Đề dự bị đại học 2007

Chứng to rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số 1 đến các đường tiệm cận của nó là một hằng số.. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với

Trang 1

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2007

DỰ BỊ 1 KHỐI A:

Phần chung

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y =

2

3 4

2

−

x

x x

(1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Chứng to rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số (1) đến các đường tiệm cận của nó là một hằng số

Câu II: ( 2 điểm)

1 Giải phương trình: sin2x + sinx - sin12x −2sin1 x = 2cotg2x

2 Tìm m để bất phương trình : m( x2 − 2x+ 2 + 1) + x(2 – x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn [0; 1+ 3]

Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-1;3;-2),

B(-3;7;-18) và mặt phẳng (P) : 2x – y + z + 1 = 0

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P)

2 Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Câu IV: ( 2 điểm)

1 Tính tích phân I = ∫4 + ++

0 1 2 1

1 2

dx x

x

2 Giải hệ phương trình









+

= +

− +

+

= +

− +

−

− 1 3 2 2

1 3 2 2

1 2

x y

y y y

x x x

(với x; y ∈R)

Phần tự chọn: thí sinh chỉ được chọn câu V.a hoặc V.b

Câu V.a: Theo chương trình THPT không phân ban(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 Đường tròn (C’) tâm I(2,2) cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 2 Viết phương trình đường thẳng AB

2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau

Câu V.b: Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)

1 Giải bất phương trình (logx8 + log4x2)log2 2x ≥ 0

2 Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 cóAB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và góc

BAC = 120o Gọi M là trung điểm của CC1 Chứng minh MB vuông góùc với MA1 và tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặït phẳng (A1MB)

Trang 2

DỰ BỊ 2 KHỐI A:

Phần chung

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = x + m + x m−2 (1), m là tham số khác 0

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồâ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O

1 Giải phương trình :2cos2x + 2 3sinxcosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)

2 Giải hệ phương trình :







−

= +

−

= +

−

1

2 2 3

2 2 3 4

y x x x

y x y x x

(với x; y ∈R)

Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;4;0),

C(2;4;6) và đường thẳng (d)







=

− + +

= +

−

0 24 2 3 6

0 2 3 6

z y x

1 Chứng minh hai đường thẳng AB và OC chéo nhau

2 Viết phương trình đường thẳng (d’) song song (d) và cắt cả hai đường thẳng AB và OC

1 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 4y = x2; y = x Tính thể tích của khối hình tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

2 Cho 3 số dương x; y; z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3 4 ( 3 3 ) 3 4 ( 3 3 ) 3 4 ( 3 3 ) 2 ( 2 2 2)

x

z z

y y

x x

z z

y y

x + + + + + + + +

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) và các cạnh AB, AC lần lượt có phương trình 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y – 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

2 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt có 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm và n điểm phân biệt không trùng với các đỉnh A, B, C, D Tìm n, biết rằng số tam giác có 3 điểm lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439

1 Giải phương trình log4(x – 1) + 1/ log2x+14 = log2 2

1

2 + +

x

2 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tạo với đáy ABC một góc 60o, các tam giác ABC, SBC là các tam giác đều cạnh a Hãy tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

DỰ BỊ 1 KHỐI B:

Trang 3

Phần chung

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = - 2x3 + 6x2 – 5 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồâ thị hàm số (1) đi qua điểm A( -1 ; -13 )

2

3 cos(

2 ) 4 2 cos(

) 4 2

5 sin( x − π − x − π = x

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 x2 + 1 − x =m có nghiệm thực

Câu III:(2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z = 0

và 2 điểm A(-3;5;-5), B(5;-3;7)

1 Tìøm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và(P)

2 Tìm tọa độï của điểm M trên (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất

1 Tìm diện tích giới hạn bởi các đường (12 +1)

−

=

x

x x

2 Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0

và y > 0











−

=

−

=

1 2007

2

x

x e

y

y e

y

x

1 Tìm các số nguyên dương (x; y) thỏa mãn hệ









= +

66

22

2 3

3 2

x y

y x

C A

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 và đường thẳng (d): x – 2y + 15 = 0 Xác định tọa độ đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết đỉnh A nằm trên (d)

1 Giải phương trình log3(x – 1)2 + log3(2x – 1) = 2

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy

AB = a; SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AHK) và tính thể tích khối tứ diện OAHK theo a

DỰ BỊ 2 KHỐI B:

Phần chung

Trang 4

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = - x + 1 + 2m−x (1) m là tham số khác 0

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A và tiếp tuyến tại A của đồ thị (1) cắt Oy tại B sao cho tam giác OAB vuông cân

1 Giải phương trình : cossinx x+cossin2x x = tgx - cotgx

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 x4 − 13x+m + x – 1 = 0 có đúng một nghiệm thực

Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(2;0;0), M(0;-3;6).

1) Chứng minh rằng mặt phẳêng (P) : x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm tọa độ tiếp điểm

2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và M biết rằng (Q) giao với Oy và Oz lần lượt tại B và C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3

1 Tính diện tích giới hạn bởi các đường y= 2 −x2 ; y = x2

2 Giải hệ phương trình











+

= +

− +

+

= +

− +

x y y

y

xy y

y x x

x

xy x

2

3 2

2

3 2

9 2

22 9

2

(với x; y ∈R)

1 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của (x2 + 2)n biết rằng A n3 − 8C n2 +C1n = 49 với n nguyên và n > 3

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại A và B với AB = 3

1 Giải phương trình: (2 - log3x)log9x3 - x

3

log 1

4

2 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C trên nửa đường tròn sao cho AC = R, trên đường thẳng vuông góc vơi (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB Chứng minh rằng tam giác AHK vuông, tính thể tích khối tứ diện SABC theo R

DỰ BỊ 1 KHỐI D:

Phần chung

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = −2x x++11 (C)

Trang 5

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng với Ox

1 Giải phương trình : )

12 sin(

2

2 x−π cosx = 1

2 Tìm m để phương trình x− 3 − 2 x− 4 + x− 6 x− 4 + 5 = m có đúng hai nghiệm thực

Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(P): x+ y + z + 2 = 0 và đường thẳng (d): x2−3= y1+2= z−+11

1 Tìm giao điểm của (d) và (P)

2 Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) sao cho (∆) vuông góc với (d) và khoảng cách từ M(1,2,3) đến (∆) bằng 42

1 Tính tích phân I = ∫1 −−

0

2 4

) 1 (

x

dx x

x

2 Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a +b = 3 Chứng minh rằng:

2

3 1

+

+ +

+

ab a

b b

a

1 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta luôn có

1 2

1

0 − ( − 1 ) + + 2 − − n−

n

n n n

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(2,1) Lấy điểm B trên Ox có hoành độï không âm và điểm C trên Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

1 Giải bất phương trình: log ( 1 ) 12

2

1 1 3 2

2 2

2

1 x − x+ + x− ≥

2 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a;

AA1 = a 2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1 Tính thể tích khối tứ diện

MA1BC1

DỰ BỊ 2 KHỐI D:

Phần chung

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = x−x1 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trang 6

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) sao cho (d) và hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân

1 Giải phương trình : (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx.

2 Tìm m để hệ phương trình







= +

=

−

1

0 2

xy x

m y x

có đúng một nghiệm thực

Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(P): x - 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng (d1): x21 y 33 =2z

−

=

−

, (d2): x6−5= 4y = z−+55

1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P)

2 Tìm các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

1 Tính tích phân I = ∫2

0

2 cos

π

xdx

2 Giải phương trình x x x

x 1 2

1 2

1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm A(0,1), B(2; -1) và các đường thẳng d1: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m = 0; d2: (2 - m)x + (m – 1)y +3m – 5 = 0 Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau Gọi P là giao điểm của d1và d2 Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất

1 Giải phương trình: 23x +1- 7.22x + 7.2x – 2 = 0

2 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a M là trung điểm của AA1 Chứng minh rằng vuông góc với B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C

Tiêu đề	Đề dự bị đại học 2007
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề thi tuyển sinh đại học
Năm xuất bản	2007
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	147 KB