slide thuyết trình luận văn thạc sĩ phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện

Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệmcho bài toán cực trị có điều kiện. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyểnviệc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cựctrị tự do. Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàmphạt điểm trong, hàm phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học,phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu. Hơn nữa, hầu hết các giáotrình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết củaphương pháp hàm phạt.Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trìnhdành cho học viên cao học. Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toáncực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúphọc viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị củahàm nhiều biến. Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điềukiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải vàsáng tạo ra các bài toán mới. Cấu trúc luận vănLuận văn gồm 3 chương:Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa,định lí liên quan đến luận văn. Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tậpcompact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộngcủa chuỗi Taylor.Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiệncho bởi phương trình và bất phương trình.Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khảvi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình vàbất phương trình.

Luận văn thạc sĩ khoa họcChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02Học viên: Đinh Thị HNgười hướng dẫn khoa học: TS Phan A

Đà Nẵng, ngày 17 tháng 6 năm 2018

1.1 Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)

1.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình

1.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phươngtrình

2 Phương pháp hàm phạt

2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi

phương trình

2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)

3 Tài liệu tham khảo

Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)

min f (x )với điều kiện x ∈ X , trong đó f : Rn→ R là một hàm số cho trước và X

là một tập con của Rn

Cực tiểu địa phương

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương của (CP) nếu tồn tại một

số  > 0 sao cho

f (x∗) ≤ f (x ), ∀x ∈ S (x∗; ), x ∈ X

Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)

min f (x )với điều kiện x ∈ X , trong đó f : Rn→ R là một hàm số cho trước và X

là một tập con của Rn

Cực tiểu địa phương

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương của (CP) nếu tồn tại một

số  > 0 sao cho

f (x∗) ≤ f (x ), ∀x ∈ S (x∗; ), x ∈ X

Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)

min f (x )với điều kiện x ∈ X , trong đó f : Rn→ R là một hàm số cho trước và X

là một tập con của Rn

Cực tiểu địa phương

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương của (CP) nếu tồn tại một

số  > 0 sao cho

f (x∗) ≤ f (x ), ∀x ∈ S (x∗; ), x ∈ X

Xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (bài toán (ECP)):

min f (x )h(x ) = 0

trong đó f : Rn→ R và h : Rn→ Rm, với m ≤ n Các thành phần của hđược kí hiệu là h1, , hm

Điểm chính quy

Giả sử x∗ là một vector sao cho h(x∗) = 0 và h ∈ C1 trên S (x∗; ) với một

số thực  > 0 nào đó Khi đó, x∗ được gọi là một điểm chính quy nếu cácgradient ∇h1(x∗), , ∇hm(x∗) độc lập tuyến tính

trong đó ∇h1(x∗) = [∂h1 (x∗)

∂x1∗ , ,∂h1 (x∗)

∂x ∗

n ]0

Xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (bài toán (ECP)):

min f (x )h(x ) = 0

trong đó f : Rn→ R và h : Rn→ Rm, với m ≤ n Các thành phần của hđược kí hiệu là h1, , hm

Điểm chính quy

Giả sử x∗ là một vector sao cho h(x∗) = 0 và h ∈ C1 trên S (x∗; ) với một

số thực  > 0 nào đó Khi đó, x∗ được gọi là một điểm chính quy nếu cácgradient ∇h1(x∗), , ∇hm(x∗) độc lập tuyến tính

Xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (bài toán (ECP)):

min f (x )h(x ) = 0

trong đó f : Rn→ R và h : Rn→ Rm, với m ≤ n Các thành phần của hđược kí hiệu là h1, , hm

Điểm chính quy

Giả sử x∗ là một vector sao cho h(x∗) = 0 và h ∈ C1 trên S (x∗; ) với một

số thực  > 0 nào đó Khi đó, x∗ được gọi là một điểm chính quy nếu cácgradient ∇h1(x∗), , ∇hm(x∗) độc lập tuyến tính

trong đó ∇h1(x∗) = [∂h1 (x∗)

∂x1∗ , ,∂h1 (x∗)

∂x ∗

n ]0

Bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP)

Bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP)

Bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP)

Bài toán ECP

Bài toán ECP

Bài toán ECP

Bài toán ECP

và xét bài toán tối ưu tự do:

với điều kiện (x , λ) ∈ Rn× Rm

Ta thấy (x∗, λ∗) là một cặp điều kiện K-T của (ECP) nếu và chỉ nếu(x∗, λ∗) là một cực tiểu toàn cục của phương trình (3)

và xét bài toán tối ưu tự do:

với điều kiện (x , λ) ∈ Rn× Rm

Ta thấy (x∗, λ∗) là một cặp điều kiện K-T của (ECP) nếu và chỉ nếu(x∗, λ∗) là một cực tiểu toàn cục của phương trình (3)

và xét bài toán tối ưu tự do:

với điều kiện (x , λ) ∈ Rn× Rm

Ta thấy (x∗, λ∗) là một cặp điều kiện K-T của (ECP) nếu và chỉ nếu(x∗, λ∗) là một cực tiểu toàn cục của phương trình (3)

Mệnh đề sau nêu lên mối liện hệ giữa cực tiểu của bài toán tối ưu tự

do và bài toán (ECP)

Mệnh đề 3.1.1

Cho X × Λ là một tập con compact của Rn× Rm Giả sử ∇h(x ) hạng

bằng m với mọi x ∈ X Khi đó, tồn tại một số thực ¯α > 0 và với mọi

α ∈ (0, ¯α], có một số thực ¯c(α) > 0 sao cho với mọi c và α thỏa mãn

α ∈ (0, ¯α], c ≥ ¯c(α),mọi điểm tới hạn của P(·, ·; c, α) thuộc vào X × Λ là một cặp K-T của(ECP) Nếu ∇2xxL(x , λ) là nửa xác định dương với mọi (x , λ) ∈ X × Λ, thì

¯

α có thể lấy số dương bất kỳ

Mệnh đề sau nêu lên mối liện hệ giữa cực tiểu của bài toán tối ưu tự

do và bài toán (ECP)

Mệnh đề 3.1.1

Cho X × Λ là một tập con compact của Rn× Rm Giả sử ∇h(x ) hạng

bằng m với mọi x ∈ X Khi đó, tồn tại một số thực ¯α > 0 và với mọi

α ∈ (0, ¯α], có một số thực ¯c(α) > 0 sao cho với mọi c và α thỏa mãn

α ∈ (0, ¯α], c ≥ ¯c(α),mọi điểm tới hạn của P(·, ·; c, α) thuộc vào X × Λ là một cặp K-T của(ECP) Nếu ∇2xxL(x , λ) là nửa xác định dương với mọi (x , λ) ∈ X × Λ, thì

¯

α có thể lấy số dương bất kỳ

Mệnh đề sau nêu lên mối liện hệ giữa cực tiểu của bài toán tối ưu tự

do và bài toán (ECP)

Mệnh đề 3.1.1

Cho X × Λ là một tập con compact của Rn× Rm Giả sử ∇h(x ) hạng

bằng m với mọi x ∈ X Khi đó, tồn tại một số thực ¯α > 0 và với mọi

α ∈ (0, ¯α], có một số thực ¯c(α) > 0 sao cho với mọi c và α thỏa mãn

α ∈ (0, ¯α], c ≥ ¯c(α),mọi điểm tới hạn của P(·, ·; c, α) thuộc vào X × Λ là một cặp K-T của(ECP) Nếu ∇2xxL(x , λ) là nửa xác định dương với mọi (x , λ) ∈ X × Λ, thì

¯

α có thể lấy số dương bất kỳ

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Từ phương trình 5, ta có λ = −x /α −12x2,

và thay vào vào phương trình 4, ta được x [x − c + (1/α)] = 0

Các điểm tới hạn của P là {x∗= 0, λ∗= 0} và

{x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2α2)/2α2}

Với mọi c > 0 và α > 0 với cα 6= 1, điểm tới hạn [x (c, α), λ(c, α)]

không là cặp K-T của (ECP)

Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim

c→∞x (c, α) = ∞ vàlim

c→∞λ(c, α) = −∞

Bài toán ICP

Xét bài toán (ICP)

min f (x )

g (x ) ≤ 0

Xét bài toán không khả vi (NDP)c, với một số thực c > 0 nào đó:

min f (x ) + cP(x ),với x ∈ Rn

Trong đó, hàm số P(x ) được xác định như sau:

P(x ) = max{0, g1(x ), , gr(x )} (6)

Bài toán ICP

Xét bài toán (ICP)

min f (x )

g (x ) ≤ 0

Xét bài toán không khả vi (NDP)c, với một số thực c > 0 nào đó:

min f (x ) + cP(x ),với x ∈ Rn

Trong đó, hàm số P(x ) được xác định như sau:

P(x ) = max{0, g1(x ), , gr(x )} (6)

Bài toán ICP

Xét bài toán (ICP)

min f (x )

g (x ) ≤ 0

Xét bài toán không khả vi (NDP)c, với một số thực c > 0 nào đó:

min f (x ) + cP(x ),với x ∈ Rn

Trong đó, hàm số P(x ) được xác định như sau:

P(x ) = max{0, g1(x ), , gr(x )} (6)

Bài toán ICP

Xét bài toán (ICP)

min f (x )

g (x ) ≤ 0

Xét bài toán không khả vi (NDP)c, với một số thực c > 0 nào đó:

min f (x ) + cP(x ),với x ∈ Rn

Trong đó, hàm số P(x ) được xác định như sau:

P(x ) = max{0, g1(x ), , gr(x )} (6)

Cho x ∈ Rn, d ∈ Rn, ta kí hiệu

J(x ) = {j |gj(x ) = P(x ), ∀j = 0, 1, , r } (7)

θc(x ; d ) = max{[∇f (x ) + c∇gj(x )]0|∀j ∈ J(x)} (8)Định nghĩa: Điểm tới hạn

x∗ ∈ Rn được gọi là một điểm tới hạn của f + cP nếu mọi d ∈ Rn ta có

θc(x∗; d ) ≥ 0

Cho x ∈ Rn, d ∈ Rn, ta kí hiệu

J(x ) = {j |gj(x ) = P(x ), ∀j = 0, 1, , r } (7)

θc(x ; d ) = max{[∇f (x ) + c∇gj(x )]0|∀j ∈ J(x)} (8)

Định nghĩa: Điểm tới hạn

x∗ ∈ Rn được gọi là một điểm tới hạn của f + cP nếu mọi d ∈ Rn ta có

θc(x∗; d ) ≥ 0

Cho x ∈ Rn, d ∈ Rn, ta kí hiệu

J(x ) = {j |gj(x ) = P(x ), ∀j = 0, 1, , r } (7)

θc(x ; d ) = max{[∇f (x ) + c∇gj(x )]0|∀j ∈ J(x)} (8)

Định nghĩa: Điểm tới hạn

x∗ ∈ Rn được gọi là một điểm tới hạn của f + cP nếu mọi d ∈ Rn ta có

θc(x∗; d ) ≥ 0

Mệnh đề

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP, thì lập trình bậc hai

(QP)c(x∗, H, J) có {d = 0, ξ = P(x∗)} là nghiệm tối ưu với mọi J và Hvới

0 < H, J(x∗) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r } (9)(b) Nếu {d = 0, ξ = P(x∗)} là nghiệm tối ưu của lập trình bậc hai

(QP)c(x∗, H, J) trong đó H và J thỏa mãn phương trình (9), thì x∗ là

một điểm tới hạn của f + cP

Mệnh đề

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP, thì lập trình bậc hai

(QP)c(x∗, H, J) có {d = 0, ξ = P(x∗)} là nghiệm tối ưu với mọi J và Hvới

0 < H, J(x∗) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r } (9)(b) Nếu {d = 0, ξ = P(x∗)} là nghiệm tối ưu của lập trình bậc hai

(QP)c(x∗, H, J) trong đó H và J thỏa mãn phương trình (9), thì x∗ là

một điểm tới hạn của f + cP

{x1(c), x2(c)} là

x1(c) = 1/(1 + c), x2(c) = 0

{x1(c), x2(c)} là

x1(c) = 1/(1 + c), x2(c) = 0

Mệnh đề 3.2.8

Cho X ⊂ Rn là một tập compact sao cho, với mọi x ∈ X , tập các gradient

{∇gj(x )|∀j ∈ J(x ), j 6= 0},

là độc lập tuyến tính

Khi đó tồn tại số thực c∗ ≥ 0 sao cho với mọi c > c∗:

a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP)

b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tớn hạn của f + cP

Mệnh đề 3.2.8

Cho X ⊂ Rn là một tập compact sao cho, với mọi x ∈ X , tập các gradient

{∇gj(x )|∀j ∈ J(x ), j 6= 0},

là độc lập tuyến tính

Khi đó tồn tại số thực c∗ ≥ 0 sao cho với mọi c > c∗:

a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP)

b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tớn hạn của f + cP

Mệnh đề 3.2.8

Cho X ⊂ Rn là một tập compact sao cho, với mọi x ∈ X , tập các gradient

{∇gj(x )|∀j ∈ J(x ), j 6= 0},

là độc lập tuyến tính

Khi đó tồn tại số thực c∗ ≥ 0 sao cho với mọi c > c∗:

a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP)

b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tớn hạn của f + cP

Mệnh đề 3.2.8

Cho X ⊂ Rn là một tập compact sao cho, với mọi x ∈ X , tập các gradient

{∇gj(x )|∀j ∈ J(x ), j 6= 0},

là độc lập tuyến tính

Khi đó tồn tại số thực c∗ ≥ 0 sao cho với mọi c > c∗:

a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP)

b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T của (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tớn hạn của f + cP

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP)

(b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tới hạn của f + cP

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP)

(b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là một

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP)

(b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là mộtđiểm tới hạn của f + cP

(a) Nếu x∗ là một điểm tới hạn của f + cP và x∗∈ X , thì tồn tại

một µ∗ ∈ Rr sao cho (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP)

(b) Nếu (x∗, µ∗) là một cặp K-T cho (ICP) và x∗ ∈ X , thì x∗ là một

Mệnh đề 3.2.11

Giả sử rằng f , g1, , gr là các hàm lồi trên Rn và (ICP) có ít nhất một

vector nhân tử Lagrange µ∗= (µ∗1, , µ∗r), theo nghĩa

µ∗j ≥ 0, ∀j = 1, , r , và

inf

x ∈R n{f (x) + µ∗0g (x )} = inf

g (x )≤0f (x )

Khi đó, với mọi c >Pr

j =1µ∗j, một vector x∗ là cực tiểu toàn cục của

f + cP nếu và chỉ nếu x∗ là cực tiểu toàn cục của (ICP)

Mệnh đề 3.2.11

Giả sử rằng f , g1, , gr là các hàm lồi trên Rn và (ICP) có ít nhất một

vector nhân tử Lagrange µ∗= (µ∗1, , µ∗r), theo nghĩa

µ∗j ≥ 0, ∀j = 1, , r , và

inf

x ∈R n{f (x) + µ∗0g (x )} = inf

g (x )≤0f (x )

Khi đó, với mọi c >Pr

j =1µ∗j, một vector x∗ là cực tiểu toàn cục của

f + cP nếu và chỉ nếu x∗ là cực tiểu toàn cục của (ICP)

Mệnh đề 3.2.11

Giả sử rằng f , g1, , gr là các hàm lồi trên Rn và (ICP) có ít nhất một

vector nhân tử Lagrange µ∗= (µ∗1, , µ∗r), theo nghĩa

µ∗j ≥ 0, ∀j = 1, , r , và

inf

x ∈R n{f (x) + µ∗0g (x )} = inf

g (x )≤0f (x )

Khi đó, với mọi c >Prj =1µ∗j, một vector x∗ là cực tiểu toàn cục của

f + cP nếu và chỉ nếu x∗ là cực tiểu toàn cục của (ICP)

{x1(c), x2(c)} là

x1(c) = 1/(1 + c), x2(c) = 0

Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗= 0} của (ICP) không là điểm tới hạn của

f + cP với một số thực c > 0 dương nào đó

Ngược lại, không một điểm nào trong số các điểm tới hạn

{x1(c), x2(c)}, c > 0 là một nghiệm tối ưu của (ICP)

Do đó, {x1∗ = 0, x2∗= 0} không là điểm chính quy [∇g1(x∗) = 0], và

nó có thể được xác định là không có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1.Như vậy Mệnh đề 3.2.8 không thể áp dụng cho một tập compact

chứa {x1∗ = 0, x2∗= 0}, và giả thuyết của Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm.Bởi vì tại đó không tồn tại ¯x sao cho g1(¯x ) < 0, giả thuyết của Mệnh

đề 3.2.10 cũng bị vi phạm

Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗= 0} của (ICP) không là điểm tới hạn của

f + cP với một số thực c > 0 dương nào đó

Ngược lại, không một điểm nào trong số các điểm tới hạn

{x1(c), x2(c)}, c > 0 là một nghiệm tối ưu của (ICP)

Do đó, {x1∗ = 0, x2∗= 0} không là điểm chính quy [∇g1(x∗) = 0], và

nó có thể được xác định là không có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1.Như vậy Mệnh đề 3.2.8 không thể áp dụng cho một tập compact

chứa {x1∗ = 0, x2∗= 0}, và giả thuyết của Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm.Bởi vì tại đó không tồn tại ¯x sao cho g1(¯x ) < 0, giả thuyết của Mệnh

đề 3.2.10 cũng bị vi phạm

Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗= 0} của (ICP) không là điểm tới hạn của

f + cP với một số thực c > 0 dương nào đó

Ngược lại, không một điểm nào trong số các điểm tới hạn

{x1(c), x2(c)}, c > 0 là một nghiệm tối ưu của (ICP)

Do đó, {x1∗ = 0, x2∗= 0} không là điểm chính quy [∇g1(x∗) = 0], và

nó có thể được xác định là không có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1.Như vậy Mệnh đề 3.2.8 không thể áp dụng cho một tập compact

chứa {x1∗ = 0, x2∗= 0}, và giả thuyết của Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm.Bởi vì tại đó không tồn tại ¯x sao cho g1(¯x ) < 0, giả thuyết của Mệnh

đề 3.2.10 cũng bị vi phạm

Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗= 0} của (ICP) không là điểm tới hạn của

f + cP với một số thực c > 0 dương nào đó

Ngược lại, không một điểm nào trong số các điểm tới hạn

{x1(c), x2(c)}, c > 0 là một nghiệm tối ưu của (ICP)

Do đó, {x1∗ = 0, x2∗= 0} không là điểm chính quy [∇g1(x∗) = 0], và

nó có thể được xác định là không có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1.Như vậy Mệnh đề 3.2.8 không thể áp dụng cho một tập compact

chứa {x1∗ = 0, x2∗= 0}, và giả thuyết của Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm.Bởi vì tại đó không tồn tại ¯x sao cho g1(¯x ) < 0, giả thuyết của Mệnh

đề 3.2.10 cũng bị vi phạm