11 ab/c 103 ) = KQ: S100 = 248

Bµi 33 TÝnh tæng cña 20 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n nÕu u1 +

u3 = 15, u4 - u2 = 18

Lêi gi¶i.

Nãi chung Ên MODE 4 , 2, 4 biÓu thøc hµm sè a b

Luü thõa, mò, l«garit

Chú ý 13: Vì máy chỉ tính với lôgarit thập phân và lôgarit tự

nhiên nên ta phải dùng công thức đổi cơ số của lôgarit để chuyển từ các lôgarit cần tính sang lôgarit thập phân hoặc lôgarit tự nhiên.

phơng pháp toạ độ trong không gian

Bài 40 Tính diện tích của tam giác ABC có các đỉnh A (1; 2; 0), B

(0; 1; 0), C (3; 3; 1)

Lời giải.

= (1, 1, 0), = (4, 5, 1), = 1 4 + (1) (5) + 0 1 =

9, (cách khác tính tích vô hớng theo chơng trình gài sẵn trong máy:

vào MODE 3 , 3 ấn SHIFT VCT 1 nhập vectơ , và ấn SHIFT VCT

► tính tích vô hớng, lu ý để hiện đợc lên màn hình chữ VctA, ta ấnSHIFT VCT 3 (xem các trang 19 - 21 của tài liệu này)

TOáN học

Biểu thức và dãy phím biểu diễn: Ta biết khi ấn trên bàn

phím của một máy tính casio fx - 500MS dãy các phím:

Bài 2 Hãy viết biểu thức toán học tơng ứng với các dãy phím sau

đây (trong đó kí hiệu: M là số nhớ, MR là gọi số nhớ):

a) ấn phím nhập một số x, rồi ấn liên tiếp dãy phím

1b) ấn phím nhập một số x, rồi ấn liên tiếp dãy phím

2 5

a) Một máy bay cao tốc trị giá khoảng 63386 tỷ đồng Việt Nam.Nếu số tiền đó thanh toán bằng những tờ 50 000 đồng, mỗi tờ có bềdày 0,08mm, thì chồng tiền thanh toán đó cao bao nhiêu?

b) Dân số thế giới hiện nay khoảng 6 tỉ ngời, nếu xếp đợc tất cảmọi ngời chồng lên nhau (ngời sau đứng trên đầu ngời trớc) thì liệungời cuối cùng có với tới đợc Mặt trăng hay không? Biết rằng khoảngcách từ Trái đất đến Mặt trăng khoảng 300 000km

c) Khối lập phơng Rubic: Ngời ta có thể thu đợc 43 252 003 274

489 856 000 các dạng khác nhau khi xoay các mặt của khối Rubic Giả

sử, cứ mỗi giây ta có đợc một dạng, cần bao thời gian thì vét cạn tấtcả các dạng? So sánh với tuổi của vũ trụ 15 tỉ năm

d) Các hành tinh thuộc hệ mặt trời có đờng kính nh sau: Hoả tinh

4 878km, Kim tinh Trái đất 12756km, Thổ tinh

, Hải vơng tinh 48 000km, Diêm vơng tinh 3500km Hãy sắpxếp theo thứ tự lớn dần của diện tích, thể tích của các hành tinh này(mỗi hành tinh coi nh là một khối cầu)

Bài 5 Hãy điền vào chỗ trống của kết quả hiển thị trên máy ghi

theo kí pháp khoa học của các phép tính sau:

Bµi 6 Sö dông kÝ ph¸p khoa häc vµ c¸c phÝm Exp, h·y tÝnhgi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau vµ thö t×m l¹i b»ng m¸y gi¸ trÞ cña biÓu thøcviÕt theo c¸ch viÕt sè thËp ph©n:

Cã bao nhiªu ch÷ sè khi viÕt sè

Ch÷ sè thËp ph©n thø 2001 sau dÊu phÈy lµ ch÷ sè nµo khi ta: chia

1 cho 7? chia 10 cho 97 ? chia 10 cho 51?

Giá trị đúng của là bao nhiêu?

Số mũ âm Bài 9 Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

,

Bài 10 So sánh giá trị của hai biểu thức:

trong các trờng hợp Viết dãy cácphím tơng ứng cần n trong mỗi trờng hợp

Bài 11 So sánh các số sau Liệu có phải sử dụngcác phím dấu ngoặc để tính giá trị các luỹ thừa với số mũ nhiều tầngkhông?

Bài 12 Tính giá trị các số sau:

Các hàm số:

Bài 13 Tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài 14 Tính các xấp xỉ của  theo các phân số sau (thờng gọi là

phân số liên tục):

Bài 15 Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 16 Hãy so sánh các giá trị của từng cặp biểu thức sau:

Bài toán với ký hiệu chữ

Nói chung, ta không thể dùng máy tính để chứng minh các định

lý toán học, ví dụ với , để chứng minh tính đúng, taphải kiểm tra đẳng thức đó với tất cả các giá trị của x, mà các giá trị

đó thì nhiều vô hạn Tuy nhiên với máy tính có thể chứng minh tính

không đúng của một đẳng thức, bằng việc chỉ ra trị số nào đó củachữ mà đẳng thức sai Việc tìm ra các trị số đó nhờ dự đoán vàthử Chẳng hạn đẳng thức không xảy ra, vì khithử với trị số x = 1 ta nhận đợc điều vô lý là 2 = 3.

Bài 18 Liệu có thể bác bỏ đợc các đẳng thức sau?

Bài toán dựng đồ thị

Với cách lập bảng giá trị của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] với bớc biến

đổi h, ta có thể dựng đồ thị tơng ứng của hàm số Đồ thị của hàm

số ngày càng đúng hơn khi bớc biến đổi h nhỏ đi

Ví dụ: Cho hàm số

Với bớc biến đổi h ta lập đợc các bảng giá trị hàm số tơng ứng vớicác giá trị của biến số x: -5; -4,5; -4; -3,5; -3; -2,5; -2; -1,5; -1; -0,5; 0;0,5; 1; ; 4,5; 5 Do đó ta xác lập đợc toạ độ 21 điểm của đồ thị t-

ơng ứng Khi bớc biến đổi nhỏ đi, chẳng hạn h = 0,25 thì số điểmxác lập đợc lên tới 41 điểm, do đó dạng đồ thị càng xác định đợcchính xác hơn

Bài 19 Dựng đồ thị của các hàm số sau

Chọn kiểu MODE Bài 20 Hãy lựa chọn mode phù hợp để tính giá trị các biểu thức

sau:

Bài 21 Tính giá trị của các biểu thức sau:

Về thứ tự u tiên giữa các hàm số và các phép tính

Bài 22 ứng với mỗi dãy phím của 26 dãy nêu dới đây, hãy thực hiện

tuần tự 3 thao tác sau để tự kiểm tra khả năng nắm vững máy tínhCASIO fx-500MS:

Dự đoán biểu thức tơng ứng với dãy phím đã cho

Thực hiện các phép tính nêu trong biểu thức dự đoán để thu đợckết quả hiển thị trên màn hình

Thực hiện bấm dãy phím đã cho để thu đợc kết quả so sánh vớikết quả hiển thị ở mục 2, phân tích lý giải việc dự đoán sai (nếucó)

Những bài toán giải tích:

Bài 24 Cho các số

a) Xắp xếp dãy theo thứ tự tăng dần

b) Tính trung bình cộng của các số đã cho với sai số 0,01.c) Với mỗi số đã cho ta tính trị số lệch của nó với số trung bìnhcộng là

.d) Tính

e) Tính trung bình nhân và so sánh với các số và

Bài 25 Số hạng thứ n của dãy cho bởi công thức

a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy

b) Tính số hạng thứ 40, số hạng thứ 200

c) Với sai số 0,001, tính số hạng thứ 967

d) Với sai số 0,00001 hãy chỉ ra só hạng của dãy nhận giá trị 0

Bài 26 Số hạng thứ n của dãy cho bởi công thức

a) Tìm tám số hạng đầu tiên của dãy

b) Tính số hạng thứ 100, số hạng thứ 1000

c) Với tám số hạng đầu tiên của dãy, tính

Bài 27 Dãy đợc xác định bởi các hệ thức

.a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy

b) Tính các hiệu số

c) Tính

d) Giới hạn của dãy có đúng bằng 1,7 khi giá trị n lớn vô cùng?

Bài 28 Cho các dãy có số hạng thứ n đợc xác định bởi công thức

Với mỗi giá trị của q hãy tính sáu số hạng đầu tiên, số hạng thứ haimơi, số hạng thứ một trăm của dãy tơng ứng

Với q nào thì có ?

Với mỗi q đã chỉ ra ở câu b) hãy đánh dấu chỉ số n mà từ nó trở

đi có với sai số 0,001

Bài 29 Cho hai dãy số có

a) Hãy cho tuỳ ý 10 giá trị của n, rồi tính:

b) Trong các hệ thức sau cái nào đúng ?

Bài 30 Dãy số Phibonasi đợc xây dựng theo hệ thức:

Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy

Hãy kiểm tra các số hang thứ 2, thứ 3, thứ 10 theo công thức:

Bài 31 Sau khi bật máy và ấn phím , làm thế nào để hiển thịtrên màn hình một số lớn hơn mà chỉ ấn có hai phím?

Bài 32 Tính giá trị phân thức trong các trờng hợp sau

a) x - sinx = 0,25 với kết quả có hai chữ số lẻ thập phân đáng tin.b) với sai số tuyệt đối không quá

Bài 40 Trong 100 số nguyên dơng đầu tiên ta chọn ra 50 số sao

cho không có hai số nào trong các số đã chọn có tổng bằng 101, còntổng của tất cả các số chọn ra là 2525 Chứng minh rằng tồn tại bộ 50

số nh vậy; tổng bình phơng các số đã chọn bằng bao nhiêu?

Bài 41 Chứng minh rằng trong một tam giác tuỳ ý, tỉ số giữa

đ-ờng cao nhỏ nhất với đđ-ờng phân giác nhỏ nhất

Bài 42 Trong 3 bình có chứa 100g dung dịch axit mỗi bình:

trong bình thứ nhất nồng độ 70%, bình thứ hai 60% và bình thứ ba30% Pha các dung dịch này để có 250g dung dịch axit Nồng độ caonhất và nồng độ thấp nhất có thể có đợc trong dung dịch mới là baonhiêu? Làm thế nào để có thể có đợc 250g axit nồng độ 55%

Bài 43 Một cái ly hình nón chứa đầy rợu, ngời ta uống đi một lợng

sao cho chiều cao của rợu giảm đi một nửa Hỏi bao nhiêu phần rợu đã

đ-ợc uống

Bài 44 Khi chuyển tiền qua đờng bu điện, ngời gửi phải trả cớc

phí dịch vụ bằng 2% tổng số tiền cần chuyển Nếu trong túi bạn có

đúng 1 triệu đồng thì bạn có thể chuyển tối đa đợc bao nhiêutiền? (tính tròn đến trăm đồng)

Bài 45 Phải cắt những miếng tôn hình tròn đờng kính là 1 từ

một tấm tôn mỏng hình vuông với cạnh là 8 Liệu có thể cắt đợc hơn

64 miếng tôn tròn nh thế không?

Bài 46 Để cân đợc mọi khối lợng nguyên từ 1kg đến 40 kg, ngời

ta chia quả cân đo lờng 40kg thành bốn phần với khối lợng nguyên Hỏikhối lợng của mỗi phần đó là bao nhiêu?

Bài 47 Xác định số lợng và vị trí của các nghiệm thực của

Bài 48 a) Số phần tối đa mà 100 mặt phẳng có thể chia tách

không gian là bao nhiêu?

h) Tính giá trị biểu thức:

Bài 49 Không giải hệ phơng trình hãy so sánh giá trịcác nghiệm x, y

Bài 50 Trong mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm A(1; 1), B(3; 2) và

M(x; y) thuộc đoạn thẳng AB sao cho tích vô hớng Tìmtoạ độ (x; y) của điểm M

Bài 51 Cho hình quạt AB, với góc ở tâm là góc AOB = 2, một

đ-ờng tròn (O’) nội tiếp trong hình quạt Tính góc AO’B, biết:

Bài 54 Một máy tính đã thay đổi mặt số, các vị trí phím ban

đầu và vị trí mới đợc chỉ ra ở hình bên; ngời dùng không biết nênvẫn sử dụng bình thờng, ấn một số nguyên tố p có hai chữ số và một

số nguyên tố q có một chữ số, và ấn phím cộng chúng với nhau; rấtngạc nhiên là tổng hiển thị trên màn hình lại là đáp số đúng Hãytìm các cặp số (p, q)

7 8 9

4 5 6

1 2 3 0

2 1 0

5 4 3

8 7 69