Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc 2.. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3.. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC1/ Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau?. Hai đường thẳng a và b cắt nhau tao ra bao nhiêu góc

Nội dung chính :

1 Hai đường thẳng vuông góc

2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3 Hai mặt phẳng vuông góc

4 Khoảng cách

5 Góc

§ 1 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1/ Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau

? Hai đường thẳng a và b cắt nhau

tao ra bao nhiêu góc ? Các góc đó

có đặc điểm gì ? Góc giữa hai

đường thẳng a và b là góc nào ?

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau

tại O Chúng tạo thành 4 góc

Định nghĩa : Số đo nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là số

đo góc hợp bởi hai đường thẳng a , b hay đơn giản là góc

giữa hai đường thẳng a , b , kí hiệu là   a, b hay b,a    

Khi a trùng b thì  0

(a,b)  0

O x

x’

y’

y a

b

Khi a và b vuông góc thì  0

(a,b)  90 Như vậy 0    0

0  a, b  90

2 Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian

a’

b’ O

Em hãy xác định góc giữa

hai đường thẳng a và b ?

Khi thay đổi điểm O thì góc

giữa hai đường thẳng a và

b có thay đổi không ?

Định nghĩa : Góc giữa hai

đường thẳng a và b là

góc giữa hai đường thẳng

cắt nhau a’ và b’ lần lượt

song song với a và b

Ta vẫn kí hiệu góc giữa a

và b là   a, b hay b,a    

Chú ý : Ta có thể lấy điểm O

nằm trên 1 trong 2 đường

D

C’ B’

O

N

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’

Em hãy tìm góc của các cặp đường

thẳng sau : BC’ và AD , OM và CC’,

AC’ và BB’

BC ', AD  BC ', BC  45

    0

AC ',BB ' AC ', A¢'  

Với tg   2

3/ Hai đường thẳng vuông góc :

Định nghĩa : Hai đường thẳng

gọi là vuông góc với nhau nếu

góc giữa chúng bằng 600

a

a’

b’

b

O

Ta kí hiệu hai đường thẳng a, b

vuông góc với nhau là

a  b hay b  a

a  b  a,b  90 Chú ý rằng định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng

4/ Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của

hai đường thẳng

a c

b

Từ hình vẽ bên , em hãy nhận xét về

vị trí của b và c

Định lí : Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với

đường thẳng thứ 2

a // b

c b

c a





 

Chú ý :

1/ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau

2/ Trong mặt phẳng , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau , nhưng trong không gian , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông

góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì không phải khi nào cũng

song song với nhau

Trong mặt phẳng Trong không gian

5/ Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tứ diện

ABCD Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC

và AD Cho biết AB = CD =

2a và MN =

Tính góc

a 3

 AB,CD  M

O

N A

B

C

D 2a

2a

a 3

Giải : Gọi O là trung điểm của AC ta có OM = ON = a Gọi H là

trung điểm của MN Trong tam giác cân OMN ta có :

a 3

2

Từ đó suy ra góc giữa 2 đường thẳng OM và ON là :

Ta có : AB // OM, CD // ON

AB,CD  OM,ON  60

Ví dụ 2 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M,N, P, Q,

R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC

a/ CMR :

b/ CMR :

AB  CD

A

B

C

D

Giải :

a/ Ta có : MC = MD = a 3

2

M

N

P R

Q

Nên tam giác MCD cân , từ đó :

Ta lại có RP // CD nên MN  RP

Tương tự : MN  RQ

B

C

D M

N

P R

Q

b/ CMR AB  CD

Giải :

Tương tự như câu trêb ta cũng có

Trong tam giác vuông QDP ta có

2 2

2

2 2 2 a 3 a a

       

 

Ta có :

Nghĩa là

   

      

Vì AB // RQ và CD // RP , nên từ đó suy ra AB  CD

Củng cố :

Các em cần nắm được cách xác định góc của hai đường

thẳng bất kỳ trong không gian đó là :

Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b

Bài tập về nhà : BTập (SGK)