Tôi đã tim ra hai loi giải cho nó.. Sau đây xin post một lời giải, anh em xem thứ nhé.. Vậy BĐT 1 đợc chứng minh.
Trang 1Lê Xuân Đại, GV THPT' Chuyên vĩnh phúc
Bài BĐT trong đề thi dự bị quốc gia năm 2008-2009 khá hay và “hơi khổ” Tôi đã tim ra hai loi giải cho nó Sau đây xin post một lời giải, anh em xem thứ nhé
Cho x,y,z la cdc s6 thuc dong thoả mãn điều kiện x” + yˆ +z” +2xyz=l
Chứng minh rằng:
8(x+y+z)`<10(xÌ+yÌ°+z)+11(x+y+z)\(I+4xyz)—12xyz (1)
Lời giải Đặt D= XYy +Z: q= xy +yZ+ZX; T= XYZ, Từ giả thiết suy ra p> —2q+2r=1
Ta có xÌ+y ` +z' =pÌ—3pq+3r nên BĐT (1) tơng đơng với BĐT sau:
2p +18§r+44pr+11p>30pq (2) Theo BĐT Schur (x + y+z)`+9xyz> 4(x +y+z)(xy +yz+ xz) nên p` +9r > 4pq
Do đó để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh: 44pr + l Ip > 22pq © 4r +1 > 2q
Tức là ta cần chứng minh : 4xyz+122(xy+yz+xz) (3)
Bổ đề Với các số x.y.z dơng thoả mãn điều kiện x” +y” + zˆ +2xyz = 1, tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x=cosA, y=cosB, z=cosC (chứng minh đơn giản)
Áp dụng bổ đề trên, ta cần chứng minh:
4cos A.cosB.cosC +12 2(cosA cosB+cosBcosC+cosAcosC) (4)
That vay, BDT (4) tong dong véi
cos A(2cosB—1)(2cosC —1)+1—cos(C—B)20 (5) Trong một tam giác luôn tồn tại 2 g6c cting 16n hơn hoặc bằng 60°, hoặc cùng nhỏ hon hoac bang 60° Giả sử hai góc đó là B và C, khi đó BĐT (5) đúng
Vậy BĐT (1) đợc chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=ZE7:
OK