Lập PT tổng quát của mpABC và tính diện tích của tam giác ABC... CMR ABCD là hình tứ diện và có hai cặp cạnh đối bằng nhau b.. Trong tứ diện này, trọng tâm trùng với tâm mặt cầu ngoại t
Trang 1Hình giải tích trong không gian
1.[ĐHTCKTHN_95] Xác định l và m để mặt phẳng (P): 5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng a(3x – 7y + z - 3) + b(x – 9y – 2z + 5) = 0 → l = -15, m = -11
2.[ĐHSPHN2_00] Cho điểm A(1; -1; 1) và hai đờng thẳng
(d1):
−
=
−
−
=
=
t z
t y
t x
3
2
1 (d2):
= +
−
= +
− +
0 1 2
0 3 3
y x
z y x
CMR (d1), (d2) và A cùng thuộc một mặt phẳng
→ Xây dựng mp (P) qua (d2) và A, c/m (d1) ⊂ (P) 3.[ĐHNNI_95] Lập PT mp chứa đờng thẳng
=
− +
−
=
−
0 3 2
3
0 2
z y x
z x
và vuông góc với mp (P): x - 2y + z + 5 = 0 → 11x - 2y -15z – 3 = 0
4.[ĐHKT_96] Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b , c > 0 Lập PT tổng quát của mp(ABC) và tính diện tích của tam giác ABC → S = a2b2 +b2c2 +c2a2 /2
5.[ĐHNNI_96] Lập PT mp(P) chứa đờng thẳng (d1) và song song với (d2)
(d1):
=
− +
−
=
−
0 3 2
3
0 2
z y x
z x
(d2): 11 23= 1+5
−
−
=
x
→ 11x – 2y -15z – 3 = 0 6.[ĐHKTHN_97] Viết PT mp (P) đi qua A(1; 2; 1) và chứa đờng thẳng (d):
1
3 4
1 3
+
=
−
x
→ 15x – 11y – z + 8 = 0 7.[ĐH Nông Lâm_94] CMR hai đờng thẳng sau vuông góc với nhau
(d1):
3 2
1 1
z y
x
=
−
−
= (d2):
= +
− +
= +
− +
0 1 8 3 2
0 1 5 3
z y x
z y x
8.[ĐHKT TPHCM_94] Lập PT đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng
(d1):
1
9 2
3 1
7
−
−
=
−
=
x
(d1):
3
1 2
1 7
3= − = −
−
x
→ x2−7= y1−3= z−49 9.[ĐH Nông Lâm TPHCM_95] Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng
(d1): x = 1 – t, y = t, z = -t và (d2): x = 2t, y = 1 – t, z = t → 2/2
10.[ĐH Ngoại Ngữ_96] Viết PT đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau
(d1): x = -7 + 3t, y = 4 – 2t, z = 4 + 3t và (d2): x = 1 + t, y = -9 + 2t, z = -12 – t
→ −1117x x−−218y y++75z z+−5567==00 11.[ĐH Thăng Long_A96] Cho hai đờng thẳng (d1): x = -y + 1 = z – 1 và (d2): -x + 1 = y - 1=z Tìm toạ độ điểm A thuộc (d1) và B thuộc (d2) để đờng thẳng AB vuông góc với (d1) và (d2)
→ A(-1/4; 5/4; 3/4), B(1/4; 7/4; 3/4) 12.[ĐH Huế_97] Cho hai đờng thẳng (d1):
=
− +
=
− + +
0 1
0 3
z y
z y x
và (d2):
= +
−
= +
−
−
0 1
0 9 2 2
z y
z y x
Chứng tỏ (d1) vuông góc với (d2) và viết PT đờng vuông góc chung của chúng
→ 4x y+−y z++z1−=90=0 13.[HVKTQS-98] Viết PT tham số đờng vuông góc chung của AC và BD biết A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1) → x = 45/17+ t, y = 45/17 – t,z =1+ 7t
1
Trang 214.[ĐHSP TPHCM_94] Xác định hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên mp(P), biết rằng (d):
=
− + +
=
− +
−
0 4 3
2
0 5
z y x
z y x
(P): 3x – 2y – z + 15 = 0 → 93x x+−112y y+−5z z+−1521==00 15.[HVCNBCVT_00] Viết PT hình chiếu của (d2) theo phơng (d1) lên mp(P), biết rằng
(d2):
1
9 2
3 1
7
−
−
=
−
=
x
, (d1):
3
1 2
1 7
3= − = −
−
x
, (P): x + y + z + 3 = 0
→ 2x x++y y++4z z+−353==00 16.[ĐHSP Hải Phòng_01] Viết PT hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d):
1
2 2
1
−
=
x
trên mp(Oxy)→ Tách một mp đi qua (d) không chứa z, Đ/S 2x+z y=+04=0
17.[ĐH Mỏ_94] Lập PT đờng thẳng đi qua M(-4; -5; 3) cắt (d1) và (d2), trong đó
(d1):
1
2 2
3 3
1
−
−
=
−
+
=
x
, (d2):
5
1 3
1 2
2
−
−
=
+
=
x
→
= + + +
−
=
− +
0 22 5 13 7
0 5 3
z y x
z x
18.[ĐHKTQD_95] Lập PT đờng thẳng đi qua A(-1; 2; -3), vuông góc với →
n = (6; -2; -3) và cắt đ-ờng thẳng (d):
5
3 2
1 3
1
−
−
=
+
=
x
→ 21 32= 6+3
−
−
=
x
19.[ĐHTL_97] Viết PT đờng thẳng đi qua A(3; -2; -4) song song với mp(P): 3x – 2y – 3z – 7=0 đồng thời cắt đờng thẳng (d):
2
1 2
4 3
−
+
=
x
→ 63x x+−172y y−+38z z−+2548==00 20.[ĐHTL_98] Cho mp(P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đờng thẳng (d):
= + + +
=
− +
−
0 48 8 17 6
0 27 4 3
z y x
z y x
a Xác định giao điểm A của (d) và (P) → A(2; -5; 4)
b Viết PT đờng thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P)
→ −112x x++275y y++z15+z17+=970=0 21.[ĐHXD_98] Viết PT đờng thẳng (d) vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 và cắt cả hai đờng
thẳng (d1):
1 1
1 2
−
+
=
− , (d2):
= + +
−
=
− +
−
0 1 2 2
0 4 2
z y x
z y x
→
=
− +
−
=
−
− +
0 4 2
0 1 3 2
z y x
z y x
22.[ĐHTCKT TPHCM_95] CMR đờng thẳng (d):
=
−
−
−
=
− +
−
0 1 2
0 5 2 3 5
z y x
z y x
nằm trong mp(P): 4x – 3y + 7z – 7 = 0
23.[ĐHDL Phơng Đông_A00] Cho đờng thẳng (d): 31 2= 1+1
−
=
x
và hai điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 1) Kẻ AA’, BB’ vuông góc với đờng thẳng (d).Tính độ dài đoạn A’B’
→ 11/ 14
24.[ĐHLHN_96] Tính chiều dài đờng cao hạ từ đỉnh D(4; -1; 0) của tứ diện ABCD biết A(1; 1; 1), B(-2; 0; 2), C(0; 1; -3) → 39/ 186
25.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2; 2; 4), A(-2; 2; 0), B(-5; 2; 0), C(-2; 1; 1) Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và BC → 3/ 10
26.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho hai đờng thẳng song song (d1):
4
9 1
5 3
−
−
=
x
và (d2): 4
18 1
4
3
+
=
−
+
x
Trang 3a Viết PT mp(P) chứa (d1) cà (d2) → 63x + 109y -20z + 76 = 0
b Tính khoảnh cách giữa (d1) và (d2) → 25
27.[ĐH Kiến Trúc HN_97] Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 1) đến đờng thẳng (d):
3 4
1
3 = y− =z+
x
→ 347/26 28.[ĐHNT_96] Tìm điểm A thuộc mặt cầu (V): x2 + y2 + z2 -2x + 2z – 2 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến mp(P): 2x – 2y + z + 6 = 0 đạt GTNN, GTLN
→ A1(-1/3; 4/3; -5/3), dmin = 1/3, A2(7/3; -4/3; -1/3), dmax = 13/3(HD: Xây dung đờng thẳng đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mp(P), cắt mặt cầu tại A1 và A2 )
29.[ĐHTH TPHCM_94] Cho đờng thẳng (d):
=
−
−
= +
−
0 sin cos
0 cos sin
α α
α α
z y
z x
a Xác định vectơ chỉ phơng của (d) → →u = (sin α , cos α , 1 )
b CMR đờng thẳng (d) tạo với trục Oz một góc không phụ thuộc α → cos((d); Oz) = 1/ 2
30.[ĐEHY_D TPHCM_94] Xác định góc nhọn ϕ tạo bởi đơng thẳng (d) và mp(P), biết rằng (d):
=
− +
= +
− +
0 2 7 3
0 7 2 4
z y x
z y
x
(P): 3x + y – z + 1 = 0 → sinϕ = 19 7/77 31.[ĐHNT TPHCM_94] Lập PT mp chứa đờng thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng (d):
=
−
−
=
− +
−
0 2
0 30 8 11
8
z y x
z y x
(S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z – 15 = 0 → (P1): 3x - 4y + 2z – 10 = 0, (P2): 2x - 3y + 4z – 10 = 0 32.[HVQY_95] Lập PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và song song với hai đờng thẳng (d1):
2
13 3
1 2
−
−
=
x
, (d2):
0
8 2
1 3
−
+
=
x
→ (P1): 4x + 6y + 5z – 103 = 0, (P2): 4x + 6y + 5z + 205 = 0 33.[ĐHSP Vinh_A99] Cho điểm I(1; 2; -2) và mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0
a.Lập PT mặt cầu (S) tâm I sao cho giao điểm của (S) và (P) là đờng tròn có chu vi bằng 8π → (S):(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25
b CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với đờng thẳng (∆): 2x – 2 = y + 3 = z
→ Viết (∆) dới dạng tham số rồi thay vào PT của mặt cầu (S) dẫn tới PT có một nghiệm kép 34.[ĐHTL_00] Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4 và mp(P): x + z = 2 CMR (P) cắt (S).Xác định toạ độ tâm và bán kính đờng tròn giao tuyến (C) của (P) và (S)
→ (C) có tâm I(1;0;1),bán kính r = 2
35.[ĐH Kiến Trúc_94] Cho hai mp (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đờng thẳng (d):
= + +
−
=
− +
−
0 3
0 3 2
z y x
z y x
Lập PT mặt cầu có tâm I = (d) ∩ (P) sao cho (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20π → (x - 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 110/3
36.[ĐHL_95] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đờng thẳng (∆): 32= 2−1= 2−1
−
x
và tiếp xúc với hai mp (P): x + 2y – 2z – 2 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0
→ Do (P) song song với (Q) nên tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A và B là giao
điểm của (∆) với (P) và (Q) → (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 3)2 = 1 37.[ĐHAN_98] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P1) và (P2), biết (d):
=
− +
−
= + + +
0 1
0 1
z y x
z y x
, (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0, (P2): x + 2y + 2z + 7 = 0
3
Trang 4→ (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 4/9 38.[ĐH Thái Nguyên_01] Cho bốn điểm A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2)
a CMR ABCD là hình tứ diện và có hai cặp cạnh đối bằng nhau
b Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CD → d = EF = 4, với E, F là trung điểm AB, CD
c Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD → x2 + (y – 4)2 + (z – 1/2) = 29/4
Chú ý: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau đợc gọi là tứ diện gần đều Trong tứ diện này, trọng
tâm trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp; đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó
39.[ĐHBK TPHCM_94] Cho tứ diện với bốn đỉnh A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2)
a Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnhD xuống mp(ABC) → 1/ 11
b Viết PT tham số của đờng cao nói trên Tìm toạ độ hình chiếu D trên mp(ABC)
→ H(43/11; 14/11; 23/11) 40.[HVKTQS_98] Cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD
→ D’(81/25; 13/5; 33/25), V = 8 41.[ĐH Cần Thơ_01] Cho A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3)
a Kiểm chứng A, B, C không thẳng hàng Viết PT mp(P) chứa A, B, C Tímh khoảng cách từ
b Tính diện tích tam giác ABC và thể tích OABC → S = 3/2, V = 3/2
42.[ĐHBKHN_96] Cho A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1)
a CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc
b Tính góc giữa đờng thẳng AD và mp(ABC) → sin = 10/5
c Lập PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD → (x + 1)2 + (y + 3/2)2 + (z- 4)2=129/4 43.[ĐHSP Quy Nhơn_97] Cho M(1; 0; 2), N(1; 1; 0), P(0; 1; 2)
a Viết PT mp (α ) đi qua M, N, P → 2x + 2y + z – 4 = 0
b Gọi A, B, C là giao điểm (α ) với Ox, Oy, Oz Tính thể tích tứ điện ABCD và diện tích tam
c CMR ba đờng thẳng AP, BM, CN đồng quy tại G, tìm toạ độ diểm G
→ Ba trung tuyến đồng quy tại G(2/3;2/3;4/3)
d Gọi a1, a2, a3 là góc tạo bởi →
OG với → → →
OC OB
OA, , CMR cos2a1 + cos2a2 + cos2a3 = 1 → cosa1 = cosa2 = 1/ 6, cosa3 = 2/ 6 44.[ĐHSP Vinh_97] Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ có A trùng gốc toạ độ, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Điểm M, N thay đổi trên đoạn AB’, BD tơng ứng sao cho AM = BN = a, với 0 <
a < 2
a Viết PT đờng thẳng MN → x a a t y a t z a a t
2 2
, 2 ,
) 2 1 (
=
b Tìm a để MN đồng thời vuông góc với AB’ và BD → a = 2 / 3
c Xác định a để đoạn MN nhỏ nhất và tính độ dài đoạn đó → a = 2 / 3, MNmin = 3 / 3
d CMR khi a thay đổi thì các đờng thẳng MN luôn song song với một mp cố định, viết PT mp
đó
→ Cho a hai giá trị đặc biệt để xây dựng mp cần tìm, chẳng hạn một mp cần tìm là y+z=0
Trang 545.[ĐHBKHN_98] Cho đờng thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 – t, z = 3t và mp(P): 2x – y – 2z +1=0
a Tìm toạ độ các điểm M thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mp(P)
b Xác định toạ độ điểm K đối xứng với I(2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) → K(4; 3; 3)
46.[HVKTQS_95] Cho A(-1; 3; -2) và B(-9; 4; 9) và mp(P): 2x – y + z + 1 = 0 Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất → K(-1; 2; 3)
5