CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN: XÁC ĐỊNH CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG, THÁI ĐỘ của chuyên đề theo chương trình hiện hành trên quan điểm định hướng phát triển năng lực của học sinh. 1. Về kiến thức: Nhận biết được c«ng thøc vÒ täa ®é cña ®iÓm; biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ, của tích vô hướng và các ứng dụng. Biết PTTQ của mặt phẳng; phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng. 2. Về kỹ năng: Nhận dạng được phương trình tổng quát của mặt phẳng, đường thẳng trong không gian. Viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng; phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng. Giải các bài toán tìm tọa độ điểm trong không gian. 2. Về thái độ: Có tinh thần hợp tác trong quá trình học. Tích cực, chủ động trả lời câu hỏi và làm bài tập. B. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Trang 1CHUYấN ĐỀ : HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN
A LỰA CHỌN CHUYấN ĐỀ:
VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG, XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRONG KHễNG GIAN:
XÁC ĐỊNH CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG, THÁI ĐỘ của chuyờn đề theo chương trỡnh hiện hành trờn quan điểm định hướng phỏt triển năng lựccủa học sinh
1 Về kiến thức:
- Nhận biết được công thức về tọa độ của điểm; biểu thức tọa độ của cỏc phộp toỏn vec tơ, của tớch vụ hướng và cỏc ứng dụng
- Biết PTTQ của mặt phẳng; phương trỡnh tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng
2 Về kỹ năng:
- Nhận dạng được phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng, đường thẳng trong khụng gian
- Viết được phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng; phương trỡnh tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng
- Giải cỏc bài toỏn tỡm tọa độ điểm trong khụng gian
2 Về thỏi độ:
- Cú tinh thần hợp tỏc trong quỏ trỡnh học
- Tớch cực, chủ động trả lời cõu hỏi và làm bài tập
B KIẾN THỨC CĂN BẢN
1 Tọa độ của vộc tơ và tọa độ của điểm
Vộc tơ ur=( ; ; )x y z ⇔ = +u xi y j zkr r r+ r
Điểm M =( ; ; )x y z ⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r
Trang 23 Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ' ' ')
ur= x y z vr= x y z
3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số: u vr r = u vr r .cos ,( )u vr r
Trang 3 Góc giữa hai véc tơ:
3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau
o Diện tích hình bình hành: S ABCD = uuur uuurAB AD, ( )∗
o Diện tích tam giác:
Trang 4
4 Phương trình mặt cầu
Dạng 1: ( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.
Dạng 2: x2+y2+ −z2 2Ax−2By−2Cz D+ =0 (2) , với điều kiện A2+B2+C2− >D 0là
Phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính R= A2+B2+C2−D.
Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là VTCP của đường thẳng ∆.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z và có VTCP o( ; ; )0 0 0 ur=(a b c; ; ), khi đó
+ Phương trình tham số là:
0 0 0
Trang 5Cho đường thẳng // : Ax By Cz D+ + + =0, M x y z là một điểm thuộc 0( ; ; )0 0 0 ∆
Cho hai mặt phẳng song song ( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và ( ) ' ' ' '
:A x B y C z D 0
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ' 0 ' 0 ' 0 '
7.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M x( M;y M;z M) đến đường thẳng
7.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur =( ; ; )a b c
Đường thẳng ∆' đi qua điểm M x y z và có 0'( ;'0 '0; '0) ' ' ' '
( ; ; )
VTCP uur= a b c thì
Trang 6u u M M d
urr
Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trênđường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là
+ ( )α và ( )β cắt nhau ⇔ ≠n knr ur' ⇔(A B C: : ) ≠k A B C( ': ': ')
+ ( )α và ( )β vuông góc với nhau n nr.ur'= ⇔0 AA'+BB CC'+ '=0
8.2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
' ' ' 0
' ' ' 0
Trang 7, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
' '
, hay u kur = ur'và hệ (I) vô nghiệm.
+ ∆ và ∆' cắt nhau ⇔ hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ( ' ' ')
8.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
+ ∆P( )α ⇔
phương trình (*) vô nghiệm (u nr r =0,M0∉( )α )
+ ∆ ⊂( )α ⇔ phương trình (*) có vô số nghiệm (u nr r =0,M0∈( )α )
+ ∆ và ( )α cắt nhau tại một điểm ⇔phương trình (*) có nghiệm duy nhất (u nr r ≠0)
Lưu ý: ∆ ⊥( )α ⇔ =u knr r
8.4 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và mặt cầu ( ) :S ( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R
Trang 8+ Nếu d > ⇒R ( )α và (S) không giao nhau.
+ Nếu d = ⇒R ( )α và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H (( )α gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)).
+ Nếu d < ⇒R ( )α và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính
2 2
r= R −d và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên ( )α .
Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C) ta làm như sau
- Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và vuông góc với ( )α .
- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của ∆ và phương trình ( )α .
8.5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng thẳng
0 0 0:
, trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 ∈∆,ur =( ; ; )a b c là VTCP của ∆
+ Nếu d > ⇒R ∆ và (S) không có điểm chung
+ Nếu d = ⇒R ∆ tiếp xúc với (S) (∆ là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d < ⇒R ∆ cắt (S) tai hai điểm A, B (∆ gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
8.6 Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu
Cho điểm M x y z và mặt cầu (S):( ; ; )0 0 0 ( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + −y b + −z c =R ,tâm I a b c b( ; ; , án kính R) thì ( ) (2 ) (2 )2
MI = a x− + −b y + −c z + Nếu MI >R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)
+ Nếu MI =R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)
+ Nếu MI <R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)
Trang 99 Góc giữa hai đường thẳng
Nếu đường thẳng ∆ có VTCP ur =( ; ; )a b c và đường thẳng ∆' có VTCP ur=( ; ; )a b c' ' ' thì
2 2 2 '2 '2 '2 '
+ tọa độ của một điểm + tọa độ của một vec tơ
- Hiểu được cách tìm tọa độ của tổng, hiệu hai vec
tơ, tích của vec tơ với một số
- Tính được tọa độ của tổng, hiệu hai vec tơ, tích của vec tơ với một số
- Tính được tích vô hướng của hai vec tơ
- Tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa
độ cho trước
- Tìm tọa độ của vec tơ và các yếu tố liên quan thỏa mãn điều kiện cho trước
- Chứng minh các hệ thức vec tơ
Trang 10- Biết biểu thức của tích
vô hướng của hai vec tơ
và công thức tính độ dàivec tơ, góc giữa hai vec
tơ, khoảng cách giữa hai điểm
- Biết phương trình mặt cầu
- Hiểu biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vec
tơ và các ứng dụng
- Hiểu cách tìm tọa
độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước
- Hiểu các yếu tố cần thiết để viết phương trình mặt cầu
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước
- Viết được phương trình mặt câu
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vec
tơ Tìm tọa độ các véc tơ:
)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vec
tơ Nêu biểu thức tọa
độ của tích vô hướng
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vec
tơ Hai véc tơ bằng nhau khi nào? Hai véc
tơ cùng phương khi nào?
Bài 4: Nêu các dạng phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) và bán kính r?
không gian Oxyz cho ba vec tơ
Tìm tọa độ các véc tơ:
BÀI 2: Trong không gian Oxyz, tính tích vô hướng trong các trường hợp:
(0;;)
Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong
mỗi trường hợp sau:
Bài 2: Trong không gian cho ba điểm
a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác
ABC.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình
mặt cầu trong các trường hợp sau:
Bài 4: Trong không gian cho ba điểm
Bài 1: Cho hình tứ diện
ABCD Chứng minh rằng:
Bài 2: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trêm mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Bài 3: Trong không gian cho 3vec tơ tùy ý
Gọi ;Chứng tỏ rằng ba vec tơ
Trang 11Bài 3: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu
có phương trình sau:
.a) Tính tích vô hướng b) Tìm côsin của góc
phẳng khi biết tọa độ
hai vec tơ không cùng
phương có giá song
song hoặc nằm trong
- Hiểu các yếu tố
để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Hiểu điều kiện để hai mặt phẳng songsong, hai mặt phẳng vuông góc
- Hiểu cách tính khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng
- Viết được phương trình mặt phẳng khi biết:
+ Nó đi qua một điểm và nhận vec tơ làm vec tơ pháp tuyến
+ Đi qua một điểm và song song với giá của hai vec
tơ + Đi qua 3 điểm
+ Đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng+ Đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng+ Đi qua một điểm và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
- Viết được phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
- Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
- Xác định phương trình mặt phẳng, tọa độ điểm trong các trường hợp phức tạp
- Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc
Bài 1:Nêu khái niệm
vec tơ pháp tuyến của
mặt phẳng
BÀI 1: Tìm tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và 1 vec
1 Bài tập áp dụng:
1.1 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
Bài 1: Cho điểm A(2;3;4)
Hãy viết phương trình của mặt phẳng đi qua các hình chiếu
Trang 12nó song song với giá của hai vec tơ BÀI 3: Cho hai điểm
Tính khoảng cách
từ A, B đến mặt phẳng
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn:
a, Đi qua và song song với giá của hai vectơ b,Điquabađiểm
Bài 2: Trong không gian , cho Viết phương trình
mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a, là mặt phẳng trung trực của đoạn
b, đi qua và song song với mp
c, đi qua và vuông góc với mp, với O là gốc tọa độ.
Bài 3: Viết phương trình mp trong mỗi trường hợp
sau:
a, chứa 0y và đi qua
b, đi qua ba điểm lần lượt nằm trên các trục tọa độ
0xyz sao cho là trực tâm tam giác
Bài 4: Trong không gian , cho và các mặt phẳng
Viết phương tình mặt phẳng (P) trong mỗi trường
hợp sau:
a, Qua ba điểm
b, Qua A, B và chứa giao tuyến của và
Bài 5: Viết phương trình mp trong mỗi trường hợp
sau:
a, đi qua và vuông góc với mp
b, đi qua song song với trục 0x và vuông góc vớimp
c, đi qua đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
1.2 Dạng 2: Khoảng cách
Bài 1: Trong hệ 0xyz cho A(1; -1; 2), B(3; 4; 1) và
hai mặt phẳng
a, Tính khoảng cách từ A, B tới mp
b, Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
của điểm A trên các trục tọa độ
Bài 2: Lập PT của mặt phẳng
đi qua điểm M(1;2;3) và cắt 3
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 3: Xác định giá trị của m
để cặp mặt phẳng sau đây vuông góc:
Bài 4: Xác định giá trị của m
và n để cặp mặt phẳng sau đây
song song:
Trang 13c, Tìm điểm thuộc 0x và cách đều hai mặt phẳng
d, Tìm điểm thuộc 0x và cách đều điểm A và mặt
phẳng
Bài 2: Trong hệ 0xyz cho và hai điểm
a, Tìm tọa độ điểm là hình chiếu của trên mp
b, Tìm tọa độ M thuộc sao cho MA = MB và khoảng cách từ M đến mp(0zx) bằng 1.
Bài 3: Tìm tập hợp các điểm trong không gian 0xyz
cách đều hai mặt phẳng ( P), (Q) trong mỗi trường
a, song song với và tiếp xúc với với ;
b, đi qua hai điểm và tiếp xúc với
2 Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1),
C(2; 1; -1), D(3; 2;1).
a, Viết phương trình các mặt của tứ diện;
b, Viết phương trình mp đi qua AB và song song với
Trang 14
b, chứa và đi qua điểm ;c,( đi qua lần lượt là hình chiếu vuông góc của lêncác trục
Bài 3: Trong không gian cho phương trình hai mặt
phẳng: Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyếncủa , và thỏa mãn điều kiện:
a, Song song với trục
b, Cắt các trục tại sao cho là trọng tâm tam giác
c, Cắt các trục sao cho tứ diện có thể tích bé nhất
Bài 5: Cho hai điểm và mp
a, Tính khoảng cách từ đến mp
b, Tìm điểm cách đều
c, Viết phương trình mp biết song song với mp
Bài 6: Cho Tìm để mp hợp với mp một góc bằng Bài 7: Lập mp chứa với và tiếp xúc với mặt cầu Bài 8: Trong không gian , cho mp và mặt cầu Chứng
minh rằng cắt Tính bán kính và xác định tọa độ làtâm đường tròn thiết diện
Bài 9: Cho mặt cầu Lập phương trình mp thỏa mãn
điều kiện:
a, tiếp xúc tại
b, tiếp xúc với và song song
Bài 10: Trong không gian , cho A(-1;2;3), B(2;-4;3),
Trang 15a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ làm
vectơ pháp tuyếnb) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ
có giá song song hoặt nằm trong mp đó là
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB;
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC;
e) Viết phương trình mp (ABC).
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng trong các
trường hợp sau:
a) Đi qua điểm và nhận làm vec tơ pháp tuyến
b) Đi qua và song song với giá của hai vec tơ c) Đi qua ba điểm
d) Đi qua và song song với mặt phẳng có PT:
e) Đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
Bài 12: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB với
Bài 13: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng
cho bởi phương trình tổng quát sau:
Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song cho bởi phương trình sau:
Trang 16+ Biết điều kiện để hai đường thẳng song song,trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau trong không gian.
+ Biết điều kiện để một đường thẳng song song,cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng
+) Hiểu và phân biệt những yếu tố cần thiết để viết phương trình tham
số, pt chính tắc, chuyển đổi giữa haidạng phương trình+ Hiểu điều kiện đểhai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau trong không gian
+ Hiểu điều kiện đểmột đường thẳng song song, cắt hoặcvuông góc với mặt phẳng
- Viết PT tham số, PT chính tắc của đường thẳng trong các trường hợp:
+ Đi qua một điểm và có vec tơ chỉ phương + Đi qua hai điểm
+ Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng
+ Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng
+ Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
- Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian
- Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Tính khoảng cách trong các trường hợp:
+ từ điểm đến đường thẳng+ Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng
+ Giữa hai đường thẳng chéo nhau
Các bài toàn liên quan giữađường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và mặt phẳng, mặtphẳng và mặt phẳng, các bàitoán liên quan đến khoảngcách,mặt cầu , trong các đềthi
Bài 1: Nêu dạng phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian
Bài 2: Nêu điều kiện đểhai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau trong không gian
Bài 3: Nêu vị trí tương đối giữa đường thẳng
và mặt phẳng trong không gian
đường thẳng d có phương trình tham
số Hãy tìm tọa độ mộtđiểm M trên d và 1 vec tơ chỉ phương của d
I BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Bài 1: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn:
a, đi qua và có vectơ chỉ phương
b, đi qua hai điểm
c, đi qua giao tuyến của hai mp
Bài 2: Trong không gian cho mp và có phương
Bài 3: Viết phương trình trong các trường hợp sau:
Bài 1: Trong không gian với hệ
cho mặt phẳng và đường thẳngTìm tọa độ giao điểm của và Tìm tọa độ của điểm sao chokhoảng cách từ đến mặt phẳngbằng
Bài 2: Trong không gian với hệ
cho điểm và mặt phẳng Hãyviết phương trình mặt cầu mặtphẳng có tâm sao cho giaotuyến của mặt cầu và mặtphẳng là một đường tròn cóchu vi bằng
Bài 3: Trong không gian với hệ
Trang 17Bài 4: Nêu điều kiện
a, Đi qua và vuông góc với mặt phẳng
b, Đi qua và vuông góc với hai đường thẳng :
Dạng 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1 :Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng
sau:
a) ; b) d c) d;
d)
Bài 2:Xét vị trí tương đối của t đường thẳng d và mặt
phẳng trong các trường hợp sau:
a)b)c)
cho hai điểm và mặt phẳng Viets phương trình mặt phẳngtrung trực của đoạn thẳng vàtìm điểm trên mặt phẳng saocho
Bài 4: Trong không gian với
hệ cho điểm và đường thẳng
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua và vuông góc vớiđường thẳng Tìm điểm thuộcsao cho cách một khoảngbằng 5
Bài 5: Trong không gian với
hệ cho mặt cầu Lập phươngtrình mặt phẳng chứa trục vàcắt mặt cầu theo một đườngtròn có bán kính
Bài 6: Trong không gian với hệ
cho các điểm
và đường thẳng : Tìm điểmthuộc sao cho thể tích khối tứdiệm bằng 3
Bài 7: Trong không gian với hệ
cho điểm và mặt phẳng Tìmtọa độ điểm là hình chiếuvuông góc của trên mặt phẳngViết phương trình mặt cầu códiện tích 784 và tiếp xúc vớimặt phẳng tại sao cho điểmnằm trong mặt cầu
Bài 8: Trong không gian với hệ
cho điểm và đường thẳng .