Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:2Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.. Một em hãy nhắc lại cách xác định Góc giữa 2 véc tơ và Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ... Ôn tập kiến thức: Tích v

Kiểm tra kiến thức cũ:

1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:

a)Vì nên N là trung điểm của đoạn MP

1

2

0

AB  BC CD   DA 

AB AC AD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

0

NM   NP 

  

  

  

  

  

  

  

b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0 bất kì ta có:

c)Từ hệ thức ta suy ra 3 véc tơ

sau đồng phẳng

d) Vì nên 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng

d)

Kiểm tra kiến thức cũ:

2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G Tính tích

vô hướng của 2 véc tơ sau: ; ;

c)

.

AB AC

 

.

AC CB

 

.

GA BC

 

G

A

Lời giải:

b)

OS( , )

GA BC C GA BC

                             

OS( , )

AC CB C AC CB

                             

0

os90

3 2

a

a c



0

os120

a a c



0

os60

a a c



OS( , )

AB AC C AB AC

                              a)  AB AC .

.

AC CB

 

.

GA BC

 

2

1

2 a



2

1

2 a



0



Để giải bài toán trên

Một em hãy nhắc lại cách xác định

Góc giữa 2 véc tơ và Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ

Ôn tập kiến thức: Tích vô hướng của 2 véc tơ

1 Góc giữa 2 véc tơ:

0

A

B

a b 

 

* a   b   a b    0

a    b   

2 2

* a  a a  a

   

b

a

( , ) a b    A B 0 (0  ( , ) 180 ) a b   

2 Tích vô hướng của 2 véc tơ:

a b    a b c   a b   a b    

Nếu: Thì ta quy ước

3.Tính chất: 1) . .

a b b a

a b a k b k a b



* Cho hình lập phương (hình bên) B C

C'

D'

B'

A'

Cặp đường thẳng

nào không

vuông góc với

nhau?

a) AC & BD

b) AB & B’C’

c) AC & B’C’ .

d) AC’ & BD

Đó chính là nội dung bài

học hôm nay.

Cơ sở nào biết được?

§2.Hai đường thẳng vuông góc

u v    u v c   u v  

1 Góc giữa hai véc tơ trong không gian:

2 Tích vô hướng của hai

véc tơ trong không gian:

I.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

0

B

v



u

(0 ( , ) 180 )

( , ) 0

u v



 

u v   

( u   0,   v  0) 

Thì ta quy ước

0 hay 0

u    v   

Nếu:

A

C

Ví dụ1:Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB

Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:

) &

a AB  BC

) &

b CH                            AC

0

Lời giải:

Với tứ diện đều, ta có:

0

b)

a)

B’

A’

Ví dụ2:Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi

một vuông góc và OA = OB = OC = 1 Gọi M là trung

điểm của cạnh AB Tính góc giữa 2 véc tơ

0

(OM BC   , ) 120

.

.

os OM BC OM BC

OM BC

 

 

2 2 2

OM BC



 

M

C

A

Lời giải: Ta có:

Mặt :

&

OM  BC

 

 

 

 

1 OS( , )

2

2 0 & 1

OA OC      OA OB   OB OC  OB 

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

2

1

2 OA OC OA OB OB OC OB

                            (OM BC                           .  )                                           

                                                          



Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:

Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a)Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ:

b)Tính: & từ đó suy ra

' &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , '

AB AD AA

   OS( ', )

C  AC BD

'

AC  BD

C'

D'

B'

A'

Ta có:

Lời giải:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

2 2

                                                                                                                                                

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

' = ' =0 & = =1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

OS( ', )

3 2 '

AC BD AC BD

C AC BD

a a

AC BD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

 

à

v BD                            AD               AB

OS( ', ) 0

C  AC BD 



a)

b)

Mặt khác:

0 ( AC BD ', ) 90

'

AC  BD



Mà:

Ta có:

Vậy

0

b

d

Véc tơ nào là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) ?

a 

c

II.VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

*ĐN: ,được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) nếu giá của véc tơ song song hoặc trùng với

đường thẳng (d).

a 

0

a   

Vậy góc giữa

2 đường thẳng trong không gian được xác định như thế

nào?

0

b’

a’

b a

III.Góc giữa hai đường thẳng

ĐN: Góc giữa 2 đường thẳng a & b trong k0 gian

là góc giữa 2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1

điểm và lần lượt song song với a & b.

Chú ý: Nếu , là các véc tơ chỉ phương

của các đường thẳng a, b

( , ) khi 0 ( , ) 90

180 ( , ); khi 90 ( , ) 180

a b





Thì:

Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C

C'

D'

B'

A'

Lời giải:

a) Góc giữa 2 đường thẳng:

AB và B’C’ là: 900

b) Góc giữa 2 đường thẳng:

AC và B’C’ là: 450

c) Góc giữa 2 đường thẳng:

A’C’ và B’C là: 600

Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a

& BC = .Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC

2

a

AC AB 

 

C

S

0 (S ,   A AB  ) 120

2

a

( 2 )

BC  a a2  a2 AC2  AB2

.

.

os SC AB SC AB

SC AB

 

 

 

2

2

1 2

2

os

a

SC AB

a

( SC AB    , ) 120

2

os SC AB SA AB AC AB

a

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

.

SA AC AB

a a





  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Lời giải:

Ta có:

Vì:

*Nên

Tam giác SAB đều nên

*và do đó

2 0

2

a

 

Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =1800 -1200 =600

*

Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 900

thì 2 đường thẳng đó

như thế nào?

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

a  b  a b 

2 Nhận xét: * Nếu lần lượt là véc tơ chỉ phương

của 2 đường thẳng a, b thì: u v   ,

0

a  b  u v  

* a // b , nếu c a thì c b. 

* a   b Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD

CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vuông góc với nhau





:

à

v     PQ                       PB                             BD  DQ

AC AB BD AB

   

PQ PA  AC CQ

2PQ AB  (AC  BD AB).

hay PQ AB   

Lời giải: Ta có:

Tức là: AB PQ

Vậy:



Q

P

D

A

Muốn CM 2 đường thẳng vuông góc ta

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu

các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương

đã cho và vuông góc với:

a)Đường thẳng AB

b) Đường thẳng AC

B'

C'

Lời giải:

a) Các đường thẳng đi qua 2

đình hlp và vuông với AB là:

BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’

CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C

b) Các đường thẳng đi qua 2

đình hlp và vuông với AC là:

AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’

Củng cố:

1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2

đường thẳng trong không gian

2) Biết dùng tích vô hướng để giải toán:

* u v    u v c   os( , ) u v  

( , ) khi 0 ( , ) 90

a b





* u    v  u v    0

.

* os( , )

.

u v

c u v

u v



 

 

 

3) Góc giữa 2 đường thẳng (a, b) = (a’, b’)

Bài tập về nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK

4) a  b  ( , ) a b  900 hay a  b  u v    0