Bài toán 2Đờng tròn Phơng trình đờng tròn: 0 Ax By Cz D r= R −d Tâm đờng tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng α Chú ý: Cách tìm hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng α +..
Trang 1Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian
Đờng thẳng
1 Bài toán 1
( )∆ qua M x y z và nhận ( , , )0( , , )0 0 0 u a b cr 0
0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
⇒ = +
= +
hoặc x x0 y y0 z z0
− = − = −
Chú ý ∆//d⇒uuur uur∆ =u d ∆ ⊥d d, '⇒u∆ = u u d; d'
uur uur uur
( )
( )α u∆ nα
∆ ⊥ ⇒uur r= ∆//( ), ( )α β ⇒u∆ = n( ) α ;n( ) β
VD 1 Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng (d) biết :
a) (d) đi qua A(2 ;0 ;1) và cú vtcp ur= − −(1; 1; 1)
b) (d) đi qua hai điểm A(1 ;2 ;1) và B(-1 ;0 ;0)
c) (d) đi qua M(-2;1;0) và vuụng gúc với mặt phẳng (P) : x+2y-2z+1=0
d) (d) đi qua N(-1;2;-3) và song song với đường thẳng : 3 0
x y z
+ − + =
∆ − + − =
e) (d ) đi qua M(2;-3;-5) và vuụng gúc với (ABC), biết A(1;0;1),B(1;1;0),C(0;1;1)
VD 2 Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua A(2 ;-1 ;1) và vuụng gúc với hai đường thẳng :
1
1 0 ( ) :
x y d
x z
+ + =
− =
( ) :
0
x y d
z
+ − =
=
2 Bài toán 2
0 ( ) :
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
VD 3 Viết phương trỡnh hỡnh chiếu (d’) của đường thẳng ( ) : 2 5
x y z d
x z
− + +
− + =
( ) :α x y z+ + − =7 0
VD 4 Viết phương trỡnh hỡnh chiếu (d’) của ( ) : 1 2 3
lờn cỏc mặt phẳng Oxy, Oyz
3 Bài toán 3
1
( ; ; ) ( ) :
( ; ; )
A x y z
d
− = − = − ⇒
ur
2
( ; ; ) ( ) :
( ; ; )
B x y z
d
− = − = − ⇒
uur
( ), ( )d d chéo nhau ⇔ u uur uur uuur1, 2.AB≠0 ( ), ( )d1 d cắt nhau 2 ⇔ 1 1 1 2 2 2
u u AB
≠
=
ur uur uuur
( ) //( )d d ⇔ a b c1: :1 1 =a b c2: 2: 2 ≠ −x2 x y1: 2 −y z1: 2−z1
( ) ( )d ≡ d ⇔ a b c1: :1 1 =a b c2: 2: 2 = −x2 x y1: 2−y z1: 2−z1
VD 5 Xột vị trớ tương đối của cỏc cặp đường thẳng sau :
Trang 2a) ( ) : 8 4
3 3
x t
=
= − −
= − −
x y z d
+ − =
− + =
b) ( ) : 1 2
2 ( ') : 5 3
4
z
= −
= − +
=
VD 6 Chứng minh hai đường thẳng ( ) : 2 1
− và
0 ( ') :
x y z d
+ − =
− − − =
Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó
VD 7 Chứng minh hai đường thẳng
1 2 ( ) : 3
2 3
= −
= +
= − −
và
2 ( ') : 1
3 2
=
= +
= −
chéo nhau và viết phương trình
đường vuông góc chung của chúng
Híng dÉn: +,Gäi ( )α lµ mp quaA x y z vµ cã VTPT ( ,1 1, )1 nr= u tur r1,
+,Gäi ( )β lµ mp quaB x y z vµ cã VTPT ( ,2 2, )2 mur= u tuur r2, +,§êng vu«ng gãc chung cña( )d vµ1 ( )d lµ giao tuyÕn cña ( )2 α vµ ( )β
VD 8 (Đường vuông góc chung)
Xác định phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng :
( ) :
( ') :
4 Bµi to¸n 4
VD 9 Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z+ + − =1 0 và đường thẳng ( ) : 1 2
− Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với (d) và thuộc mặt phẳng (P)
VD 10 Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-4 ;-5 ;3) và cắt cả hai đường thẳng :
1
( ) :
( ) :
VD 11 Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( ) :P y+2z=0 và cắt cả 2 đường thẳng
1
1
( ) :
4
= −
=
=
Và 2
2
1
z
= −
= +
=
VD 12 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;1), vuông góc với đường thẳng 1
:
và cắt đường thẳng 2
2 0 :
1 0
x y z d
x
+ − + =
+ =
Trang 3Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian
Mặt Cầu
1 Bài toán 1 (Phơng trình mặt cầu)
Mặt cầu (S) có phơng trình:
• x2+y2+ +z2 2Ax+2By+2Cz D+ =0 điều kiện: A2+B2+C2− >D 0
Có tâm (I − − −A B C, , ) và bán kính R= A2+B2+C2 −D
VD1: Xác định tâm và bán kính cho bởi phơng trình sau:
a x2+ y2 + z2− 2 x + 2 y + 4 z − = 3 0
b x2+y2+ −z2 2x−4y−6z−67 0=
Chú ý: Mặt cầu (S) qua 2 2 2
M x y z ⇒x +y +z + Ax + By + Cz + =D
Mặt cầu đờng kính AB ⇒ tâm I là trung điểm AB + Bán kính
2
AB
R= Mặt cầu tâm nằm trên ( ) :α Ax By Cz D + + + = ị 0 Aa Bb Cc D + + + = 0
Mặt cầu tâm tiếp xúc với ( )α ⇒ ( ,( ))d I α =R
VD 2: Viết phơng trình mặt cầu thoả mãn điều kiện sau:
a Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C, biết A(1 ; 0 ; −1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0)
b Mặt cầu (S) đờng kính OG trong đố G là trọng tâm của tam giác ABC A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 6)
c Mặt cầu ( ) S có tâm l gà ốc toạ độ O v tià ếp xúc với mặt phẳng (a) x + 2 y - 2 z + = 6 0
d Mặt cầu tâm I(1;-1;2) v tià ếp xúc với ( ) : 3P x+4 - - 23 0 y z = Tìm tọa độ tiếp điểm
e Mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(-1;1;2), C(1;-1;2) v có tâm thuà ộc mặt phẳng (P): x+y+z-4=0
2 Bài toán 2(Đờng tròn)
Phơng trình đờng tròn:
0
Ax By Cz D
r= R −d Tâm đờng tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng ( )α
Chú ý: (Cách tìm hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng ( )α )
+ Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua I và vuông góc với ( )α
+, Tâm đờng tròn là giao điểm của (d) và ( )α
VD 3 Xác định tâm và bán kính của đờng tròn sau:
( ) :
C
+ + − − − − =
+ + + =
VD 4 Cho mặt phẳng(α) : x + y + z − 1 = 0 và đường thẳng 1
−
Biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng (α) với cỏc trục toạ độ Ox, Oy, Oz, cũn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng toạ độ Oxy Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D Xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh của đường trũn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)
3 Bài toán 3( tiếp diện)
( ) : a Ax By Cz D + + + = 0 và (S)x2+y2+ +z2 2Ax+2By+2Cz D+ =0
( )α là tiếp diện của (S) ⇔ d(I→( ))α =R
Chú ý: B1: Xác định dạng phơng trình mặt phẳng (xem phần mặt phẳng)
B2: áp dụng điều kiện tiếp xúc ⇒ phơng trình mặt phẳng
Trang 4Công thức khoảng cách 0 0 0
d
=
+ +
VD 5: Trong khụng gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D cú toạ độ xỏc định bởi cỏc hệ thức
A = (2 ; 4 ; −1), B = ( ; ; ) 1 4 1 − ,C = (2 ; 4 ; 3), D ( ; ; ) 2 2 1 −
Viết phương trỡnh mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Viết phương trỡnh tiếp diện (α) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).
VD 6: Cho 4 điểm A(1;−1;2),B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;−1;2).
a Gọi A′ là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn mặt phẳng Oxy, hóy viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A′, B, C, D.
b Viết phương trỡnh tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A′
VD 7:Cho ba điểm A(1 ; 0 ; −1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0) Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC.
a Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
b Viết phương trỡnh cỏc mặt phẳng vuụng gúc với đường thẳng OG và tiếp xỳc với mặt cầu (S).
VD 8: Cho mặt cầu (S) : x2+ y2 + z2 − 2 x + 2 y + 4 z − = 3 0 và hai đường thẳng
1
∆ − =
Viết phương trỡnh tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đú song song với hai đường thẳng (∆1) và (∆2)
VD 9* Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa đường thẳng:
( ) :
−
Và tiếp xỳc với mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 2x−4y−6z−67 0=
VD 10.Cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 2x+4y+2z− =3 0 và mặt phẳng ( ) : 2P x y− +2z− =14 0
a) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh bằng 3
b) Tỡm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cỏch từ M đến mp(P) là lớn nhất
Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian
Trang 5Mặt phẳng
1 Bài toán 1
( )α qua M x y z nhận ( , , )0( , , )0 0 0 n A B Cr
là A x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) 0= ⇔ Ax By Cz D+ + + =0
Chú ý ( )α ⊥ ⇒d nuuur uur( )α =u d
( ) //( )α β ⇒nuuur uuurα =nβ
VD 1 Viết phương trỡnh mp(P) biết
a) (P) đi qua A(1;0;-3) và cú vtpt nr= −(1; 3;5)
b) (P) là mp trung trực của đoạn MN với M(-4 ;3 ;2), N(0 ;-1 ;4)
c) (P) đi qua B(3,-1,4) và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0
d) (P) đi qua C(1,-1,0) và song song với mặt phẳng yOz
e, (P) đi qua D(5,-1,-3) và vuông góc với đờng thẳng 1 3 1
x− = y+ = z−
− f) (P) đi qua E(2,-2,4) và vuông góc với trục Oz
2 Bài toán 2
( )α qua M x y z nhận 0( , , )0 0 0 u a b c u a b cur1( , , ), ( , , )1 1 1 uur2 2 2 2
nα u u
⇒ = uuur ur uur
Chú ý ( ) // , 'α d d ⇒n( )α = u u d; d'
uuur uur uur
( nếu ( )α chứa d, d’ thực hiện tơng tự) ( )α ⊥( ), ( )β γ ⇒n( )α = n( ) β ;n( ) γ
uuur r r
VD 2 Viết phương trỡnh mp(P) biết
a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và cú cặp vtcp là ur=(1;1; 2); − vr= −( 3;1; 2)
b) (P) đi qua M(1 ;-1 ;1), N(0 ;2 ;0), P(-2 ;-3 ;-4)
c) (P) đi qua M(2 ;3 ;4) và song song với trục Ox, Oz
d) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy
e) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng 2 1 3
( ) :
f) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuụng gúc với mp (Q): 4x - y + 2z − 1 = 0
g) (P) đi qua cỏc hỡnh chiếu của điểm M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc mặt phẳng tọa độ
h) (P) đi qua cỏc hỡnh chiếu của điểm M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc trục tọa độ
3 Bài toán 3
( )α qua M x y z và chứa (d) :0( , , )0 0 0 x x0 y y0 z z0
− = − = −
nα = M M u
uuur uuuuuuuruur
(M là điểm thuộc d)1
VD 3 Viết phơng trình mặt phẳng ( )α qua A(1,2,1) và chứa 1
Chú ý : nếu (d) ở dạng tổng quát nên sử dụng phơng trình chùm mặt phẳng
m A x B y C z D+ + + +n A x B y C z D+ + + = (*) với m2+n2 ≠0
VD 4 Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;3), chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
(P):x-y+z-3=0 và (Q): 3x+y+2z-5=0
VD 5 Viết phương trỡnh mặt phẳng (P):
a) Đi qua điểm A(1;2;1) và chứa trục Oy
b) Đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) :α x−3y+ =1 0 và ( ) : 2β y+ − =3z 5 0 đồng thời vuụng gúc với mặt phẳng ( ) : 2γ x y− − =1 0
c) Đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 3α x y− + + =3z 8 0 và ( ) : 2β − − + + =x y z 2 0 đồng thời song song với mặt phẳng ( ) :γ x y− − =1 0
Trang 6VD 6 Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và cắt 3 trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ.
VD7 Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD
c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC)
Chó ý ( )α chøa 1 1 1 1
( ) :d x x y y z z
− = − = −
vµ ( )α // 2 2 2 2
( ) :d x x y y z z
− = − = −
La mÆt ph¼ng qua M x y z hoÆc 2( , , )2 2 2 M x y z vµ 1( , , )1 1 1 n= u u d1; d2
r uur uur