Hình 10: Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng liên quan đến phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip (để làm được các bài toán dạng này cần nắm vững kiến thức về vectơ, định lý hàm cosin, định lý hàm sin trong tam giác và hình học 7, 8, 9) Hình học 11 và 12: Các bài toán về tính thể tích, khoảng cách và góc (để làm được các bài toán dạng này cần nắm vững kiến thức về quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian, cách xác định góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng trong không gian, các công thức tính thể tích của các hình không gian).
Trang 1Bài 1:
Do ABCD là h.t.cân có đáy lớn
2 ,
AD= a AB BC CD a= = =
nên OA OB OC OD a= = = =
SO⊥ ABCD ⇒SO⊥OB⇒SO =SB −OB = a −a = a ⇒SO a=
∆OAB là t.giác đều cạnh a nên
3
S = ⇒S = S =
và
2 2
3
S = S = S
.
a a
;
2 3
V = V
và
1 3
V = V
(MNPQ) BC MQ BC NP SQ SM 23
SB SC
và
1 2
SP SN
SA= SD =
Ta có:
.
.
1 2 1 1
2 3 2 6
S PQN
S ABD
V SP SQ SN
V = SA SB SD× × = × × = . 1 . 1 .
và
.
.
2 2 1 2
3 3 2 9
S QMN
S BCD
V SQ SM SN
V = SB SC SD× × = × × = . 2 . 2 .
a a
Bài 2:
Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(b;0) với a,b ≠ 0
Trang 2Ptđt d có dạng:
1
x y
a b+ =
, mà
( )3;1 3 1 1
a b
∈ ⇒ + =
(1)
∆IAB cân tại I ⇒
IA=IB ⇒ (a - 2) + (0 + 2) = (0 - 2) + (b + 2)2 2 2 2
⇔ − = +
(2)
Từ (1) và (2)
6; 2 2; 2
a b
a b
Ptđt d là:
1
6 2
x+ =y
hoặc
1
2 2
x− =y ⇔ − − =x x y+3y− =2 06 0
Bài 3:
Điểm
: 1 0 ( ;1 )
C CD x y∈ + − = ⇒C t −t
Vì M là trung điểm AC nên
1 3
;
2 2
M + −
.
Điểm
3
2
t
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD: x + y −1 = 0 tại I (K ∈ BC)
(1; 1)
n
là vppt của AK Suy ra ptđt AK : (x −1) − ( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:
( )
0;1
I
∆ACK có CI vừa là đường cao, vừa là phân giác ⇒
I là trung điểm của AK ⇒
K (−1;0)
⇒ CKuuur=(6; 8) 2(3; 4)− = −
là vtcp của BC ⇒ nur'=( )4;3
là vtpt của BC
⇒
Phương trình đường thẳng BC:
4 x+ +1 3y= ⇔0 4x+3y+ =4 0
.
B’ C’ Đặt lăng trụ đứng đã cho vào không gian tọa độ Oxyz
với A(0;0;0) trùng gốc tọa độ O, B(a;0;0), A’(0;0;a), trục Az cắt BC tại M.
∆ABC có AB=AC, ∠BAC=120° ⇒ BC a= 3
và
Trang 3ABC ACB
hay ∠ABM = °30
A’ y
I ∆ABM cân tại A và có
2 2
, 3
0; ;0 3
a
và
; ;0
a a
BM BC C−
uuuur uuur
M C
3
2 2
a a
C − a
, mà I là t.điểm CC’
3
; ;
2 2 2
a a a
I−
3
A ⇒
vtpt (A’BI) là
1 1
1 1
−
−
r
(ABC) ≡(Oxy)
và có vtpt
(0;0;1)
kr=
Gọi α là góc giữa (A’BI) và (ABC), suy ra:
,
10 10
n k cos cos n k
n k
r r
r r
r r
Vậy góc giữa (A’BI) và (ABC) với
30 10
cosα =
Bài 5:
(1;0), (0; 2) 1; 2 1 4 5
A B ⇒uuurAB= − ⇒AB= + =
và
( )2;1
nr=
là vtpt của AB
A H B ⇒
Ptđt AB:
2 x− + = ⇔1 y 0 2x y+ − =2 0
Do ABCD là hbh, mà I = AC∩BD⇒
I là chung điểm của AC và BD.
Mà
: ( ; )
I d y x∈ = ⇒I t t ⇒ C t(2 1; 2 )− t
và
(2 ; 2 2)
D t t−
5
ABCD
CH AB S CH AB CH
AB
Mà
[C AB, ]
CH =d
5 8 8 2
3 3 3 3
6 4 4
1;0 ; 0; 2
t
− = −
Bài 6:
: 4 2 0
BC d xP + y+ = ⇒
Ptđt BC:
x+ y c+ = (c≠2)
A d M(1;1) là t.điểm AC nên M cách đều d và BC
[M d, ] [M BC, ]
Trang 4H
1 4 2 1 4
1 16 1 16
c
Phương trình đường thẳng BC:
4 12 0
x+ y− =
AC đi qua M(1;1),
: 3 0 AC 1; 1
AC ⊥BH x y+ + = ⇒uuuur= −
Ptđt AC:
(x− − − = ⇔ − =1) (y 1) 0 x y 0
Tọa độ của A thỏa mãn hệ:
;
x y
x y
B BH= ∩BC⇒
Tọa độ của B thỏa mãn hệ:
8;5
B
C BC= ∩AC⇒
Tọa độ của B thỏa mãn hệ:
;
x y
x y
( ) (2 )2
( ) :C x +y +2x−4y−27 0= ⇔ x+1 + y−2 =32
⇒
(C) có tâm
( 1; 2)
I −
và bán kính R=4 2
Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (C)
A
IA⊥AE IB⊥BE AE ⊥BE IA IB R= = ⇒
IAEB là hình vuông
[ , ]
1
I AB
R
B E Gọi
( ),
nr= a b
là vtpt của đường thẳng AB, vì AB chứa điểm
nên ptđt AB có dạng:
a x− +b y+ = ⇔ax by+ + b a− =
4 2
I AB
b a
a b
−
+
( )
0;1 0
n a
=
=
r r
Ptđt cần tìm là:
2 0
4 3 10 0
y
x y
+ =
− − =
M −
Trang 5H D A’
E
C B’
B
Gọi M là t.điểm BC, ∆ABC đều cạnh a ⇒AM ⊥BC
,
3 2
a
AM =
và
2 3 2
ABC
a
S =
O là trọng tâm ∆ABC ⇒ ∈O AM
và
2
a
AO= AM =
Trong (A’AO) kẻ MH ⊥AA'
(1)
' Mà
A O ABC A O BC
BC A AM BC MH
AM BC
(2)
Từ (1) và (2)
[ , ' ]
30
BC AA
AM
hay
' 30
A AO
' ' '
Hình thang
AA BC AA MH AA BHC
BCDE
D HC A C E HB A B
là thiết diện cần tìm 2
BHC
S = HM BC= × =a
;
DHE
BHC
Bài 9: A d:
3 4 0
x+ y− =
Gọi d là đ.thẳng chứa đường cao kẻ từ B, ∆ là đ.thẳng chứa p.giác trong kẻ từ A của ∆ABC.
N Qua điểm M(0;2) kẻ đường thẳng v.góc với ∆ tại I và cắt AC tại N.
Ptđt MN:
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình:
Trang 6B C
3;3 6; 4
∆
3x y+ − =12 0
AC chứa N và v.góc với d:
3 4 0
x+ y− = ⇒
Pt đường thẳng AC là:
3 x− − − = ⇔6 y 4 0 3x y− − =14 0
⇒
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ:
13
3
1
x y
y
uuur
là vtcp của AB
(9;13)
n
⇒ =r
là vtpt của đ.thẳng AB ⇒
Ptđt AB:
9x+13 y− = ⇔2 0 9x+13y−26 0=
⇒
Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ:
x y
x y
( )
6 6; 4 6
;
t
= ⇒
=
Do B, C nằm hai phía khác nhau của ∆ nên loại trường hợp
18 16
;
5 5
C −
, ta tìm được
( )6; 4
C
D
Câu 10:
Mà
AD ABC AD BH
BH CD
CD BH
, mà
BK ⊥CD⇒CD⊥ BHK ⇒CD⊥BE
AH = AB cos. 60° =a
K ∆AHE ~ ∆ADC ⇒
AH AE AH AC a a a
AE
AD = AC ⇒ = AD = a =
V =V +V = AD S + AE S
A H C
3 2 3
AD AE S a a
E
B
Câu 11:
C x + y − x− y− = ⇔ x− + y− =
Trang 7( )C có tâm 4;2I( )
⇒
và bán kính R=6
( 1;0 ,) ( )4; 2 ( )5; 2 52 22 29
E − I ⇒EIuur= ⇒EI = + = <R⇒
điểm E nằm trong (C)
min
MN MN IE MN
đi qua
( 1;0)
E −
và nhận
( )5; 2
EI =
uur
làm vtpt
M N ⇒
Ptđt cần tìm là:
5 x+ +1 2 y− = ⇔0 0 5x+25 5 0+ =
Câu 12:
y I là tâm hcn ABCD, M là t.điểm AD ⇒
I là t.điểm của AC và BD,
AD⊥IM AB= IM
I = ∩ ⇒d d
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:
x y
x y
− − =
1
M = ∩d Ox⇒
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:
( )
3;0
M
O A M I
ABCD
S
AB
D Ptđt AM:
(x− + − = ⇔ + − = ⇒3) ( y 0) 0 x y 3 0 A t( ;3− ⇒t) uuuurAM = −(3 t t; −3)
( ) (2 )2 4 ( ( )4; 1) ( ( ) ( ) ( )2;1 ;) ( ) ( )7; 2 ; 5; 4
2 2;1 4; 1 ; 7; 2 ; 5; 4
t
− ⇒
=
Câu 13: Trong ∆ABC kẻ AH ⊥BC
, mà
SA⊥ ABC ⇒SA⊥BC
S
BC SAH
Góc giữa (SBC) và (ABC) là ∠SHA= °60
2
.sin 2 sin120
ABC
a
S = AB AC ∠BAC= a a ° =
2
BC =AB +AC − AB AC cos BAC∠
I 2
.tan 60
ABC
BC a
.
V = SA S = × × =
H
Dựng hbh ABDC
AC BD AC SBD
B K D
Trang 8[SB AC, ] AC SBD, ( ) A SBD, ( )
d d d
Trong mặt phẳng (ABDC) kẻ AK ⊥BD
, mà
SA⊥BD⇒BD⊥ SAK
Trong ∆SAK kẻ
( )1
AI ⊥SK
Ta lại có:
BD⊥ SAK ⇒BD⊥ AI
Từ (1) và (2)
( ) [SB AC, ] A SBD, ( )
AI SBC d d AI
[ , ]
.sin sin 60
Câu 14: Gọi N là trung điểm AC ⇒
MN là đường trung bình của ∆ABC A
MN BC MN AH x y MN x y m
−
P
( ;3 5)
A AH∈ ⇒A t t+
, mà M là trung điểm AB
(1 ;3 3 )
B t t
N MN∈ ⇒N − n n⇒MN = − n + −n = BC=
2
9
2
4
7
2; 4 ; 2 3 thoa man
n n
(1 2 ; 2 6 ;) ( 6;3 3)
AB= − t − − t CH = −t t−
H là trực tâm ∆ABC
⇒ ⊥ ⇔uuur uuur=
0 0;5 , 1;3 , 4; 2
= ⇒
Câu 15: (C1):
( ) (2 )2
x− + +y = ⇒
(C1) có tâm
1 1; 2
I −
và bk
R =
(C2): ( ) (2 )2
x+ + +y = ⇒
(C2) có tâm
2 1; 3
I − −
và bk
2 3
R =
Đặt
[ 2 ]
2
;
1
5 4
I
h d= ∆ = R − AB =
, mà ∆ tiếp xúc với (C1) nên
[I1 ; ] 1 5
d ∆ =R = ⇒I I1 2P∆
( )
2 1 2;1
I I
⇒ uuur=
là VPCP của ∆
(1; 2)
n
là VTPT của ∆ ⇒
Ptđt ∆:
x− y m+ =
Trang 9[ 1 ; ]
5
5
I
m
∆
Câu 17:
Câu 16:
Trang 10Câu 18:
∆ABC vuông tại A ⇒
Đường tròn ngoại tiếp ∆ này có tâm
( I; I)
I x y
là t.điểm BC y
và bán kính
1
5 2
R IA IB IC= = = = BC=
d’
: 2 1 0
d x− y− =
và
' : 2 21 0
d x− y+ = ⇒d dP '
B d C d∈ ∈
, mà I là t.điểm BC ⇒
I cách đều d và d’ C
(1)
Mà
Từ (1) và (2)
2y I 13 y I 4 25 y I 12y I 32 0
B x
( )
2; 4
I
−
d
Trang 11Có 2 đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài:
là h.vuông
SA ABCD SA BC
BC SAB
⇒
Góc giữa SC và
(SAB)
là ∠BSC= °30
BC⊥ SAB ⇒BC⊥SB⇒SB BC= ° =a
SA⊥ AB⇒SA =SB −AB = a −a = a ⇒SA a=
3 2
.
a
V = SA S = a × =a
A D F
Dựng hình bình hành BECF
DE CF
DE SCF d d
H 3
DF =EC = ⇒ AF =AD DF+ =
B E C
CF =CD +DF =a + = ⇒CF =
Trong (ABCF) kẻ
,
AH ⊥CF
mà
SA CF⊥ ⇒CF ⊥ SAH ⇒CF ⊥SH
:
SA⊥ AH ⇒SH = SA +AH = a + = ⇒S = SH CF = × × =
.
S = CD DF= a× = ⇒V = SA S = a × =
( ) ( )
3
3
S CDF
CDF
Câu 20: Gọi N’ là điểm đối xứng của N(0;7) qua I(2;1) ⇒
N’(4;-5)∈AB
16 4
MN
uuuur
là VTCP của đường thẳng AB N’
Trang 12( )4;3
n
⇒ =r
là VTPT của đường thẳng AB
⇒
Ptđt AB:
4 x− +4 3 y+ = ⇔5 0 4x+3y− =1 0
⇒
Khoảng cách từ I đến AB là:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
+
VìAC=2BD⇒AI =2 BI
Đặt BI = ⇒x AI =2x
∆ABI vuông tại I
B∈ đường tròn ( )I; 5
⇒
Điểm B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn( )I; 5 ⇒
Tọa độ của B là nghiệm của hệ:
2
1 4
3
1
x
y
−
Câu 21:
( )
1 :3 4 1 0 3; 4
AB x+ y+ = ⇒ =nur
là VTPT của đường thẳng AB B C
2
BD x y− − = ⇒nuur= −
là VTPT của đường thẳng BD
B=AB∩BD⇒
Tọa độ của B là nghiệm của hệ:
1; 1
B
A D
1 2
2
5 5
n n
n n
−
ur uur
ur uur
ur uur
A AB∈ ⇒ A t − − ⇒AB= t− +− + = t− ⇒AD AB= ∠ABD= t−
7
ABCD
A t
−
=
( )
1 3; 4
AD⊥ AB⇒ =nur
là VTCP của đường thẳng AD
3 4; 3
n
là VTPT của đường thẳng AD
Gọi I =AC∩BD⇒
I là trung điểm của AC và BD
Trang 13* Trường hợp 1:
(9; 7)
A − ⇒
Ptđt AD:
4 x− −9 3 y+ = ⇔7 0 4x−3y−57 0=
D AD= ∩BD⇒
Tọa độ của D là nghiệm của hệ:
24; 51
D
I là trung điểm của AC và BD, mà
(9; 7)
A −
,
(1; 1)
B −
,
( 24; 51)
D − − 23; 26 ( 32; 45)
2
* Trường hợp 2:
( 7;5)
A −
, giải tương tự như trường hợp 1
(26; 49 ,) (34;43)
Câu 22:
SB⊥ ABC ⇒SB⊥AB SB⊥ AC SB⊥BC
S
ABC
∆
vuông cân tại A, có 2
a
BC a= ⇒ AB AC= =
SBC
∆
vuông ở B, N là t.điểm SC
a
BN SC SB BC
N
,
SB⊥ AC AB⊥AC⇒ AC⊥ SAB ⇒AC⊥SA
SAC
∆
vuông ở A, N là t.điểm SC
a
AN SC
ABN
⇒ ∆
cân tại N, mà M là trung điểm AB
MN AB
B I C
4 4
a a
M D P
Gọi P là t.điểm AC ⇒
MP là đường trung bình của ∆ABC
A
MP BC BC MNP d d
Gọi I là t.điểm BC⇒
AI cắt MP tại t.điểm D của mối đường
a
ID AI BC
ABC
∆
vuông cân tại A⇒ AI⊥BC⇒AI ⊥MP
NI là đường trung bình của ∆SBC
1
, 2
NI SB a NI SB
, mà
SB⊥ ABC ⇒NI ⊥ ABC
NI MP
, mà
AI ⊥MP⇒MP⊥ AIN
hay
MP⊥ DIN
Trang 14Trong ∆DIN
kẻ IH ⊥DN
(1) Ta lại có
MP⊥ DIN ⇒MP⊥IH
(2)
Từ (1) và (2)
IH MNP d d d IH
DIN
∆
vuông ở I
[ , ]
17
BC MN
a
IH NI DI a a a
Do (E):
1
25 9
x + y =
nhận Ox làm trục đối xứng, mà
AB OyP
A và B đối xứng nhau qua Ox
A∪ E ⇔ + = ⇔ + = ⇔ x = ⇔ x = ±
B
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài là:
5 5 3
A
x =
và
5 5 3
A
x = −
