Phương pháp hàm phạt cho bài toán tối ưu

Mở đầuBài toán tối ưu là bài toán tìm một phương án chấp nhận được đểlàm cực trị một hàm số hoặc một hàm vecto.. Khó khăn chính trong việc nghiên cứu và giải quyếtbài toán này là phải tì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ LÊ

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

Mục lục

1 Các kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 7

1.1 Tập lồi 7

1.2 Hàm lồi 11

1.2.1 Định nghĩa và tính chất 11

1.2.2 Tính liên tục 13

1.2.3 Dưới vi phân 14

1.2.4 Tính chất cực trị 15

2 Phương pháp hàm phạt 17 2.1 Bài toán tối ưu 17

2.1.1 Phát biểu bài toán 17

2.1.2 Các điều kiện tối ưu 19

2.2 Phương pháp hàm phạt 23

2.2.1 Hàm phạt điểm ngoài 24

2.2.2 Hàm phạt điểm trong 26

2.2.3 Hàm phạt kiểu Lagrange 31

3 Hàm phạt chính xác và áp dụng 42 3.1 Hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu lồi 42

3.2 Hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu trên tập Pareto 49

3.2.1 Bài toán tối ưu vecto tuyến tính 49

3.2.2 Hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu trên tập Pareto 53

Tài liệu tham khảo 58

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các bạnđồng nghiệp Trường Cao đẳng Công nghệ và Kinh tế công nghiệp, gia đình

và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặttrong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 07 năm 2012

Tác giảNguyễn Thị Lê

Mở đầu

Bài toán tối ưu là bài toán tìm một phương án chấp nhận được đểlàm cực trị một hàm số hoặc một hàm vecto Đây là bài toán có nhiều ứngdụng trong thực tế Khó khăn chính trong việc nghiên cứu và giải quyếtbài toán này là phải tìm được một phương án tối ưu trong miền chấp nhậnđược Để giải quyết khó khăn này, phương pháp hàm phạt là một cáchtiếp cận cơ bản để giải quyết bài toán tối ưu có ràng buộc Ý tưởng chínhcủa phương pháp này là chuyển bài toán có ràng buộc về một dãy các bàitoán không ràng buộc hoặc có ràng buộc đơn giản hơn Các loại hàm phạtthường được dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong và hàmphạt kiểu Lagrange (thưởng- phạt) Đối với phương pháp hàm phạt điểmngoài, hàm phạt được xác định cả bên ngoài miền chấp nhận được và cótính chất là lượng phạt p(x) > 0 nếu x không thuộc miền chấp nhận được

D, trái lại, nếu x ∈ D thì p(x) = 0 Một hàm phạt khác là hàm phạt kiểuLagrange, hàm này cũng xác định cả bên ngoài miền ràng buộc như hàmphạt điểm ngoài, nhưng bên trong miền chấp nhận được, lượng phạt cóthể nhận giá trị âm, tức là được thưởng tùy theo mức độ thỏa mãn miềnràng buộc Phương pháp có hiệu quả hơn cả là phương pháp hàm phạtđiểm trong, khác với hàm phạt điểm ngoài và hàm phạt kiểu Lagrange,hàm phạt này chỉ xác định tại miền trong của tập chấp nhận được, còntại các điểm gần biên của miền chấp nhận được thì p(x) = +∞

Thông thường, người ta chỉ có thể chuyển việc một bài toán có ràngbuộc về việc giải một dãy vô hạn các bài toán không có ràng buộc hoặc córàng buộc đơn giản hơn Tuy nhiên trong một số trường hợp cụ thể, vớinhững điều kiện nhất định thì ta có thể chuyển về việc giải chỉ duy nhấtmột bài toán không ràng buộc Hàm phạt cho tính chất này được gọi làhàm phạt chính xác

Bản luận văn này nhằm mục đích chủ yếu là hệ thống các kiến thức cơbản về các loại phương pháp hàm phạt đã kể trên Cụ thể, luận văn đã đề

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cập đến các vấn đề sau:

1 Giới thiệu các kiến thức cơ bản về phương pháp hàm phạt điểmngoài, phương pháp hàm phạt điểm trong và phương pháp hàm phạt kiểuLagrange

2 Trình bày một kết quả tương đối mới về hàm phạt chính xác cho bàitoán tối ưu lồi Ngoài ra, luận văn còn trình bày phương pháp hàm phạtchính xác cho bài toán tối ưu không lồi, đó là bài toán tối ưu một hàmtuyến tính trên tập nghiệm của một bài toán tối ưu vecto affin

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản của giảitích lồi thường được dùng trong tối ưu hoá (tập afin, tập lồi, nón lồi, hàmlồi và các tính chất cơ bản của chúng)

Chương 2 Trình bày ba phương pháp hàm phạt là: Phương pháphàm phạt điểm trong, phương pháp hàm phạt điểm ngoài và hàm phạtkiểu Lagrange (thưởng- phạt)

Chương 3 Trình bày khái niệm về hàm phạt chính xác, điều kiện đủ

để tồn tại hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu lồi, bài toán tối ưutrên tập Pareto của một bài toán tối ưu vecto affine và áp dụng hàm phạtchính xác vào bài toán tối ưu trên tập này

• Nếu M là tập affine thì

a + M = {a + x | x ∈ M }

cũng là một tập affine với ∀a ∈ Rn

• M là tập affine chứa gốc khi và chỉ khi M là không gian con

Lớp các tập lồi là đóng đối với phép giao, phép cộng đại số và phépnhân tích Decartes, cụ thể ta có định lý sau:

Định lý 1.1 Nếu A, B là các tập lồi trong Rn, C là lồi trong Rm, thì cáctập sau là tập lồi:

1 A ∩ B := {x |x ∈ A, x ∈ B };

2 αA + βB := {x |x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R};

3 A × C := {x ∈ Rn+m|x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C }

Định nghĩa 1.4 Cho A là tập lồi, tập affine nhỏ nhất chứa A được gọi

là bao affine của A, ký hiệu là af f A

Thứ nguyên của tập lồi A ký hiệu là dimA được cho bởi thứ nguyêncủa bao affin của A

Một điểm a ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận

mở U của a sao cho U ⊂ A, tập hợp các điểm trong của A ký hiệu là

intA Một tập lồi A trong Rn có thể không có điểm trong (khi xét trong

Rn), nhưng nó luôn có điểm trong khi xét trong af f A, điểm trong này gọi

là điểm trong tương đối Nếu ký hiệu riA là tập các điểm trong tương đốicủa A thì

riA := {x ∈ affA |∃ U, U ∩ affA ⊂ A},

trong đóU là một lân cận mở của x nếuAlà tập lồi khác rỗng thìriA 6= ∅.Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng đượcgọi là tập lồi đa diện ( khúc lồi) Như vậy dạng tường minh của một tậplồi đa diện D được cho như sau:

Đối với một tập C bất kỳ, một điểm x ∈ C được gọi là điểm biên của

C nếu không tồn tại a, b ∈ C, 0 < λ < 1 sao cho:

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

x = λa + (1 − λ)b và đoạn thẳng [a, b] ⊂ C.Với một tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tậpđó.

Một tập C được gọi là nón lồi nếu

∀x, y ∈ C thì x + y ∈ C và tx ∈ C với mọi t ≥ 0

Ví dụ 1.3 Rn+ là một nón lồi

Cho C là một tập trong Rn, một vecto y 6= 0 được gọi là hướng lùi xa của

C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằmtrọn trong C, tức là y 6= 0 là hướng lùi xa khi và chỉ khi

được gọi là nón đối cực của C

Cho C là một tập lồi khác rỗng và x thuộc C Ta nói d ∈ Rn là mộthướng chấp nhận được của C nếu tồn tại t0 > 0 sao cho x + td ∈ C vớimọi 0 ≤ t ≤ t0 Tập tất cả các hướng chấp nhận được của C tại x ký hiệu

là C(x) và gọi là nón chấp nhận được của C tại x

Định lý tách các tập lồi dưới đây là những định lý cơ bản nhất của giảitích lồi, được dùng nhiều trong lý thuyết tối ưu

Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng aTx = α tách C và

D nếu

aTx ≤ α ≤ aTy, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read